基于AK-FORM方法和降維方法的高效時變可靠度分析方法

關鍵詞：時變可靠度;PHI2方法；一次可靠度方法；Kriging模型;跨越率；降維方法中圖分類號：TB114.3；TU318 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2025）03-0162-09

An efficient time-varying reliability method based on AK-FORM method and dimension reductionmethod

ZHANGLiang1，TANGYake1，NIUKai'，LIHaoyu ² ，YU Shujun2 （1.State Grid Henan Economic Research Institute， Zhengzhou 45oo52，P.R.China；2.Schoolof Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 40oo45，P.R. China）

Abstract： The PHI2 method is commonly used to perform the time-varying structural reliability analysis，with thecalculation of outcrossing rate being pivotal to its implementation.Achieving suficient accuracy is often necessary to calculate the outcrossng rate at a large number of moments.However，for practical problems involving complex limit state surfaces，the calculation of the outcrossing rate at each moment can be very timeconsuming.To further improve the eficiency of PHI2 method，three strategies are proposed to be introduced in this paper to improve the eficiencyof calculating outcrossing rate.Firstly，the strategy without Cholesky decomposition is used to reduce the number of random variables，while the corrsponding calculation of correlation coeficients is given. Secondly，the improved first-order reliability method based on the adaptive Kriging model（AK-FORM） is introduced to efficiently calculate the reliability index at each moment.Finally， the two-dimensional integral isconverted into aone-dimensional integral byusing the dimensionreduction method.The threeimprovement strategies are combined with thePHI2 method，which forms an eficient timevarying reliability analysis method based on the AK-FORM method and the dimension reduction method，i.e.， the K-PHI2 method.Meanwhile，only the strategy without Cholesky decomposition is combined with the PHI2 method to form the PHI2- method.The calculation results of numerical and engineering examples demonstrate that the PHI2- and K-PHI2 methods proposed in this paper have the same high accuracy as the PHI2 method， and both are better than the PHI2+ method （an improved method based on PHI2） in terms of accuracy; compared with the PHI2 and PHI2 + methods，the PHI2-method has a little improvement in efficiency，while the K-PHI2 method further greatly improves the eficiency of time-varying reliability analysis on this basis.

Keywords： time-dependent reliability；PHI2 method;irst-order reliability method （FORM）；Kriging model; outcrossing rate；dimension reduction method

結構可靠度分析旨在通過考慮結構或荷載的隨機性確定結構在規定時間內的失效概率。傳統的結構可靠度分析[1-2]一般認為結構的模型特性與服役環境不隨時間而變化。實際上，結構在服役期間的幾何形狀、材料性能等特性會隨時間而退化，所受荷載亦隨時間而變化[3-6]，對結構進行時變可靠度分析才能評估其真實狀態。目前，基于首次超越破壞準則的時變可靠度分析方法主要分為兩種[7-9]：一種是基于極值的方法，另一種是基于跨越率的方法。

基于極值的方法基本思路是根據極限狀態函數極值的概率特征獲得失效概率，從而將時變問題轉化為時不變問題[10]。蒙特卡洛模擬（MCS）方法是一種典型的基于極值的時變可靠度方法，該方法簡單且精確，但在實際應用中需消耗大量計算資源[1]。為提高對可靠度問題的分析效率，研究者們提出了兩種改進思路：一種是對采樣方法進行改進，如引入重要性采樣方法[2]和子集模擬方法[13]等，但這種方法在處理小失效概率事件時仍不可避免地需要大量樣本以達到較高精度；另一種是近似處理極限狀態函數極值的概率分布，如引入概率密度演化方法[14]和代理模型方法[2，5-6]等。其中，Kriging代理模型因具有同時提供預測點期望和標準差的特性而被廣泛應用。考慮到基于一次性抽樣的普通Kriging方法無法保證訓練樣本的有效性，將Kriging模型和高效的主動學習策略相結合的AK類方法[15-17]近年成為研究熱點。將AK方法與一次可靠度方法（FORM）相結合的AK-FORM方法在保證精度的同時有效提高了FORM方法的效率，是一種具有發展前景的可靠度分析方法。

