一個不定方程模型在強基、競賽中的變形考查

在高中排列組合的教學中，常見下面一個排列組合問題：

問題方程 ）有多少組非負整數解？有多少組正整數解？

這個問題實質上是一個不定方程問題，由隔板法不難得到該問題的答案為：

結論不定方程 ）的非負整數解有 組，正整數解有 組.

筆者發現這個不定方程模型在數學競賽、高校自主招生和強基計劃中多次變形考查，形式多變，難度較大，是考查學生數學思維能力的極好素材.下面筆者選取幾例，探討他們的解題策略。

1.系數的變化

例1（2020年復旦大學自主招生數學試題）方程 的非負整數解的組數為

解因為 ，所以 4 ∣ x ∣ ，不妨設 x = 4 k ，則 3 k + y + 3 z = 5 0 5 ，即31（ 5 0 5 - y ） ，又5 0 5 = 3 × 1 6 8 + 1 ，所以 ，不妨設 y = 3 t + 1 ，所以 k + t + z = 1 6 8 ，從而方程的非負整數解個數等價于方程 k + t + z = 1 6 8 的非負整數解的個數，即有 組。

例2（2017年清華大學自主招生暨領軍計劃試題）方程 x + 2 y + 3 z = 1 0 0 的非負整數解個數是

A.883 B.884 C.885 D.886

解 x + （ 2 y + 3 z ） = 1 0 0 ，則 2 y + 3 z ？ 1 0 0 ，知 所以 z ？ 3 3

當 z = 0 時， x + 2 y = 1 0 0 ，相應的 y 有51個，故此時非負整數解有51個.

當 z = 1 時， x + 2 y = 9 7 ，相應的 y 有49個，故此時非負整數解有49個。

當 z = 2 時， x + 2 y = 9 4 ，相應的 y 有48個，故此時非負整數解有48個。

當 z = 3 時， x + 2 y = 9 1 ，相應的 y 有46個，故此時非負整數解有46個。

當 z = 4 時， x + 2 y = 8 8 ，相應的 y 有45個，故此時非負整數解有45個。

當 z = 5 時， x + 2 y = 8 5 ，相應的 y 有43個，此時非負整數解有43個，….

當 z = 3 2 時， x + 2 y = 4 ，相應的 y 有3個，此時非負整數解有3個。

當 z = 3 3 時， x + 2 y = 1 ，相應的 y 有1個，故此時 非負整數解有1個，規律是，雖 z 每 + 1 ，個數變化的規 律是 z 的偶數到奇數差2，奇數到偶數差1，所以共有 5 1 + 4 9 + 4 8 + 4 6 + 4 5 + 4 3 + 4 2 + 4 0 + 3 9 + 3 7 + 3 6 + 3 4 + 3 3 + 3 1 + 3 0 + 2 8 + 2 7 + 2 5 + 2 4 + 2 2 + 2 1 + 1 9 + 1 8 + 1 6 + 1 5 + 1 3 + 1 2 + 1 0 + 9 + 7 + 6 + 4 + 3 個，故選 B

例3 不定方程 2022（其中 a lt; 2 2 ， b lt; 3 3 ， c lt; 5 5 ， d lt; 7 7 ） 的非負整數解有（）組。

解注意到每個變量的系數所包含的所有質因子是2，3，5，7，我們來考察 模這些質因子的情況。

首先注意到2022是偶數，所以 必為偶數；同理， 1 0 5 a ， 4 2 c ， 3 0 d 和2022均是3的倍數，所以 b 一定為3的倍數。

再考察 ∣ c ∣ ，由于 ，且 2（mod5），所以 ，最后對 d ，因為 2 0 2 2 ≡ 6（mod7），而 ，所以

綜上，我們讓 ，代人原不定方程得到： ，其中 均為非負整數.有 組

點評系數的變化類型通?？梢悦杜e，可以同余，轉化為這個常見不定方程模型。

2.關系的變化

例4（2018年上海市高三數學競賽）求不定方程 x + y + z + w = 2 5 的滿足 x lt; y 的正整數解（ x 的組數。

解設 ，則 2 x + d + z + w = 2 5 當 x 取遍 1 ～ 1 1 時， 的正整數的組數為 ，則其組數為

因為 ∑ C2n = n（n +1）（4n-1），所以p=C2+C2+. + C22 = （204

故原方程的正整數解有946組。

例5（2010年全國高中數學聯合競賽一試）方程 x + y + z = 2 0 1 0 滿足 x ？ y ？ z 的正整數解（ x 的個數是。

解首先易知 x + y + z = 2 0 1 0 的正整數解的個數為 方程 x + y + z = 2 0 1 0 滿足 x ？ y ？ z 的正整數解分為3類：

均相等的正整數解的個數顯然為1個；

中有且僅有2個相等的正整數解的個數易知為1003個；

兩兩均不相等的正整數解的個數為 k 個.則k= 個

從而滿足 x ？ y ？ z 的正整數解的個數為 1 0 0 3 + 3 3 5 6 7 1 = 3 3 6 6 7 5 個.

點評以上2個例題，增加了限制條件，難度增大，需要轉化或者分類來確定解法。

3.形式的變化

例6（2019年內蒙古高中數學預賽試題）方程 的非負整數解的個數為 ·（用數字作答）

解當 時， 非負整數解有 個；當 時 非負整數解有 個；當 時， 非負整數解有 個；當 3時 非負整數解有4個.故原方程的非負整數解的個數為 2 8 6 + 2 2 0 + 8 4 + 4 = 594個。

例7 （2022年北京邀請賽試題）方程 有 組整數解.

解先考慮方程

），并要求 中至少一個是完全平方數.① 若 a ？ b ？ c gt; 0 ，則 ，即c =1，2.當 時， ，滿足要求的 （ a ， b ， c ） ， ，

有 和 對應 有10組解（204號

， ， （20 ，或 或 或或 .當 c = 2 時， 沒有滿足要求的 （ a ， b ， c ）

（ 2 ） a ？ b gt; 0 gt; c ，則 即 b = 1 此時 滿足要求的解只有 對應 有4組解.

因此，原方程共14組整數解

點評以上例題，形式上變化很大，套用結論難以實現解答，需要針對某一個量進行討論。

4.范圍的變化

上述例題限制條件是非負整數或正整數，其他范圍內的整數還未涉及，筆者依據2018年上海市高三數學競賽進行改編，得到下面的題目。

例8（2018年上海市高三數學競賽改編）求不定方程 x + y + z + w = 2 5 滿足 x ？ - 1 ， y ？ 3 ， z ？ - 2 ， w ？ 2 的整數解 （ x ， y ， z ， w ） 的組數

解令 w - 2 ，則 ，原方程可化為 （204號 + y + z + w - 2 = 2 3 ，該方程的非負整數解有 （20 2600組，故原方程的整數解有2600組。

不定方程類型眾多，沒有統一的方法，我們不必追求面面俱到，平時只需抓住一點進行探究，使復雜問題簡單化，未知問題已知化，一般問題特殊化，逐漸加深對問題的了解，發現特點，探尋規律，解決問題。

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