初中數(shù)學(xué)幾何最值問題及解題思維模式

為提高我國青少年學(xué)生的整體核心素養(yǎng)以及教師教學(xué)的質(zhì)量，教育部發(fā)布了最新的課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，推動了新課程改革的實施.而數(shù)學(xué)學(xué)科作為我國教育體系中的基礎(chǔ)學(xué)科，占據(jù)著重要地位，對學(xué)生的發(fā)展具有重要作用.在新一輪的數(shù)學(xué)課程改革中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》強(qiáng)調(diào)“幾何直觀”素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，并將“圖形與幾何”作為單獨的一部分教學(xué)內(nèi)容，在中考中，幾何最值問題也是熱門考點，由此可見其重要性1.初中階段，學(xué)生的思維模式主要由具體形象思維逐漸向抽象思維轉(zhuǎn)變，是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要階段.因此，對于抽象性較強(qiáng)、題型復(fù)雜、知識點較多的幾何最值問題，學(xué)生難以進(jìn)行有效的理解與消化，以形成系統(tǒng)的解題思維模式.基于此，本文將對初中數(shù)學(xué)幾何最值問題及解題思維模式展開深入的研究，分析此類問題的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng).

一 問題的提出

幾何最值問題一直以來都是中考中的熱點題型，選擇、填空以及解答題中均可能對幾何最值的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行考查，尤其經(jīng)常作為壓軸題區(qū)分學(xué)生水平，可以說幾何最值問題是初中數(shù)學(xué)中綜合性較高的題目.學(xué)生若是沒有扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與靈活的思維能力，很難實現(xiàn)在短時間內(nèi)解出答案.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分重視學(xué)生幾何最值問題的訓(xùn)練與積累，總結(jié)其解題思路、方法與技巧，促進(jìn)解題思維模式的形成2.所以，對初中數(shù)學(xué)幾何最值問題及解題思維模式的研究是十分必要的.

2初中數(shù)學(xué)中\(zhòng)"將軍飲馬”幾何最值模型

2.1 將軍飲馬模型

“將軍飲馬”模型是幾何最值問題中最具代表性且難度較低的一類問題，主要用于考查學(xué)生線段之間和差最值問題.在解題過程中，主要知識點根據(jù)為：

（1）線段公理：兩點之間，線段最短；點到直線的距離，垂線段最短.（2）對稱的性質(zhì)：關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形全等；兩個對稱圖形對應(yīng)點連線的垂直平分線可稱為對稱軸.（3）三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊[3].

2.2 定點定線

例1如圖1，有定直線 Ψ_m ，點 A，B 在直線的異側(cè)，在直線上找一點 P ，使 PA+PB 最小.

解題思路 由兩點之間線段最短可知，因此，若想要 PA+PB 最小，則可直接連接點 A 與點 B ，連線與直線 Σ_m 的交點 P 即為所求點的位置.同時，在直線 Σ_m 上隨便取一點 Q ，連接 QA 與 QB ，由三角形的三邊關(guān)系可知 PA+PB 的值最小，即點 A 點B 與點 P 三點共線時，線段和最小，如圖2所示.與之類似的還有點 A，B 在同側(cè)的情況.

例2如圖3，有定直線 m ，點 A，B 在直線的同側(cè)，在直線上找一點 P ，使 PA+PB 最小？

解題思路 首先利用對稱的性質(zhì)，將直線 Σ_m 看做對稱軸，將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)，作點 B 關(guān)于直線 m 的對稱點 B₁ ，然后連接 AB₁，AB₁ 與直線 Ψ_m 的交點即為所謂的點 P ，此時 PA+PB 最小.“將軍飲馬”最值問題的解題關(guān)鍵在于將折線段變化為直線段[4].

解如圖4所示，作點 B 關(guān)于直線 m 的對稱點B₁ ，連接 AB₁ 與直線 Ψ_m 相交于點 P ，鏈接 PB

由對稱的性質(zhì)可知， PB=PB₁ ，所以 AB₁=PA+PB₁=PA+PB. （204因此，由兩點之間線段最短可知，此時， PA+ PB最小.