基于跨越率的方法基本思路是基于泊松過程、馬爾可夫過程等假設，利用數值積分方法將任意離散時刻極限狀態函數的跨越率映射為失效概率。跨越率最早由Rice[18提出，但其概念難以應用于實際。隨后，研究者們通過引入首次超越公式求解方法和基于跨越事件發生服從泊松過程假設的解析方法等，拓寬了跨越率模型的應用范圍。近年來，PHI2方法19成為了一種被廣泛應用的時變可靠度分析方法，該方法將跨越率的計算轉換為并聯的靜態問題，從而實現了跨越率的高效求解。為達到足夠的計算精度，PHI2方法會將時間周期以較小的時間增量進行離散化，即需要計算大量時刻處的跨越率。顯然，跨越率的求解效率是影響PHI2方法效率的關鍵因素，而跨越率的求解主要涉及到相關系數計算、相鄰時刻處的可靠指標計算以及二維積分計算。在處理極限狀態面很復雜的實際工程問題時，單次跨越率的求解效率有待提高。為提升PHI2方法的效率，研究者們提出了PHI2+[20]、EPHI2[11]等方法，但這些方法大多僅從某一方面改進了跨越率的計算效率，并且有可能獲得不準確的可靠度評估結果。

筆者從3個方面改進PHI2方法，形成一種高效的時變可靠度分析方法。首先，采用無Cholesky分解的策略來減少可靠指標求解過程中的隨機變量數目，然后采用基于主動學習Kriging模型的改進一次可靠度（AK-FORM）方法來計算各時刻的可靠指標，再利用降維方法將二維積分轉化為一維積分，從而完成跨越率的計算。最后通過數值算例和工程算例驗證建議方法的精度和效率。

1 時變可靠度分析的PHI2方法

1.1 PHI2方法的原理

假設結構時變可靠度問題的極限狀態方程為

Z（t）=G（X，Y（t），t）

式中： 為 n-1 維隨機變量向量；Y（t） 為一維隨機過程。

基于跨越事件的方法是計算時變可靠性問題最常用的方法之一，將時間周期 [0，t] 內跨越事件的數量定義為 N⁺（0，t） ，結構在時間周期 [0，t] 內的累計失效概率可表示為[19-20]

由式（2）可知， P_f，c（0，t） 的上界為[21]

式中： P_t，i（0） 表示初始時刻結構的失效概率； v⁺（τ）為 τ 時刻的跨越率，可由式（4）計算。

式中： Δτ 為時間增量。

若 Y（t） 在 τ 與 τ+Δτ 時刻的截口隨機變量分別用 Y_k^（1） 與 Y_k^（2） 表示，兩者間的相關系數為

若 Y（t） 為平穩非高斯隨機過程，則 Y_k^（1） 與 均為非高斯變量，可引入Nataf變換將其轉換為獨立的標準正態變量。為簡便，僅考慮 Y（t） 為平穩高斯隨機過程的情形，可先通過線性變換將其轉化為均值為0、標準差為1的高斯過程 。相應地，Y_k^（1） 與 可表示為相應的標準正態變量 與 的線性函數，且 與 的相關系數仍為ρ_Yk（τ，τ+Δτ） ；然后可引入Cholesky分解，將 與 用獨立的標準正態變量 表示，即

于是，在標準正態空間中， τ 時刻的極限狀態面可由超平面近似為

式中： （204u₃…u_n+1 分別為隨機向量 X 轉換至標準正態空間后對應的標準正態變量； β（τ） 為 τ 時刻的可靠指標。同理， τ+Δτ 時刻的極限狀態面可近似為

式中： （20α_h，3…α_h，n+1）：β（τ+Δτ） 為 τ+Δτ 時刻的可靠指標。在PHI2方法中[19]， τ 和 τ+Δτ 時刻的線性化功能函數的相關系數為

