后屈曲張拉整體超材料的建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：0328 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1000-582X（2025）04-001-11

Modeling and optimization design of post-buckling tensegrity metamaterial

ZHANG Zexuan， ZHANG Liang， GE Yipeng， ZHANG Jun （College of Aerospace Engineering， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China）

Abstract：Achieving a balancebetween low-frequency bandgaps and high load capacity is a critical challenge in metamaterial design. Leveraging the post-buckling behavior of bars， this study proposes a novel tensegrity metamaterial where post-buckling induces a reduction in structural stiffness， thereby enabling low-frequency vibration isolation while enhancing load-bearing capacity.The eliptic integral method is employed to rapidly compute post-buckling deformations and determine the stifess of the tensegrity unit. Bandgap frequencies are calculated using Bloch's theorem under periodic boundary conditions， combined with a spring-mass diatomic chain model.To optimize both band gap and load capacity， a data-driven，dual-objective optimization method is employed， yielding the Pareto frontierfor the metamaterial's ultimate load and lower bandgap limit.The results demonstrate that the optimized structure can achieve bandgap frequency as low as 3Hz ，with a load capacity exceeding 100N . Compared to existing low-frequency vibration isolation metamaterials， the ultimate load capacity is increased by over 3.6 times at the same bandgap frequency.

Keywords： post-buckling deformation； tensegrity metamaterial； lower bandgap limit； ultimate load； multi objective optimization

在日常生活中，幾赫茲至幾十赫茲的低頻振動(dòng)普遍存在，并對(duì)生產(chǎn)生活安全構(gòu)成顯著影響。作為一種特殊的人工結(jié)構(gòu)，超材料特有的帶隙特性使其在振動(dòng)與噪聲控制領(lǐng)域[4有著廣泛的應(yīng)用前景。如何設(shè)計(jì)用于低頻隔振的超材料受到廣泛關(guān)注，Oh等通過鉸鏈連接質(zhì)量塊構(gòu)造的低頻帶隙超材料，可以在不考慮承載力的情況下打開 1Hz 的低頻帶隙。Zhou等通過正剛度元件和負(fù)剛度元件結(jié)合提出了準(zhǔn)零剛度局域振子的概念，Cai等在此基礎(chǔ)上利用屈曲梁和折疊梁設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度局域共振超材料，在具有一定承載能力的情況下打開了超低頻帶隙。盡管低頻隔振超材料的研究已經(jīng)取得了顯著進(jìn)展，但目前仍然存在承載能力較低或無法承載、低頻帶隙調(diào)控困難、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)復(fù)雜等問題。

張拉整體作為一種性能優(yōu)異的特殊結(jié)構(gòu)，具有重量輕、剛度可調(diào)、結(jié)構(gòu)多樣等特點(diǎn)，如何利用張拉整體設(shè)計(jì)超材料逐漸受到研究者關(guān)注。目前關(guān)于張拉整體超材料的研究包括預(yù)應(yīng)力對(duì)帶隙范圍的影響[2、局部缺陷對(duì)帶隙的影響[14，以及非對(duì)稱彈性波的傳播等。上述研究都集中在結(jié)構(gòu)的彈性階段。然而，當(dāng)外部載荷超過屈曲臨界載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生彎曲變形進(jìn)人屈曲階段，研究表明屈曲的發(fā)生在提高結(jié)構(gòu)的緩振能力和設(shè)計(jì)超材料方面都有顯著積極影響。Rimoli等在模擬張拉整體機(jī)器人抗沖擊性能時(shí)發(fā)現(xiàn)桿件的屈曲可以大幅提高結(jié)構(gòu)抗沖擊能力。Nan等[利用后屈曲框架制作的亥姆霍茲諧振器可以實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)低頻吸聲特性，由此可見，合理利用結(jié)構(gòu)屈曲為超材料設(shè)計(jì)開拓了新的可能性。

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化方法是一種通過利用大量試驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)和優(yōu)化算法等實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)調(diào)整的高效優(yōu)化方法，該方法已經(jīng)在各領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用\"。在設(shè)計(jì)低頻隔振超材料時(shí)，低頻帶隙和承載能力是2個(gè)需要同時(shí)關(guān)注的因素。低頻帶隙對(duì)實(shí)現(xiàn)良好的低頻隔振效果至關(guān)重要，同時(shí)，具有一定的承載能力使超材料在實(shí)際應(yīng)用中能夠承受預(yù)期的載荷而不發(fā)生損毀。通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以在兼顧低頻帶隙和承載能力的情況下獲得最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。

