研究高考真題，助力高考復習

摘要：更好更有效地進行高考復習，是每一位高三數學教師追求的根本目標.從研究高考真題視角切入，合理尋找知識共性，探索命題趨勢，總結考點規律，探尋變化特點等，更加服務于高考復習的“教”與“學”，有效提升高考數學復習效率，助力高考復習.

關鍵詞：高考真題；知識；命題；考點；變化

年年歲歲花相似，歲歲年年題不同.研究一年一度的高考數學真題以及以往各年的高考數學真題，是每位高中數學教師，特別是高三數學教師的一門必修課.研究高考數學真題，不能只是停留在拿來做一遍這一表層，更應該從中深入挖掘，反復“品嘗”，潛心研究，對比分析，從試題中進一步發現高考數學命題的新特點、新趨勢等，理解高考數學試題的新動向、新亮點等，從而更好地為高考復習合理定位，做好定向發力，更好地服務于高考復習的“教”與“學”.

1 研究歷年真題，尋找知識共性

通過研究歷年高考數學真題，特別是近五年來的高考真題，探尋高考真題中反復出現的高頻考點.結合相應的命題特點，觀察高考考點的出現場景、命題形式、考查角度、難度系數等，剖析命題專家是如何對重點知識與高頻考點進行考查的，合理尋找知識的共同特點，探尋知識共性.

例1（2022年高考數學全國乙卷文科·8）如圖1是下列四個函數中的某個函數在區間[－3，3]的大致圖象，則該函數是（）.

A.y=－x3+3xx2+1

B.y=x3－xx2+1

C.y=2xcos xx2+1

D.y=2sin xx2+1

借助函數的草圖，以及選項中給出的幾個函數解析式，通過給定區間中圖象的特點與變化規律，合理加以匹配，關鍵是考查高考中的一個重要知識點——函數的解析式、圖象與性質等.在具體操作時，可以通過函數的零點、函數的最值、三角函數的圖象與性質、基本不等式等的綜合應用加以分析與判斷.

解析：根據題設中函數的圖象，直觀分析可以判斷該函數為奇函數，且該函數在（1，3）內存在零點.

選項B中，令y=0，即x3－xx2+1=0，解得x=0或x=－1或x=1，該函數在（1，3）內不存在零點，故排除選項B；

選項C中，當xgt;0時，2xgt;0，x2+1gt;0，而cos x∈[－1，1]，則知2xcos xx2+1≤2xx2+1=2x+1x≤22x×1x=1，而通過觀察函數的圖象可知當xgt;0時，ymax≥1，故排除選項C；

選項D中，對于函數y=2sin xx2+1，當x=3時，y=2sin 310gt;0，故排除選項D.

綜上分析，故選擇答案：A.

高考中，函數的概念、解析式、圖象與性質這一基本知識點，通常是高考中的高頻考點與常考知識點，考查方式多樣.單獨從函數的圖象與性質視角，就有結合函數的解析式來確定相應函數的圖象，結合函數的圖象來確定相應函數的解析式、函數的最值以及函數的零點等各種形式的命題方式，考查的本質沒有實質性的改變，正確理解并掌握函數的概念、解析式、圖象與性質等是關鍵所在.

2 研究近年真題，探索命題趨勢

通過研究近年高考數學真題，特別是近三年來的高考真題，從中尋覓為了落實新課程標準的育人目標而創設的創新性題目，為了回歸新高中數學教材而設置的追根溯源的教材本源性題目等，更加有利于高校對人才的選拔以及體現高中教育的本質，這些變化趨勢都是高考數學命題的走向與命題趨勢，從研究中合理“嗅”到一些新發現、新趨勢.

例2（2022年高考數學新高考Ⅰ卷·7）設a=0.1e0.1，b=19，c=－ln 0.9，則（）.

A.alt;blt;c

B.clt;blt;a

C.clt;alt;bD.alt;clt;b

在以上高考真題的比較大小問題中，經常借助重要不等式的應用來分析與處理，其中指數不等式ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立；對數不等式ln x≤x－1，當且僅當x=1時等號成立.

而以上兩個重要不等式的結論，在高中數學教材中是以習題的形式出現的，可以作為“二級結論”在小題（選擇題或填空題）中直接加以應用，優化解題效益，提升解題速度.