式中： α～（τ）=（α_l，1，0，α_l，3…α_l，n+1） 。此時，跨越率的計算可轉換為式（10）所示并聯靜態問題的求解。

式中： 均可由FORM方法求解； 為二維標準正態分布函數，即

式中： φ₂（?） 為二維標準正態概率密度函數。

1. 2 PHI2方法的計算性能

利用PHI2方法進行時變可靠度分析的關鍵在于跨越率 v⁺（τ） 的求解，主要包括3個步驟：首先，通過Cholesky分解將隨機變量 與 獨立化，并推導相關系數 ρ_G（τ，τ+Δτ） ；然后，利用FORM方法計算各時刻的可靠指標；最后，利用二維數值積分方法求解 Φ₂[β（τ），-β（τ+Δτ），ρ_G（τ，τ+Δτ）] 顯然，上述3個步驟的計算效率對方法的總效率有著至關重要的影響。

1.2.1Cholesky分解對計算效率的影響

由式（6）可知，通過引入Cholesky分解， τ+Δτ 時刻的隨機變量 表示為2個隨機變量的線性組合，因此，計算 τ+Δτ 時刻的可靠指標時，所需考慮的隨機變量數目由 n 增加至 n+1 。若采用FORM方法計算可靠指標，則每一迭代過程所需計算的梯度值亦增加1個；若采用單邊差分法計算梯度值，相應功能函數的調用次數亦增加1次。因此，采用Cholesky分解將隨機變量 獨立化會導致τ+Δτ 時刻可靠指標計算的每次迭代都多調用1次功能函數，從而降低可靠指標的求解效率。

不難發現，若能不增加 τ+Δτ 時刻隨機變量的數目，將有助于提高該時刻可靠指標的計算效率。

1.2.2各時刻可靠指標計算效率的影響

為達到足夠的失效概率預測精度，PHI2方法通常將時間周期以較小的時間增量進行離散化，因此，需要計算大量時刻處的跨越率。由式（10）可知，求解任意時刻的跨越率均涉及到 β（τ） 和 β（τ+ Δτ 的計算。因此，若采用FORM方法計算各時刻的可靠指標，PHI2方法將涉及大量FORM方法的運行，顯然，FORM方法的分析效率會在很大程度上影響PHI2方法的分析效率。然而，FORM方法的每一迭代過程均需通過調用功能函數確定迭代點的功能函數值與梯度值，若能在迭代過程中減少功能函數的調用次數，時變可靠度分析效率將得到極大提高。

1.2.3二維積分的求解

由式（11）可知， Φ₂[β（τ），-β（τ+Δτ），ρ_G（τ，τ+ Δτ） ]本質上是二維積分，盡管可采用數值積分求解，但并不特別方便。尤其需要指出的是，PHI2方法中， .ρ_G（τ，τ+Δτ） 的值較為接近一1[19]，此時采用二維數值積分時 φ₂（?） 中的大部分積分節點為無效節點[22]，導致二維數值積分方法效率較低。

若能避免直接采用二維數值積分求解 Φ₂[β（τ） ，-β（τ+Δτ），ρ_G（τ，τ+Δτ）]， 將有助于改善時變可靠度分析的性能。

2 高效的時變可靠度分析方法

為提高PHI2方法的計算效率，引入3個策略對其進行改進：

1）不引入Cholesky分解將隨機變量 與 獨立化，以避免各個時刻可靠指標計算時隨機變量數目的增加。

2）引人基于主動學習Kriging模型的改進一次可靠度方法計算各時刻的可靠指標，以提高FORM方法的計算效率。

3）利用降維方法將式（11）中的二維積分轉化為一維積分，以簡化計算

2.1無Cholesky分解時相關系數的計算

若不引入Cholesky分解將隨機變量 與 獨立化，即 τ 時刻與 τ+Δτ 時刻的 與 均為基本隨機變量，那么 τ 時刻與 τ+Δτ 時刻的功能函數均只涉及 n 個隨機變量，這有助于改善 β（τ+Δτ） 的計算效率，但 ρ_G（τ，τ⁺Δτ） 的表達式（9）將不再適用。

綜合式（6）式（7）不難發現， τ 時刻的近似極限狀態面仍可由式（7）表示，但 τ+Δτ 時刻的近似極限狀態面需修改為

式中 。很明顯， 中僅包含 n 個隨機變量。定義標準正態變量

V_L 與 V_H 間的相關系數為

ρ_VLVH=E（V_L?V_H）=

當 i≠j 時，有 E[u_i?u_j]=0 。因此，式（15）可改寫為

由于式（16）中 ，式（16）可被進一步化簡成

由式（7）式（12）可知， .ρ_G（τ，τ⁺Δτ） 為 ρ_VLVH 的相反數，即

值得指出的是，若將無Cholesky分解的策略直接與PHI2方法相結合，在計算 β（τ+Δτ） 時僅涉及 n 個隨機變量，可進一步提高PHI2方法的分析效率，進而形成一個改進的PHI2方法，將此方法記為PHI2方法。