通過引入桿件后屈曲變形，筆者提出了一種后屈曲張拉整體超材料，能夠在具有一定承載能力的情況下打開 30Hz 以內(nèi)的低頻帶隙。首先，通過橢圓積分法求解桿件后屈曲變形，結(jié)合張拉整體軸壓平衡方程獲得后屈曲張拉整體的靜力學(xué)特性。然后，利用彈簧-質(zhì)量雙原子鏈模型，在周期性邊界條件下利用Bloch定理對(duì)后屈曲張拉整體超材料的帶隙進(jìn)行計(jì)算。最后，為平衡承載和低頻隔振能力，利用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的雙目標(biāo)優(yōu)化對(duì)超材料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了極限載荷和帶隙下限的帕累托邊界，以此獲得了一組最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。

1后屈曲張拉整體超材料

1.1后屈曲張拉整體的靜力學(xué)分析

以張拉整體三棱柱為基本構(gòu)型。該張拉整體由3根斜桿b、3根斜拉索s和6根水平索1組成，其上下平面均為由水平索圍成的正三角形，如圖1所示。h表示張拉整體軸向高度， θ 表示上下平面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角度，考慮豎直方向的單軸載荷。使用的材料和幾何參數(shù)如表1所示。

1.2后屈曲張拉整體建模

本文所設(shè)計(jì)的張拉整體超材料如圖5所示。虛線框中為一個(gè)周期單胞，由2個(gè)不同預(yù)應(yīng)變水平的張拉整體和質(zhì)量為 M=0.2kg 的剛性圓盤組成。張拉整體為超材料提供剛度，剛性圓盤提供質(zhì)量，并且假設(shè)扭矩不會(huì)由張拉整體傳遞至圓盤[。為簡化計(jì)算過程，將該超材料簡化為圖5所示的彈簧-質(zhì)量雙原子鏈模型[24]。

根據(jù)1.1節(jié)中的后屈曲張拉整體載荷-位移特性和1.2節(jié)中的帶隙表達(dá)式（15），以由 和 的張拉整體組成的超材料為例，分析其帶隙和承載能力。

圖6（a）為超材料單個(gè)周期的載荷-位移曲線。由于2個(gè)不同預(yù)應(yīng)變水平的張拉整體存在，隨著載荷的增加，單胞中的2個(gè)張拉整體會(huì)先后進(jìn)入后屈曲。第1個(gè)張拉整體屈曲發(fā)生在約 35N 的載荷下，第2個(gè)張拉整體屈曲發(fā)生在承載 49N 時(shí)。圖6（b）為帶隙范圍隨載荷的變化情況。在第1個(gè)張拉整體屈曲前，帶隙下限會(huì)隨著載荷的增加而逐漸提高，帶隙的寬度也逐漸減小。第1個(gè)張拉整體屈曲發(fā)生后，帶隙下限隨著載荷的增加開始降低，而且?guī)秾挾纫仓饾u增大。結(jié)合圖6（a）發(fā)現(xiàn)，在第2個(gè)張拉整體屈曲后，帶隙上下限幾乎一致，基本失去隔振能力。但載荷仍然可以繼續(xù)增加，說明該結(jié)構(gòu)具有較好的穩(wěn)定性，在超過極限載荷后仍未失效。

為兼顧超材料的承載和隔振能力，以第2個(gè)張拉整體即將屈曲的臨界狀態(tài)作為極限狀態(tài)，此時(shí)的載荷作為極限載荷，如圖7所示。2次屈曲之間的范圍即為所提出的后屈曲張拉整體超材料。通過引入桿件的后屈曲變形，可以在降低帶隙頻率的同時(shí)兼顧較高的承載能力，并且?guī)秾挾认噍^于未發(fā)生屈曲時(shí)也會(huì)有所增加。

2帶隙與極限載荷的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 雙目標(biāo)優(yōu)化框架

超材料的低頻帶隙對(duì)實(shí)現(xiàn)良好的低頻隔振效果至關(guān)重要，同時(shí)具有一定的承載能力使超材料在實(shí)際應(yīng)用中能夠承受預(yù)期的載荷而不發(fā)生損毀。為使超材料能夠兼顧低頻隔振能力和極限承載能力，需要對(duì)其進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化。