【鏈接教材】人教A版《數學》（選擇性必修第二冊）第94頁練習第2題：

證明不等式：x－1≥ln x，x∈（0，+∞）.

在教材中的其他地方，也涉及到了類似的不等式的證明與應用，如第99頁的第12題：

利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

（1）exgt;x+1，x≠0；（2）ln xlt;xlt;ex，xgt;0.

因此，通過研究高考真題，追根溯源，回歸教材，進而合理將教材內容通過“組合”“聯姻”“嫁接”“演變”“交叉滲透”等方式推陳出新，合理創新與綜合，在縱橫交錯、多方變換中深化知識的滲透、技能的應用以及能力的提升等.

3 研究相關真題，總結考點規律

通過研究相關的高考數學真題，特別是針對不同類型（全國卷、新課標Ⅰ卷或Ⅱ卷、自主命題卷等）的高考真題，總結基本內容與重點內容，一般考查與重點考查等，以及相同知識點的不同考查形式，并在此基礎上進行合理的“一題多解”訓練和“一題多變”練習等，用好高考真題素材，在變化中探尋不變性、規律性，合理總結考點規律，有利于教學設計的高標準定位與針對性應用.

例3（2024年高考數學全國甲卷理·12）已知b是a，c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（）.

A.1

B.2

C.4

D.25

解決以上高考真題時，嘗試進行“一題多解”訓練，可以從題設視角直譯，或利用不等式思維切入，或利用直線系思維應用.

在解決問題的基礎上，進一步進行“一題多變”練習.結合應用場景的變化，并深入挖掘高考真題的內涵，合理加以變式與拓展.

變式1已知b是a，c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點，則|AB|的取值范圍為.

變式2已知b是a，c的等差中項，直線l：ax+by+c=0與圓C：x2+y2=9交于A，B兩點，則使得弦長|AB|為整數的直線l共有條.（4條）

通過研究高考真題，并借助“一題多思”“一題多解”“一題多變”等探究，我們的解題內涵會更加豐富，解題思維更加開闊，解題思路更加活躍，數學知識的掌握更加熟練，問題的破解更加快速有效.

4 研究不同真題，探尋變化特點

通過研究不同的高考數學真題，特別是針對不同類型（全國卷、新課標Ⅰ卷或Ⅱ卷、自主命題卷等）的高考真題進行交叉，探尋新高考與老高考之間的新舊變化，新高考與自主命題卷之間的變化，以及不同類型高考之間的差異與對比，尋找不同類型的高考命題的特點，探尋其變化特點，這樣才能在高考復習中做到臨危不亂，有的放矢.

例4（2024年高考數學新高考Ⅰ卷·3）已知向量a=（0，1），b=（2，x），若b⊥（b－4a），則x=（）.

A.－2

B.－1

C.1

D.2

平面向量自身的考查以及其作為數學工具的考查，在各種不同類型的高考真題中均有出現.考查內容主要涉及平面向量的線性運算與坐標運算，向量的數量積等相關應用.通過向量自身“數”的性質與“形”的特征，可以從不同視角來設置問題，或借助數學運算來解決問題，或數形結合來直觀處理，都是考查的重要方向.

解析：依題，結合a=（0，1），b=（2，x），可得b－4a=（2，x）－4（0，1）=（2，x－4）.

根據b⊥（b－4a），可得b·（b－4a）=（2，x）·（2，x－4）=4+x（x－4）=（x－2）2=0，解得x=2.

故選擇答案：D.

合理鏈接其他類似的高考真題，加以對比分析，剖析共同點與差異點，探尋變化特點與規律.

鏈接真題1（2022年高考數學全國甲卷文科·13）已知向量a=（m，3），b=（1，m+1），若a⊥b，則m=.

鏈接真題2（2022年高考數學上海卷·11）若|a|=|b|=|c|=λ，且滿足a·b=0，a·c=2，b·c=1，則λ=.

合理研究高考數學真題，結合高考命題新趨勢、新動向的創新角度，落實“立德樹人”育人根本任務的命題方式，展示數學基礎知識與基本技能的考查情況等，從中尋找共性知識，探索命題趨勢，總結考點規律，探尋變化特點，充分把握高考命題的“脈搏”，合理優化高考復習設計，精準把握高考復習教學，更加有利于高三學生積極參與并發揮主體作用，全面提升高考復習效益.