2.2基于主動學習Kriging模型的改進一次可靠度方法

各時刻可靠指標的求解效率對時變可靠度分析的效率十分重要。因此，采用高效的基于主動學習Kriging模型的改進一次可靠度方法（AK-FORM）[]求解 β（τ） 和 β（τ+Δτ） ，以改善各時刻可靠指標的計算效率。

該方法在迭代過程中有兩個階段：全局搜索階段和局部搜索階段。若第 q 次迭代點 u^（q） 與第 q-1 次迭代點 的距離 ||u^（q）-u^（q-1）| |大于等于某一較小的閾值 （可取 c=0.1， ，則屬于全局搜索階段，否則屬于局部搜索階段。在全局搜索階段沿用已有FORM方法迭代至 ∥u^（q）-u^（q-1）∥lt;0.1 。在局部搜索階段，首先以全局搜索階段的迭代點和計算梯度值所用差分點為初始訓練點 為初始樣本點數）建立初始Kriging模型，然后根據Kriging模型在后續迭代點處的預測精確性自適應地更新模型。假設第l次更新的Kriging模型為 ，由 確定的迭代點記作 。該迭代點的預測精度可由 S（u^（M+l）） 衡量。

式中： 和 分別為 對應的預測值和標準差。由Kriging模型的高斯特性可知，S（u^（M+l））≥50 時， 對應的預測響應 的誤差小于 6% 的概率大于 99.7% ，說明 具有較高預測精度，不需要更新 。反之，需要將 加人訓練點集 并結合該點真實的響應 z^（k+l） 更新 ，即

式中 ：f（U） 為多項式基函數； ：P^（l+1）?m（U）^（l+1）"分別為利用訓練點""及其真實的響應建立的回歸系數向量和方差為 σ²"的零均值高斯過程。在局部搜索階段的每一迭代過程中，均采用更新的Kriging模型式（20）代替功能函數進行計算。正是由于在局部搜索階段引入了自適應的更新Kriging模型，AK-FORM方法通常較常規的FORM方法具有更高的計算效率。AK-FORM方法的流程圖見文獻[17]。

2.3二維標準正態分布函數的降維積分計算方法

為避免直接采用二維數值積分求解 Φ₂[β（τ） -β（τ+Δτ），ρ_G（τ，τ+Δτ）] ，引入降維方法23將二維只分簡化為一維積分，即

式中： 表示一維標準正態分布函數。將式（21）代入式（10），此時僅用一維數值積分方法即可求解τ 時刻的跨越率，相較于二維積分的求解更加簡單高效，并且解決了 ρ_G（τ，τ+Δτ） 取值接近一1所導致的積分節點利用率低的問題，從而進一步提升了PHI2方法的時變可靠度分析效率。需要指出的是，體系可靠度分析研究中，針對 Φ₂[β（τ），-β（τ+Δτ） ρG（τ，τ十△τ）]給出了一些簡化的近似計算方法[24-26]，盡管由于不涉及積分而計算簡單，但其適用范圍與精度往往受到一定影響。

2.4時變可靠度分析及步驟

將上述3個策略與PHI2方法相結合，即形成了建議的基于AK-FORM方法和降維方法的高效時變可靠度分析方法，簡記為K-PHI2方法。該方法流程圖見圖1，其主要步驟包括