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化方法是一種通過利用大量試驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)和優(yōu)化算法等實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)調(diào)整的高效優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[20]將基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化框架應(yīng)用于張拉整體機(jī)械臂的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的精確驅(qū)動(dòng)，具體優(yōu)化方法可參考該研究。建立該優(yōu)化框架包括：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、計(jì)算分析、機(jī)器學(xué)習(xí)和雙目標(biāo)優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)需要確定所關(guān)注的目標(biāo)變量以及與之相關(guān)的因素，將其作為設(shè)計(jì)變量。然后，根據(jù)前文所得到的理論計(jì)算分析，生成樣本進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)。最后，優(yōu)化得到更好的設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化流程如圖8所示。

多目標(biāo)優(yōu)化是在給定約束條件下找到一組解，這些解在多個(gè)目標(biāo)方向上都是盡可能好的，Bessa等[在研究中曾綜合對(duì)比了多種多目標(biāo)優(yōu)化算法。本文的優(yōu)化目標(biāo)是一個(gè)黑盒函數(shù)，無法直接獲得其梯度信息。Deb等[提出的非支配排序遺傳算法II（NSGA-II）是一種非梯度的優(yōu)化算法，可以很方便地解決難以獲得梯度的優(yōu)化問題，并且NSGA-II在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)具有很強(qiáng)的通用性和很高的計(jì)算效率，這里采用該算法進(jìn)行優(yōu)化。

NSGA-I算法通過非支配排序和擁擠度距離策略，在搜索中尋找均勻分布的高質(zhì)量解集。NSGA-II算法的具體步驟為：首先，創(chuàng)建初始種群，對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行快速非支配排序，確定個(gè)體優(yōu)劣，在每個(gè)前沿內(nèi)計(jì)算個(gè)體擁擠距離，通過選擇、交叉和變異操作生成新的種群；然后，將父代種群和子代種群合并，對(duì)合并后的種群再次進(jìn)行快速非支配排序，根據(jù)非支配排序和擁擠距離選擇下一代種群；最后，循環(huán)上述操作直至滿足終止條件（即達(dá)到最大選代次數(shù)）。該算法可以在Python程序中調(diào)用pymoo庫實(shí)現(xiàn)，在計(jì)算過程中需要設(shè)定的基本參數(shù)有種群大小、交叉概率、變異概率、選代次數(shù)等。選擇合適的種群大小可以避免陷入局部最優(yōu)，交叉概率和變異概率的合理選擇有助于維持種群多樣性，設(shè)置足夠的選代次數(shù)可以使算法有足夠的選代空間，確保解的收斂。NSGA-I算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表2所示。

2.2參數(shù)設(shè)計(jì)與代理模型建立

3優(yōu)化結(jié)果討論

將建立的代理模型引人到NSGA-I算法中進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，畫出后屈曲張拉整體超材料帶隙下限和極限載荷的帕累托邊界，如圖9（a）所示。帕累托邊界的下方是所有可行的取值，而邊界上則為帶隙下限和極限載荷的最優(yōu)解集。圖9（b）為多目標(biāo)優(yōu)化選代次數(shù)與超體積的變化情況，縱軸是每次選代后的超體積。超體積是衡量帕累托邊界覆蓋程度的指標(biāo)，當(dāng)超體積趨于穩(wěn)定時(shí)說明帕累托邊界較好地收斂到了全局最優(yōu)解。如圖9（b）所示，在經(jīng)過約20次迭代后，超體積趨于穩(wěn)定，說明結(jié)果已經(jīng)收斂。

當(dāng) 和 取值為 （6.80，4.00）cm 時(shí)，該超材料具有低至大約 3Hz 的帶隙頻率，同時(shí)具有約 40N 的極限載荷；而當(dāng) 和 取值為 （5.00，4.00）cm 時(shí)，具有約 30Hz 的帶隙下限和約 120N 的極限載荷。由此可見，通過合理選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)帶隙與承載能力的大范圍調(diào)節(jié)。在設(shè)計(jì)后屈曲張拉整體超材料時(shí)，可以根據(jù)目標(biāo)隔振頻率和承載能力，參考帕累托邊界，自行選擇恰當(dāng)?shù)膸缀纬叽纭Ｈ缒吃O(shè)備隔振臺(tái)，承受到 50～70N 的載荷，同時(shí)，要求過濾 20Hz 以下的振動(dòng)頻率，則可以在帕累托邊界上選擇滿足目標(biāo)載荷和頻率的點(diǎn)，如圖9（a）虛線框中所示。

