以圓為背景的最值問題分類探析

1以圓為背景的單線段最值問題

例1如圖1，在圓 O 中，弦 AB=4 ，點(diǎn) c 在AB上移動，連接 OC ，過點(diǎn) C 作 CD⊥OC 交圓 O 于點(diǎn)D ，則 CD 的最大值為（ ）

（A）2√2 （B）2 （C） （D） √5

2

解如圖2，連接 OD ，設(shè)圓 O 的半徑為 r ，因?yàn)?CD⊥OC ，所以 ∠DCO=90^° ，所以 CD=

所以當(dāng) 的值最小時(shí)， CD 的值最大，而當(dāng)OC⊥AB 時(shí)， OC 最小，

此時(shí) D，B 重合，則由垂徑定理可得： CD=CB ，所以 CD 的最大值為2.

故選B.

例2如圖3，在 RtΔABC 中， ∠C=90^°，BC= 3，AC=4，D，E 分別是 AC，BC 上的一點(diǎn)，且 DE= 3.若以 DE 為直徑的圓與斜邊 AB 相交于 M，N ，則MN的最大值為（ ）

（A） （B）2.

解如圖4，取 DE 的中點(diǎn) O ，過 O 作 α_G⊥AB 垂于 G ，連接 α ，

因?yàn)? ，只有當(dāng) C，O，G 三點(diǎn)在一條直線上時(shí) OG 最小，連接 OM ，因?yàn)?M 在圖 O 上，

所以 ，在 RtΔMGO 中， OM 為定值，根據(jù)勾股定理逆定理只有 OG 最小， GM 才能最大，從而MN有最大值，

作 CF⊥AB 于 F ，所以 G 和 F 重合時(shí)， MN 有最大值，

因?yàn)?∠C=90^°，BC=3，AC=4 ，所以 AB=

因?yàn)? ，所以

所以 所以 MG= . ，所以 ：

故選（C）

2 以圓為背景的線段之和最值問題

例3如圖5，MN是 ?O 的直徑， A，B，C 是?O 上的三點(diǎn)， ∠ACM=60^° ，點(diǎn) B 是劣弧 AN 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是 MN 上一動點(diǎn)，若 ?O 的半徑為2，則 PA +PB 的最小值為

解如圖6，作點(diǎn) B 關(guān)于 MN 的對稱點(diǎn) B^′ ，連接 O A"、 O B"、 O B 、 P B 、 A B

因?yàn)?O 為圓心， C 在圖上，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，所以 ∠AOM=2∠AOC =120^° ，所以 ∠AON=60^° ，

因?yàn)辄c(diǎn) B 是弧AN的中點(diǎn)，所以 ∠AOB= ∠BON=30^° .

由軸對稱的性質(zhì)， ∠B^′ON=30^°，PB^′=PB ，所以 ∠B^′OA=90^°，PA+PB=PA+PB^′ 所以當(dāng) A?P?B^′ 三點(diǎn)共線時(shí)， PA+PB 值最小為 AB^′ ，由勾股定理得， .故答案為： ·

3 以圓為背景的面積最值問題

例4如圖7，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線y=-x-2 與 x 軸 .y 軸分別交于 A，B 兩點(diǎn)， C，D 是半徑為1的 ?O 上兩動點(diǎn)，且 ，點(diǎn) P 為弦CD 的中點(diǎn).當(dāng) C，D 兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)， ΔPAB 面積的最大值是 ，最小值是

解如圖8，過點(diǎn) P 作 PQ⊥AB 于點(diǎn) Q ，連接

OC，OP，OQ ，因?yàn)??O 的半徑為1，所以 OC=1 .因?yàn)辄c(diǎn) P 為弦 CD 的中點(diǎn)， ，所以 所以 OP =√OC2-PC2=√，對于一次函數(shù) y=-x-2 ，當(dāng) y=0 時(shí)， -x-2=0 ，解得 x=-2 ，即 A（-2，0） ， OA=2 ，當(dāng) x=0 時(shí)， y=-2 ，解得 B（0，-2） ， OB=2 ，所以在 RtΔAOB 中， OA=OB ，

所以 ΔPAB 的面積為

所以要使 ΔPAB 的面積最大或最小，只需 PQ 最大或最小，

又因?yàn)?OP+OQ?PQ，OQ-OP?PQ （當(dāng)且僅當(dāng)，點(diǎn) ^O，P，Q 共線時(shí)，等號成立），

所以 PQ 的最大值為 OP+OQ ，最小值為 OQ-

OP ，此時(shí)點(diǎn) 共線，所以此時(shí)

，所以 PQ 的最大值為 ，最小值為

，所以 ΔPAB 面積的最大值是

（20 ，最小值是 ，故答案為：3，1.

4“隱圓”背景下的最值問題

例5（1）如圖9，矩形ABCD中， ，BC=8. 點(diǎn) P 是 BC 邊上一動點(diǎn)，點(diǎn) M 為線段 AP 上一動點(diǎn). ∠ADM=∠BAP ，則BM的最小值為.

（A）2. （B） （C）2.4. （D）√21-4.

解（1）如圖10，取 AD 的中點(diǎn) O ，連接 OB ！OM ，因?yàn)樗倪呅?ABCD 為矩形，所以 ∠BAD= 90^°，AD=BC=8 ，所以 ∠BAP+∠MAD=90^° ，因?yàn)?∠ADM=∠BAP ，所以 ∠MAD+∠ADM= 90^° ，所以 ∠AMD=90^° ，因?yàn)?AO=OD=4 ，所以 ，所以點(diǎn) M 在 O 點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓 O 上.

因?yàn)? 所以 BM?OB-OM=2 ，

所以 BM 的最小值為2.

故選A.