“怎樣解題表\"在幾何綜合問題解決過程中的應用

1 原題呈現

在正方形 ABCD 中， E 為射線 AB 上一點（不與點^A，B 重合），將線段 DE 繞點 E 順時針旋轉 90^° 得到線段 EF ，連接 CF ，作 FG⊥CF 交射線 AB 于點 G

（1）如圖1，當點 E 在線段 AB 上時，① 依題意補全圖形，并證明 ∠ADE=∠FEG ：

② 用等式表示線段 AE 和 EG 之間的數量關系，并證明.

（2）已知 AB=1 ΔEFG 能否是等腰三角形？若能，直接寫出使 ΔEFG 是等腰三角形的 AE 的長度；若不能，說明理由，

分析本題中，學生解決 （1）① 沒有障礙，對于①② 中 AE 和 EG 的數量關系能夠猜想得到，但證明過程比較困難.對于（2），在 AE=EG 的結論下，利用分類討論的方法可以很快得到滿足條件的 AE 的長.因此，本文主要對 AE=EG 的證法進行探究.

2運用\"怎樣解題表”的分析過程及解法呈現2.1弄清問題

弄清問題即理解題意，就是從題目本身獲取怎樣解這道題的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯系的更多信息.

（1）弄清題目的條件是什么.條件包括顯性條件和隱蔽條件，弄清條件就是要把它們都盡量找出來；更重要的是，弄清條件的數學含義.

在本題中，補全圖形，如圖2，除了明顯給定的條件，還可以得到的隱蔽條件有：

如圖3，過點 F 作 FH⊥AB 的延長線于點 H ， 則 ΔADE?ΔHEF ，進而有 FH=AE，EH= AD .繼而還有 BH=FH ；點 F 定在 ∠CBG 的角平 分線上.

（2）弄清題目的結論是什么.在本題中結論雖不是直接給出，但我們容易猜想到 AE=EG ，剩下的任務就是完成證明.

2.2 擬訂方案

在這個環節，弄清題目的條件和結論之間的數學聯系與圖形結構是擬訂方案的關鍵.

方案1：從圖形結構來看，點 E 為 AG 的中點，故倍長的方法值得一試.

方案2：從條件和結論來看，若能證得 EG 與FH 或BH之間存在等量關系即可，從和差角度考慮，若 EB=GH ，也可得到 AE=EG ；進一步思考，關注 ∠CFG=90^° ，這是點 G 的形成過程，因此如何利用這個條件也是值得思考的方向.

方案3：從圖形變換的角度來看，能否轉移 AE 或 EG 的位置呢？平移 ΔADE 得到 ΔCBH ，如圖4，進而有口DEHC， CH=EF ，此時證得 ΔCFH? ΔFGE 即可；同樣嘗試將 ΔADE 繞點 D 逆時針旋轉，如圖5，可以看到一些令人欣喜的圖形結構出現.

方案4：從轉移線段位置方向去思考，除了圖形變換之外，構造全等三角形也是一種比較常見的方法，利用（1）已得的 ∠ADE=∠FEG 和 DE=EF ，在 DA 上截取與 EG 相等的邊 DN ，如圖6，除了全等圖形之外，也可以得到更多特殊的相關圖形.

方案5：由于本題的背景是正方形，在關注圖形的形成過程中，可以發現多個等腰直角三角形，那么線段之間的比例關系也可以很容易表示出來，

方案6：本題背景是正方形，點 E 的位置也是在射線AB上，我們可建立平面直角坐標系，利用解析幾何的方法來計算點 G 的坐標，發現點 A，E，G 的坐標規律，從而得出結論.

2.3 執行計劃

從上述的分析與思考中，我們可以逐一地嘗試與解決.

2.3.1 基于中點進行聯想構造

解法1如圖7，延長 FE 至點 Q ，使得 EQ=FE 連接 DF，DQ，AQ ，易得等腰 RtΔDFQ ，則 DF=DQ ∠QDA=∠FDC ，又 DC=AD ，所以 ΔQDA? ΔFDC（SAS） ，則 ∠AQD=∠CFD=α ，又 ∠CFG= 90^° ，所以 ∠EFG=∠EQA=45^°-α ，則有 ΔEFG? ΔEQA （ASA），所以 EG=EA ：

評析利用中點構圖時倍長是一種常見的構圖方式，本題中“中點”處還存在垂直關系，利用垂直平分線構造等腰三角形也是常用的構圖方法.解法1是倍長 FE ，其實倍長DE也可以，只不過在本題條件下，找齊全等條件相對復雜.因此不同的倍長方向可以靈活選擇，這也是遇到困難時調整思路的一個方式.

2.3.2基于線段代換與和差角度進行的思考以及對圖形形成關鍵要素“垂直”的利用

解法2如圖8，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長線 于點 H ，并反向延長 FH 交 DC 的延長線于點 s ，則 有 ΔADE?ΔHEF 及矩形 CBHS ，則 EH=AD ！ HF=AE ，進而 EH=SH . BH=FH=CS ，則 SF= EB ，又 ∠CFG=90^° ，所以 ∠SCF=∠HFG ，則 ΔCSF?ΔFHG（ASA） ，所以 SF=GH ，進而 GH=EB ，所以 EG=BH=AE

評析此解法將線段進行和差運算或等量代換，并利用點 F，G 形成的關鍵要素，通過構造全等三角形轉移線段．“一線三等角”這一基本圖形也是學生所熟悉的.

2.3.3 基于圖形變換的構圖方法

由于利用圖形變換的輔助線易造成共線問題，我們通過轉換輔助線說明來解決問題.