圖9（a）中標(biāo)注了優(yōu)化前的后屈曲張拉整體超材料的極限載荷和帶隙下限的情況，以及一些以往研究所提出的具有承載能力的低頻隔振超材料。Zhou等[提出的準(zhǔn)零剛度超材料在具有約 1.5：N 承載能力時(shí)可以實(shí)現(xiàn)最低 的隔振頻率。Hu等所設(shè)計(jì)的超材料在具有約 25N 承載能力時(shí)可以實(shí)現(xiàn)最低 25Hz 的隔振頻率，具體參數(shù)如表3所示。這些結(jié)果均在帕累托邊界的下方，即通過優(yōu)化可以在具有以往低頻隔振超材料所能實(shí)現(xiàn)的隔振頻率的同時(shí)獲得更好的承載能力。以 Hu 等所提出的超材料為例進(jìn)行對(duì)比，在具有相同的帶隙下限頻率時(shí)，本文所提出的超材料經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)后，承載能力提高了約3.6倍。

4結(jié)束語

針對(duì)可承載低頻隔振超材料的設(shè)計(jì)問題，提出了一種考慮桿件屈曲變形的新型張拉整體超材料。該超材料通過利用屈曲所帶來的剛度軟化，在具有一定承載能力的情況下，可以打開 30Hz 以下的極低頻帶隙。首先，通過對(duì)后屈曲張拉整體進(jìn)行靜力學(xué)分析，獲得其剛度特性；然后，利用基于雙原子鏈的簡化模型計(jì)算后屈曲張拉整體超材料的帶隙特性；最后，將張拉整體的水平索和斜拉索長度作為設(shè)計(jì)變量，通過基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法優(yōu)化后屈曲張拉整體超材料的帶隙和承載特性。優(yōu)化后的帕累托邊界提供了一組最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以使該超材料在具有較高的承載能力的同時(shí)，獲得極低的帶隙頻率。

參考文獻(xiàn)

[1]BerglundBHassmenPJobRFSourcesandeffctsoflow-frequencynoise[]TheJouraloftheAcousticalocietyf America， 1996，99（5）： 2985-3002.

[2]GriffinJErdreichJandbokofhumanbration[]TheJoualofthecousticalSocietyofAmerica994）13.

[3]LaiY， ZhangXD，Zhang ZQ.Engineering acoustic band gaps[J]Applied PhysicsLeters，2001，79（20）：224226.

[4]Rmeo F，LuongoA.Vibrationreduction inpiecewisebi-coupledperiodic structures[J].Journalof Sound Vibration003， 268（3）： 601-615.

[5YuDL，WenJH，ZhaoHGetal.Vibrationreductionbyusing theideaofphononiccrystalsinapipe-conveying fluid[]. Journal of Sound Vibration， 2008， 318（1/2）： 193-205.

[6]OhJH，Assouar B.Quasi-static stopbandwithflexuralmetamaterialhaving zerorotationalstiffness]Scientificepots， 2016，6： 33410.

[7]ZhouJX，WangK，XuDLetal.Localresonatorwithhigh-static-low-dynamic stiffnessforloweringbandgapsofflexural wave in beams[J]. Journal of Applied Physics， 2017， 121（4）： 044902.

[8]CaiCQ，Zhou JX，WuLC，etal.Design andnumericalvalidationofquasi-zero-stiffessmetamaterials forvery lowfrequency band gaps[J]. Composite Structures， 2020， 236： 111862.

[9］王凱，周加喜，蔡昌琦，等.低頻彈性波超材料的若干進(jìn)展[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2022，54（10）：2678-2694. WangK，ZhouJXCaiCQetal.Reviewoflow-frequencyelasticwavemetamaterials[]ChineseJournalofTheoreticaland Applied Mechanics， 2022， 54（10）： 2678-2694. （in Chinese）

[10]Kan ZY，Peng HJ，Chen B，etal.Nonlineardynamic anddeployment analysisofclusteredtensegritystructuresusinga positional formulation FEM[J]. Composite Structures， 2018， 187： 241-258.

[11]AmendolaA，KrushynskaA，Daraio C，etal.Tuningfrequencybandgapsof tensegritymass-spring chains with localand global prestress[J]. International Journal of Solids and Structures， 2018， 155： 47-56.

