一道拋物線內三角切圓問題的求解探究

2021年高考全國甲卷第20題中以拋物線為載體，探討了拋物線內三角切圓問題的一般證明，命題結構優美，改編題眾多．在近期模擬題中，一道涉及周長與面積最值問題的求解或值得借鑒拓展。

1.題目呈現

（湖北省“宜荊荊恩”高三九月起點考試第11題）已知點 P 是曲線 ${ ＼boldsymbol { ＼itGamma } } _ { ： ＼boldsymbol { y } ^ { 2 } } = { ＼boldsymbol { x } }$ 上任意一點，過點 P 向圓 引兩條切線，這兩條切線與 的另一個交點分別為 ，則下列結論正確的有

A. B.直線 與圓 c 相切C．APAB的周長的最小值為 D. 的面積的最小值為

分析選項 A 只需要將點 P 置于坐標原點 o 即可推出矛盾；選項 B 即是借助同構思想刻畫等量關系，求解圓心到直線的距離判斷位置關系，即源于高考真題的直接應用；選項 C 與 D 本質相同，可先刻畫 Δ P A B 面積表達轉化為函數最值求解.故重點研究選項 B 與 D 的證明。

2.試題解析

解析 不妨假設直線 P A 在圓的左側，直線 P B 在圓的右側.如圖1所示，當P A 斜率不存在時，有 ，不符合題意；

當 P B 斜率不存在時，有 ，直線 為

，易得直線與圓 c 相切，此時 的面積為

當 P A ， P B （20號

斜率均存在（如

圖2），設

P（t2，t）（t gt;0，t

≠1，√3），A（t2，

t） ·所以

直線 P A 的方程為 ，即 x 1 因為直線 P A 與圓 C 相切，所以1+（+2=1，即（2-Df2+2tt+-2=0.同理可得 所以 ， 為方程 的兩根，有

又直線 A B 的方程為 點 c 到直線 的距離為

綜上，直線 與圓 c 相切，故 B 正確；

又 ，點 P 到直線 A B 的距離為 所

令 設 ，則 所以f（ m ） 在（-1，0）和 （ 2 ， + ∞ ） 上單調遞增，在（0，2）上單調遞減.又因為 所以 f （ m ） gt; 2 7 所以

綜上， 的面積最小值為 故 D 正確

3.優化求解

定理1[1] 已知拋物線 與 ，過拋物線 E 上任一點 A 作 ？ M 的兩條切線，分別與 E 交于 兩點，則直線 B C 與 ？ M 相切的充要條件是 2 a （ m - r ）

上述求解過程中，直線 A B 與圓 c 相切位置關系的判別可簡化為定理1的應用.關于 面積的求解，我們可以從解三角形的視角借助內切圓問題求解。

方法1從三條角平分線的交點為內心切人，如圖3。

不妨設 圖3∠ P A B = 2 α 則 α + ，所以 即

由均值不等式得 ，即 則 Δ P A B 的面積 ，當 時等號成立.

在上述思路的啟發下，我們可以考慮結合海倫公式，用內切圓半徑與周長、面積的關系求解

方法2 記 的三邊長分別為 ，由海倫公式可得 ，其中 ．結合內切圓半徑與周長，又有 特別地，當 時， （204號

由均值不等式可得 b）（p-c）≤（p-a+p=b+p-）2=2， 所以 ，當 時取等，即面積的最小值為 ，周長的最小值為

4.一般拓展

若將半徑一般化，則有 （204號 ，即 ，所以 當且僅當 時取等.

由此，我們又可以得到一般推論：拋物線內三角切圓的面積之比最小值為 即設 A 是拋物線 上任意一點，過點 A 作 $＼textcircled { ＼cdot } D ： （ x -$ 的兩條切線與拋物線 E 分別交于 兩點，則 ？ D 是 Δ A B C 的內切圓2，日 的最小值為最小值為 。

參考文獻

[1]李鴻昌．彭塞列閉合定理及特殊情形的初等證明［J].數學通訊，2023（6）：38-40.

[2]姜美.值得探究的“三角切圓”[J]：數學通訊，2012（24）：38-40.