2.3 兩定兩動之點點

例3存在兩個定點 A，B ，以及兩條定直線 Σ_m 了n ，在直線 上分別取點 P?Q ，使 PA+PQ+BQ最小？

分析只給定直線與點，卻沒有給定點與直線的位置時，需要對其進(jìn)行分類討論.

類型1如圖5，兩個定點在A、B在分別位于兩條定直線 的外側(cè).

解題思路 由兩點之間線段最短可得，連接AB與直線 分別相交的兩個點即為所求的點P Q，如圖6所示.

類型2如圖7，點 A 在兩定直線 的外側(cè)， 點 B 在兩定直線 的內(nèi)側(cè).

解題思路根據(jù)類型一可得，只需將點 B 轉(zhuǎn)移到定直線外側(cè)即可.因此，作點 B 關(guān)于直線 n 的對稱點 B₁ ，然后連接 AB₁ ，從而與直線 交于分別交于點 P?Q ，此時 PA+PQ+BQ 最小，點 P 、 Q 即為所求[5].

解如圖8所示，作點 B 關(guān)于直線 m 的對稱點B₁ ，連接 AB₁ ，與直線 交于分別交于點 P?Q 三由對稱的性質(zhì)可知 QB=QB₁ 所以 AB₁=PA+PQ+QB₁=PA+PQ+QB

因此，由兩點之間線段最短可知，此時， PA+ PQ+QB 最小.

類型3 如圖9，兩定點 A 、B都在定直線 的內(nèi)側(cè).

解題思路 與上述兩個類型相似，解題的關(guān)鍵在于將直線內(nèi)側(cè)的定點轉(zhuǎn)移到直線外側(cè).同樣通過對稱的性質(zhì)，作點 A 與點 B 關(guān)于直線 的對稱點 ，然后連接 A_iB₁ ，分別與直線 相交，得到點 P 與點 Q ，這兩點即為所求[6].

解如圖10所示，作點 B 關(guān)于直線 Σ_m 的對稱點 B₁ ，連接 AB₁ ，與直線 交于分別交于點P?Q

由對稱的性質(zhì)可知 PA=PA₁ QB=QB₁ 所以 AB₁=PA₁+PQ+QB₁=PA+PQ+QB 因此，由兩點之間線段最短可知，此時， PA+ PQ+QB 最小.

2.4將軍飲馬幾何最值問題的解題思維模式

將軍飲馬最值問題是初中階段數(shù)學(xué)幾何最值問題中最基本解題模型，其解題思維主要分為三步：第一步，利用軸對稱的知識點，作點關(guān)于直線的對稱點，求最小值時，將定點轉(zhuǎn)移到直線一側(cè)；求最大值時，則轉(zhuǎn)移到同側(cè).第二步，利用兩點之間線段最短，求解線段和.第三步，利用三角形三邊之間的關(guān)系，求解線段差[].

3結(jié)語

綜上所述，幾何最值問題是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，是中考中的常見題型，具有綜合性較強(qiáng)、內(nèi)容較多等特點.本文主要介紹了其中最基礎(chǔ)的“將軍飲馬”最值模型，梳理了解題的關(guān)鍵與思路，為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何最值問題提供了入門基礎(chǔ)參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]丁力.初中數(shù)學(xué)幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（14）：79-80.

[2」林明新.巧作輔助線—輔助圓解決初中幾何中的面積最值問題[J].數(shù)理天地（初中版），2022（07）：62-63.

[3]Zhou，H，Wen，F(xiàn).The Application of Geometer'sSketchpad in Mathematics Teaching in Junior MiddleSchool[J].Academic Journal of Mathematical Sciences，2023，04（03）.

[4」楊艷丹，鄭振興.一類動態(tài)幾何最大值問題思維障礙分析與解題策略J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（09）：46-48.

[5]張海霞.以模型為例探究幾何最值問題[J].數(shù)理化解題研究，2021（35）：34—35.

[6」鄧達(dá)，項志成.例談\"化折為直\"在解決幾何最值問題上的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2021（04）：16-18.

[7]蔣雁.基于核心素養(yǎng)背景下初中幾何最值問題的解題方法[J」.數(shù)理化解題研究，2019（20）：33-34.