[12]WangYLiXNZhuRetal.Wave propagatninunableghtweighttensegrityetastructure[]cientificRepts， 2018，8：11482.

[13]YinX，ZhangS，XuGKetal.Bandgapcharactersticsofatensegritymetamaterialchainwithdefects[]ExtremeMechanics Letters， 2020，36： 100668.

[14]ZhangLYYinXangJetalMultilevelstrcturaldefects-ducedelasticaveunabilityandlocalizatiofaengiy metamaterial[J].Composites Science and Technology， 2021， 207： 108740.

[15]WangYTZhaoWJRimoliJtalrestres-ctrolledasmeticavepropagationndreciprocityeakinginegrity metastructure[J].Extreme Mechanics Letters， 2020， 37： 100724.

[16] Zhang Q， Jiang B， Xiao ZM ，et al.Post-buckling analysis of compressed rods in cylinders by using dynamic relaxation method[J].International Journal of Mechanical Sciences， 2019，159： 103-115.

[17]RimoliJJ.Areduced-ordermodelforthedynamicand post-bucklingbehaviorof tensegritystructures[].Mechanicsof Materials，2018，116： 146-157.

[18]Nan G，QuSC，LiJetal.Harnesing postbucklingdeformationtotunesoundabsorptioninsoftHelmholtzabsobes[]. International Journal of Mechanical Sciences， 2021， 208： 106695.

[19]Bessa MABostanabadR，LiuZetal.Aframeworkfordata-drivenanalysisofmaterialsunderncertainty：counteringthe curse of dimensionality[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2017， 320： 633-667.

[20]GeYP，He ZG，LiSF，etal.Amachinelearning-basedprobabilisticcomputationalframeworkforuncertaintyquantification of actuation of clustered tensegrity structures[J]. Computational Mechanics， 2023， 72（3）： 431-450.

[21]ZhaoJYDong YL，YeCOptimizationofresidualstresesgenratedbyultrasonicnanocrystallnesurfacemodfication throughanalyticalmodelinganddata-drivenpredictin[J]nterationalJoualofMechanicalSciences，2977.

[22]rateraliFCarpentieriGAmendolaAOnthemchanicalmodelingoftheextremesoftening/stifeningesponseofaxilly loaded tensegrity prisms[J]. Journal of Mechanics Physics of Solids， 2015， 74： 136-157.

[23］鐵摩辛柯SP，蓋萊JM.彈性穩(wěn)定理論[M].張福范，譯.北京：科學(xué)出版社，1965. TimoshenkoS P， Gere JM.Theory ofelastic stability[M].Zhang FF，trans.Beijing：SciencePress1965.（in Chinese）

[24]MeaudJCheKKTuningelasticave propgationinutstablearchitectedmaterials[]teratinalJualofSolidsand Structures， 2017， 122/123： 69-80.

[25]JensenJS.Phononic bandgaps andvibrations inone-andtwo-dimensionalmass-spring structures[]Jouralof Sound Vibration， 2003，266（5）： 1053-1078.

[26]HerboldEB，Kim JNesterenkoVFetal.Pulse propagationinalinearandnonlineardiatomicperodicchain：eectsof acoustic frequency band-gap[J].Acta Mechanica， 2009， 205（1）： 85-103.

[27]Bessa MA，PellegrinoSDesignofultrathinshellstructuresinthestochasticpostucklingrange usingBayesianmachine learning and optimization[J].International Journal of Solids and Structures， 2018，139/140：174-188.

[28]DebKratapAAgarwalSetal.AfastandelistmultiobectiveenticgotmA-I]EEETanacto Evolutionary Computation， 2002， 6（2）： 182-197.

[29]LeeS，LimYGaldsLetalaussianprcessegessodrivendeedrawingblankesignmethod[]teratioJoual of Mechanical Sciences， 2024，265： 108898.

[30]Zhou JX，PanHB，CaiCQetal.Tunableultralow frequencywaveatenations inone-dimensionalquasi-zerostiffness metamaterial[J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design， 2021， 17（2）：285-300.

[31]HuHY，HuGKWangYTetal.Isolating low-frequencyvibrationvialightweightembeddedmetastructures[]cientia Sinica Physica， Mechanica amp; Astronomica， 2020， 50（9）： 090010.

（編輯鄭潔）