解法3如圖9，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長線于點 H ，連接 CH ，交 EF 于點 J ，易得 ΔADE? ΔHEF ，則 AE=HF，AD=HE，EH=CD 且 EH // CD ，則有 ，則 DE ，所以 ∠CJF=∠DEF=90^° ，又 ∠CFG=90^° ，所以∠FCH=∠GFE ；又在 中，有 ∠CDE= ∠CHE ，又 ∠CDE+∠ADE=90^°，∠CHE ∠CHF=90^° ，所以 ∠CHF=∠ADE ，所以 ∠FEG =∠FHC ，又 DE=EF 0 DE=CH ，所以 EF=CH ，則有 ΔFEG?ΔCHF（ASA） ，所以 EG=FH ，則有 AE=EG ：

解法4如圖10，過點 D 作 DM⊥DE 交 BC 的延長線于點 M ，連接 MF ，則有 ΔADE?ΔCDM .則 AE=CM，DE=DM ，易得正方形 DEFM ，所以有 MF=EF ∠MFE=90^° ，又 ∠CFG=90^° ∠CBE =90^° ，所以 ∠MFC=∠GFE ， ∠FMC=∠FEG ，則有 ΔMCF?ΔEGF （ASA），所以 MC=EG ，進而AE=EG

評析圖形變換的構圖方式可以給學生帶來新的特殊圖形和解決方向，但也經常會給學生帶來共線的困擾，因此我們可以利用運動變換構圖，再轉換構圖說明，來解決問題.

2.3.4 構造全等轉移線段

解法5 如圖11，作 DN=AE ，連接 NE，NC .NC與DE相交于點 K ，易得 ΔADE? ΔDCN（SAS） ，則 ∠ADE=∠DCN，NC=DE ，易得 ∠DKC=90^° ，且 NC=EF ，又 ∠DEF=90^° ，所以CN//EF ，且 CN=EF ，則有 ，進而 NE// CF ，所以 ∠NEF+∠CFE=180^° ，又 ∠CFG=90^° .所以 ∠DEF+∠CFG=180^° ，所以 ∠DEN= ∠EFG ，又 DE=EF ∠NDE=∠FEG ，所以ΔDNE?ΔEGF（ASA） ，則有 DN=GE ，所以 AE =EG ：

評析本題中若直接截取 DN=EG ，解決過程相對復雜，因此學生需要通過轉換構圖說明來獲取困難條件，這樣在尋求解決路徑時，就可以及時調整思路，找到更快捷、更優的解決路徑.

2.3.5基于特殊圖形背景的線段關系（旋轉相似）

解法6如圖12，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長 線于點 H ，連接 BF，CG，AC ，則易得 ΔADE? ΔHEF（AAS） ，則有 AE=HF AD=HE ，所以 AE=BH=FH ，易得等腰 RtΔBFH ，又 ∠CFG= ∠CBG=90^° ，則點 C，B，G，F 共圓，則 ∠FCG= ∠FBG=45^° ，則 CF=FG ，則有等腰 RtΔGFC ，又 四邊形 ABCD 為正方形，則有等腰 RtΔABC ，所以 ∠ACB=∠GCF ，則 ∠ACG=∠BCF 則得 ΔACG～ΔBCF ，則有 ，所以 ，即 AE=EG

評析從解法6我們可以看到，旋轉相似也可以為證明線段數量關系帶來新的突破口，特別是有特殊角的旋轉時，線段比例關系更容易量化.

2.3. 6 解析法，建立平面直角坐標系進行坐標運算

解法7 如圖13，以點 A 為原點，分別以 _AB ！AD 為 x 軸， y 軸建立平面直角坐標系，令 AB=1 ，由于四邊形 ABCD 為正方形，所以 AD=CB=CD= 1，作 FH⊥x 軸于點 H ，因為 DE=EF ∠ADE= ∠HEF ，所以 ΔADE?ΔHEF（AAS） ，則有 AE= HF IF，AD=HE ，所以 AE=BH=FH ，不防設 AE= a ，則 F（1+a，a），C（1，1） ，所以直線 CF 的斜率k _CF 1-α，又CF」FG，所以直線FG 的斜率kFG=1-a，所以直線FG 的直線方程為：yFG = ，令 y=0 ，則 x=2a ，即 G（2a ，0），所以 AG=2a=2AE ，即 AE=EG

評析雖然解析法在初中階段并非解決幾何問題的主要考查方向，但對于拓展思路具有一定幫助，特別是特殊圖形，如正方形、等腰直角三角形以及含 30^°?60^° 角的直角三角形，學生能夠通過特殊角度所蘊含的數量關系得到點的坐標.在學習了銳角三角函數后，同學們也可嘗試利用三角函數表達點的坐標，這也為后續解析法的學習奠定了基礎.

2.4 回顧反思

回顧以上的解題方法和思路，這不僅是一個檢驗的過程，同時也是對于解決幾何問題方法的一次總結.在這個過程中，學生可以完善數學認知結構，獲得關鍵的數學思想方法，提高數學學習素養，從不同的解題角度獲得一題多解、拓展思維和調整思維的方向.

3結語

在解決幾何問題時，弄清顯性條件和隱蔽條件是理解問題的重要環節，關注圖形的形成過程是發現圖形規律及圖形特征的重要切入點；而建立聯系的過程，是思維切入和調整的關鍵所在，也是能否解出題目的關鍵.在本環節中，積累的基本圖形結構和構圖方法可以幫助學生發現更多的結論，從而將已知信息與未知內容連接起來，最終完成對問題的解決.

參考文獻：

[1波利亞.怎樣解題M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

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