圓過定點問題的解法探究與教學(xué)思考

［摘" 要］ 圓過定點問題常作為壓軸題出現(xiàn)在高考中，研究其解法有助于學(xué)生深化對相關(guān)知識的理解. 求解圓通過固定點問題的常用方法有向量法、方程法和賦值法三種. 教師在講解方法時，應(yīng)注重闡釋基本原理，幫助學(xué)生自主構(gòu)建解題策略. 研究者深入探究了圓過定點問題的解法，并提出了一些相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓；定點；向量法；方程法；賦值法

圓錐曲線問題類型多樣，能夠全面考查學(xué)生的知識水平和解析思維. 圓過定點是其中較為典型的問題，綜合了圓錐曲線、方程、定點等知識內(nèi)容，考查學(xué)生對圓錐曲線的理解，以及對定點問題的求解方法和技巧的掌握. 在教學(xué)中，教師可設(shè)置探究專題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實例總結(jié)圓過定點問題的求解策略.

求解策略的探究

圓過定點問題的“代數(shù)”與“幾何”屬性鮮明，因此求解時采用數(shù)形結(jié)合的策略. 具體解法有三種：一是向量法，利用向量知識求解；二是方程法，基于位置關(guān)系構(gòu)建方程求解；三是賦值法，采用“從‘特殊’到‘一般’”的推導(dǎo)思路求解. 下面構(gòu)建解法策略，并結(jié)合實例開展解題指導(dǎo).

1. 向量引入，定點推導(dǎo)

2. 方程構(gòu)建，定點破解

思路分析 本例題為以橢圓和直線為背景的綜合題.第（2）問探究圓是否過定點，可運用“假設(shè)—推理”的思路求解. 解析定點時建議運用方程法，先推導(dǎo)出圓的方程，再基于“方程對參數(shù)的任意值都成立”求出定點的坐標.

思路分析 本例題為以橢圓為背景的綜合題，題設(shè)兩問，第（1）問求的是與等差數(shù)列相關(guān)的實數(shù)m的取值范圍，第（2）問探究的是圓是否過定點. 對于第（2）問，可以采用賦值法求解，即先關(guān)注其中的特殊情形，提取定點，再論證該定點與變量無關(guān).

探究后的教學(xué)思考

上文探究了圓過定點問題的三種求解策略，并結(jié)合實例進行了應(yīng)用指導(dǎo). 可參考上述思路，按照“方法原理講解→實例應(yīng)用指導(dǎo)→解后總結(jié)反思”的流程構(gòu)建教學(xué)方案. 通過深入反思，提出三點教學(xué)建議.

建議一：透視問題，解讀方法

圓過定點問題在圓錐曲線的研究中具有特殊性，教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生透視問題的本質(zhì)，并詳細闡釋解題方法. 圓過定點問題，實質(zhì)為動圓問題，所求圓上定點不受變量限制或不包含參數(shù). 在講解三種破解方法時，需關(guān)注三個要點：一是方法的思想內(nèi)涵，例如方程法的方程思想，賦值法的“從‘特殊’到‘一般’”思想；二是方法的基本思路，例如向量法所依賴的“直徑所對的圓周角為直角”這個定理；三是策略的分步構(gòu)建，即具體化解法，概括解題步驟.

建議二：實例講解，思維引導(dǎo)

在實例應(yīng)用指導(dǎo)環(huán)節(jié)，建議按照“問題解讀→思路分析→過程構(gòu)建”的流程來展開學(xué)生的思維. 整個過程通過合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生深入理解問題條件，根據(jù)這些條件思考并選擇適用的解題方法，然后綜合運用相關(guān)知識構(gòu)建解題過程. 在引導(dǎo)過程中，需要向?qū)W生強調(diào)兩點：一是圓錐曲線的位置關(guān)系；二是核心條件的轉(zhuǎn)化與構(gòu)建.

建議三：解后反思，歸納總結(jié)

在完成解題之后，建議引導(dǎo)學(xué)生深入反思解題過程，歸納總結(jié)解題方法，積累解題經(jīng)驗，并將其內(nèi)化為個人的解題策略. 反思內(nèi)容建議包括三個方面：一是反思所選方法與問題特點的關(guān)聯(lián)；二是反思解題過程中對核心條件的處理思路；三是反思解題過程中所采用的簡化技巧，以及是否存在其他潛在的優(yōu)化空間. 通過解題反思，可使學(xué)生充分理解解題過程，從而促進其思維能力的提升.

結(jié)束語

圓過定點問題作為圓錐曲線中的典型問題，開展解法策略的探究對于提升學(xué)生的解題能力具有重要意義. 上述所總結(jié)的三種解法適用于各種類型的圓過定點問題，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生充分掌握這三種解法，并能靈活運用于解題，同時深刻理解其中的數(shù)學(xué)思想，以提升思維水平.