1）將時間段 [0，t] 以dt為間隔進行離散，并確定時間增量 Δτ ，使得 ρ_Yk（τ，τ+Δτ） 的取值位于[0.990，0.995]之間。

2）利用AK-FORM方法計算 τ 和 τ+Δτ 時刻的可靠指標 β（τ），β（τ+Δτ） 和靈敏度系數 Δτ） 。

3）參考無Cholesky分解策略，由式（18）計算 τ 和 τ+Δτ 時刻間的極限狀態面相關系數 ρ_G（τ，τ⁺ Δτ， 。

4）將步驟2）和3）中得到的 β（τ），β（τ+Δτ） 和 ρ_G （τ，τ+Δτ） 代入式（21），然后利用一維數值積分方法求解

5）將 Φ₂[β（τ），-β（τ+Δτ），.._G（τ，τ+Δτ） ]代入式（10），確定 τ 時刻的跨越率 v⁺（τ） 。

6）不斷重復步驟2） ～5 ）計算新時間 τ+dt 的跨越率，直至得到所有時刻的跨越率。

7）由式（3）計算失效概率 P_f，c（0，t） 。

3 算例分析

首先通過一個設計的簡單數值算例說明K-PHI2方法的計算流程，然后用一個經典的具有顯式表達式的工程算例對比各方法的計算性能，最后將驗證后的方法應用到了涉及有限元分析的工程算例中，進而表明K-PHI2對于各種時變可靠度問題的適用性。各方法的效率以功能函數調用次數 N 來評估，精度由可靠指標的相對誤差 εr_β 來評估，即

式中： β_mcs 為MCS方法的可靠指標計算結果； β 為其余方法（即PHI2方法[19]、PHI2-方法、 PHI2+ 方法[20]以及K-PHI2方法）的可靠指標計算結果。其中，PHI2 + 方法基于有限差分法對PHI2方法進行了改進，其跨越率表達式為

式中： φ（?） 為一維標準正態概率密度函數。

3.1 算例1：數值算例

考察由文獻[17]修改而來的功能函數

式中：退化系數 r=0.009 ；隨機變量向量 R 和 G 分別為構件的初始抗力和永久荷載效應，各隨機變量相互獨立，其概率信息見表1； Y（t） 為高斯過程，在此為時變的可變荷載效應 Q（t） ，其間隔時間為 Δτ 的兩截口隨機變量間的相關系數為

式中： λ 為相關長度，取 λ=1/12a ，時間間隔 Δτ= 0.1λ，此時 ρ_Yk（τ，τ+Δτ）=0.99 。各隨機變量和隨機過程的統計信息見表1。

該算例對構件5a內的時變可靠度進行評估，時間段[0，5]被均勻分成125個區間。由于引入了無Cholesky分解策略，K-PHI2方法每個時刻的跨越率計算僅涉及3個隨機變量。以 τ=1 時的跨越率v⁺（1） 的求解為例，簡要說明K-PHI2方法的計算流程：首先，利用AK-FORM方法計算可靠指標 和靈敏度系數α（1）=（-0.8158415，0.1039628，0.5688535） 、α（1+Δτ）=（-0.8158360，0.1039643，0.5688611） ，這一過程僅需調用36次功能函數。相比較而言，PHI2-方法計算可靠指標和靈敏度系數也僅涉及3個隨機變量，但由于采用了傳統FORM方法，其功能函數調用次數為88。由于需要Cholesky分解，PHI2方法計算可靠指標和靈敏度系數會涉及4個隨機變量。此外，PHI2方法還采用傳統FORM方法，其功能函數調用次數為99。然后，K-PHI2方法直接由式（18）得到 τ 和 τ+Δτ 時刻的極限狀態面相關系數 ρ_G（1，1+Δτ）=-0.9967801 。接下來，將 與 ρ_G（1，1+Δτ） 帶人由降維策略得到的式（21），即可直接利用一維數值積分方法求解 10^-6 。最后，將求解結果代入式（10）即得到 τ 時刻的跨越率 。顯然，K-PHI2在3個方面對PHI2方法進行了改進，各方法的計算結果見表2和圖2、圖3。

