基于同構思維優化解題思路 發展運算素養

［摘" 要］ 同構法是優化解題思路的一種有效方法. 研究者從代數結構同構、幾何特征同構、算法算理同構以及幾何特征同構與代數結構同構相互轉化的視角，淺析如何優化算法，以提高學生的數學思維能力與數學運算素養.

［關鍵詞］ 同構思維；解題思路；優化；運算素養

問題提出

“三新”背景下的高考試題，對學生的計算能力和思維能力提出了較高的要求. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神［1］7. 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養. 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等［1］7.

解題是發展數學運算素養的重要途徑.著名數學教育家波利亞指出：“掌握數學就是意味著善于解題.”他在《怎樣解題》中提出了解題的四個階段：弄清問題—擬定計劃—實現計劃—回顧反思，為數學解題提供了清晰的路徑［2］.

當學生遇到一些綜合性較強的數學問題時，常常由于題目計算量大、解題過程煩瑣而不能求得結果.在這種情況下，需要從不同的視角重新審視問題，探尋新的解題路徑，以確保問題能夠順利解決. 同構思維正是化煩瑣為簡便的一種數學思維方式.

解法探究

1. 代數結構視角下的同構問題

2. 幾何特征視角下的同構問題

3. 算法算理視角下的同構問題

例3是一道難題，其難點在于學生必須在有限的時間內準確完成計算. 本題需要利用P，Q，R三點的縱坐標來建立方程.在聯立直線l與直線MA的方程求出點P的縱坐標后，觀察到直線MA與直線MB的關系，于是把“a”換成“b”；觀察到直線MA與直線FA的關系，于是把“m”換成“－m”. 通過“算法算理”的同構，輕松獲得Q，R兩點的縱坐標. 圓錐曲線是高考數學的必考知識點，對學生的數學運算能力有較高的要求.“算法算理”的同構應用，是優化解題步驟的有效方法.

4. 幾何特征與代數結構相互轉化視角下的同構問題

教法反思

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：數學高考命題應依據人才選拔要求，發揮數學高考的選拔功能［1］89. 作為一項選拔性的考試，高考具有一定的區分度. 其中，運算能力是一個關鍵因素. 學生是否能在限定時間內得出正確答案，在很大程度上取決于他們是否能夠優化算法. 培養學生的運算能力，可以從以下三個角度入手.

1. 教師引導

學生從不同的角度優化解題思路的意識需要教師在日常教學中進行培養. 在數學教學中，教師不僅要教授學生解決問題的通性通法，還要引導學生在應用通性通法時，若發現過程過于煩瑣，應從不同角度重新審視運算對象，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果. 通過長期的思維訓練，學生將在“潤物細無聲”中形成有序的思維習慣，從而提升數學運算素養.

2. 學生探究

學生通過獨立思考、自主學習以及與同學間的合作探究和交流所獲得的方法，才是學生真正需要掌握的方法. 傳統的灌輸式教學“硬塞”給學生的方法，學生往往難以理解，更不用說融會貫通. 因此，教師在課堂上應設計能夠激發學生探究“優化解法”的題目，為學生提供探索“優化解法”的機會，鼓勵學生思考、討論、表達，從而提升他們的數學思維能力.

3. 解題反思

反思與總結是自我提升的重要途徑. 在求得運算結果之后，需要對運算思路、運算方法、運算程序進行徹底的回顧，反思能否設計不同的運算程序以改進運算過程，從而找到更為簡捷高效的運算方法. 將反思與總結培養成一種習慣，有助于提高學生的數學素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 波利亞. 怎樣解題［M］. 上海：上海科技教育出版社，2007.