表2記錄了各方法計算出的第5年時結構的失效概率以及總的功能函數調用次數。圖2、圖3分別展示了各方法計算出的5a內結構的時變可靠指標和失效概率。由圖可知， PHI2+ 方法精度較差，而提出的PHI2-、K-PHI2方法與PHI2方法精度相當，這與表1中的結果相吻合，表明PHI2-、K-PHI2方法與PHI2方法一樣具有良好精度。此外，相較于PHI2方法，由于不引入Cholesky分解，PHI2-方法減少了 τ+Δτ 時刻的基本隨機變量數目，功能函數的調用次數就由12375次減少為11000次，說明建議的不引入Cholesky分解策略有助于提升可靠度分析效率。而在PHI2-方法的基礎上，K-PHI2方法采用更高效的AK-FORM方法代替FORM方法計算 β（τ） 和 β（τ+Δτ） ，從而使功能函數調用次數由11000次降低至4590次，說明K-PHI2方法能進一步提升可靠度分析效率。需要指出的是，上述各方法的效率均高于MCS方法。綜上所述，PHI2-方法在一定程度上提高了PHI2方法的效率，K-PHI2方法在其基礎上做出進一步改善，在保證精度的同時極大地提高了時變可靠度分析效率。

3.2算例2：工程算例1一顯式表達式算例

考察如圖4所示的矩形截面簡支腐蝕梁的可靠度問題[1，19-20]，功能函數為

a（t）=a₀-2rt;b（t）=b₀-2rt

式中： 分別為材料屈服應力、初始梁寬和梁，各隨機變量相互獨立，其概率信息見表 3;Y（t） 為高斯過程，在此為時變的豎向集中荷載 F（t） ，其相關長度和時間間隔同算例1。 L=5m 為梁的跨長； c=78.5kN/m³ 為鋼密度； r=0.03 mm/a 為腐蝕速率。

表4統計了各方法對該算例的計算結果，圖5、圖6為各方法所得可靠指標和失效概率。結果表明，PHI2 + 方法精度欠佳；其余方法與MCS方法之間的可靠指標相對誤差均在 5% 以內。其中，PHI2方法總共需要調用68150次功能函數，而PHI2-方法和K-PHI2方法分別僅需調用61955次和23391次功能函數。說明在保證精度的前提下，PHI2-方法的效率稍高于PHI2方法和PHI2 + 方法，而K-PHI2方法的效率遠高于其他各方法。實際工程中存在許多與此算例類似的問題，而建議方法適用于分析此類問題，且相較于PHI2方法和 PHI2+ 方法性能更優，能高效準確地對結構可靠度進行分析。

3.3算例3：工程算例2一有限元算例

圖7所示桁架結構27的時變可靠度對應的功能函數為

式中： 分別為桿的橫截面積和彈性模量初始值，各隨機變量相互獨立，其概率信息見表5； Y（t） 為高斯過程，在此為時變的豎向集中荷載P（t） ，其相關長度和時間間隔同算例1。 s（P，A，E（t）） 為節點 O 處的撓度 V ，由有限元分析計算得出，其中， 為退化系數； s₀ 為s（P，A，E（t） ）的閾值，取 0.105m 。

表6、圖8和圖9中給出了各方法的計算結果。由于 PHI2+ 會出現相對誤差 gt;100% 的情況，圖表中僅列出了PHI2、PHI2-和K-PHI2方法的計算結果。結果表明，K-PHI2方法僅需調用5016次功能函數就能達到與PHI2相當的精度，相較于其他各方法效率更高。盡管此算例的功能函數為隱式函數且其響應涉及有限元求解，但計算結果表明，K-PHI2方法仍然具有較好的計算性能，反映了其處理實際工程問題的適用性。

4結論

從3個方面改善各時刻跨越率的計算效率，從而形成一種高效的時變可靠度分析方法（K-PHI2方法），得到如下結論：

1）PHI2-方法能在一定程度上提高PHI2方法的效率，即不引入Cholesky分解將隨機變量 與 獨立化，能避免 τ+Δτ 時刻隨機變量數目的增多，從而在一定程度上提高時變可靠度分析效率。

2）引入AK-FORM方法計算 τ 和 τ+Δτ 時刻的可靠指標 和靈敏度系數 α（τ），α（τ+ Δτ） ，明顯減少了這一過程中功能函數的調用次數；此外，引入降維方法將 τ+Δτ） ]的求解簡化為一維積分問題，進一步提高了時變可靠度分析效率。

3算例結果表明，提出的K-PHI2方法同時適用于數值算例和工程算例，在保證精確度的情況下，其效率明顯高于PHI2方法、PHI2-方法和PHI2 + 方法。

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（編輯胡玲）