基于單元整體的教學實踐

“正多邊形\"是浙江教育出版社九年級第一學期教材中的內容。在這一節內容中，探索了正多邊形的相關概念、性質以及和圓的關系。正多邊形和圓是生活中最常見的圖形，具有對稱美。正多邊形是建立在學習了正三角形（等邊三角形）正四邊形（正方形）的概念和性質的基礎之上，進一步擴充的基本的幾何知識。從正三角形、正方形到正多邊形，是特殊到一般的關系；同時，從多邊形的概念到正多邊形的概念，揭示了正多邊形與多邊形的種屬關系，其中有它們之間的關于概念和性質的區別與聯系；再者，“正多邊形”出現在“圓的相關知識”的這一章節中，說明正多邊形的很多問題可以借助圓來研究，圓的相關問題也體現在正多邊形的研究中，揭示了圓與正多邊形的相關研究的一致性關系。如何從整體上把握關于“正多邊形\"的這些關系，需要教師有一個“單元整體”的教學觀念。單元整體觀念，指的是對某一知識系統化。所謂單元整體建構教學，是指以一個單元或者相關數學知識作為教學設計與課堂教學的基點，進而實現知識整體建構的教學。本節課是之前學習多邊形、特殊的正多邊形以及圓的相關知識的整合，是初中階段這一領域知識的完結。因此，在這一觀念下，需要理清“正多邊形”相關知識的脈絡，下面，我就以浙教版3.7“正多邊形”的教學為例，闡述單元整體教學的“完結課”教學。

一、立足單元整體性的教材解析

（一）關于“正多邊形\"的知識脈絡及解析（圖1）

（n-2）×180°邊 正多邊形的各邊相等 正n邊形的每個內角度數正多邊形 角 正多邊形的各個內角相等 360?！闭齨邊形的每個外角度數n正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸對稱性如果一個正多邊形有偶數條邊，那么它又是中心對稱圖形

1.多邊形研究為正多邊形“角度\"的計算提供研究方法

多邊形與正多邊形是一般到特殊的關系。在八年級下冊，學生已經學習了多邊形的外角和與內角和的計算公式，這是這節課推導正多邊形角的計算的基礎。多邊形的外角和與內角和公式同樣適用于正多邊形的公式，更特殊化，由于正多邊形的每個角都相等，所以可以用“n”來計算每個內角或者外角的具體度數。

2.正三角形、正方形的研究為正多邊形概念、性質、判定等的研究提供了內容與方法

對于正三角形和正方形，這是學生在三角形和四邊形學習過程中的兩個重要學習內容。從特殊到一般，是數學中研究相關知識的重要方法。學生可以從中推導出概念。但發現正三角形和正方形的概念得出又有所不同，這又要求學生在“一般”的研究過程中學會辨析。在正三角形和正方形的研究過程中，對邊、角、對稱性等都有所研究，這也為正多邊形的研究提供了研究思路。

3.圓和正多邊形的研究相互依存

由無限逼近思想可知，當正多邊形的邊數n趨向于無窮時接近圓。古代關于圓周率的計算正是基于此。因此，正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距（人教版教材要求）的概念都與圓中的基本概念有關，即它們均以“圓的圓心、半徑、圓心角、弦心距\"作為概念，所以正多邊形的學習與圓的基本概念密不可分，圓的基本概念及基本性質也是學習計算正多邊形的半徑、中心角、邊心距、周長、面積等知識的基礎。

4.小結

基于單元整體下的“正多邊形”的完結課教學，是對八年級到九年級相關知識學習的一個整理。這一部分內容，并不能簡單地把它放入一個章節去學習，而是需要在學習正多邊形的時候，對前面所學的多邊形、特殊的正多邊形及圓的關系做一個梳理。由此，在九年級上冊教學“正多邊形”這節課的時候，基于單元整體將其作為一個知識梳理或者完結課比較合適。

（二）內容與目標解析

1.內容解析與教學重點

學生在此之前已經學習了三角形中的正三角形、四邊形中的正方形等特殊的正多邊形，已經學會多邊形內角和以及外角和的計算公式，以及推理證明等數學能力。本堂課通過尋找已學正多邊形的共同特征得出正多邊形的特征，同時通過已學的正三角形和正四邊形外接圓的畫法總結正多邊形圓心確定的方法，再次通過實際操作得出借助圓畫正多邊形的本質為等分圓，在方程思想、構造思想以及轉化思想中培養學生分析問題、解決問題的能力。

我們需要關注的問題是：（1）正三角形的概念中沒有涉及角的規定，但是從正方形開始，關于“正多邊形\"這一概念，需要從“邊\"和“角\"兩個角度去定義；（2）關于正多邊形的“對稱性\"性質教學，特別是“中心對稱\"性的教學，要求學生從邊數為奇數和偶數進行分類討論，需要學生基于特殊三角形和特殊四邊形的研究出發去總結規律；（3）為什么要在圓的這一章節中去研究正多邊形？為什么要研究\"正多邊形與圓的關系\"？這是否是研究問題的一般套路？這是本節課中，學生易產生的知識矛盾。所以，這里我增加了“ π ”的古代研究思路，供學生去體會圓與正多邊形之間的關系。

基于以上分析，我確立本節課的教學重點是：正多邊形的概念及性質；正多邊形外接圓的概念及畫法。

2.目標分析與教學難點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中對于其內容的目標要求是：了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。在之前的學習中，學生已經學習了等邊三角形、正方形的概念和性質，這為今天課堂的展開做了鋪墊。但是關于正多邊形的性質，學生有思考的角度，對于“說全\"性質略顯困難。在之前的學習過程中，學生已經會畫三角形的外接圓，但是要拓展到正多邊形的外接圓還需要一定的指導；對于畫圓的內接正多邊形也需要積累一定的轉化能力，才能畫圓的內接正方形和內接正六邊形。

我制定本節課的教學目標如下：

（1）了解概念，會判斷一個多邊形是否是正多邊形。（2）已知多邊形會求它的內角和與外角和，已知內角和求多邊形的邊數。（3）簡單得到正多邊形的相關性質。（4）會確定正多邊形外接圓的圓心，并畫出正多邊形的外接圓。（5）通過畫正多邊形將問題轉化為等分圓的問題。

達成目標1的要求是學生會通過類比得到多邊形的概念，能用概念判斷一個多邊形是否是正多邊形；達成目標2的要求是學生知道每個內角或者外角的計算方法；達成目標3的要求是會推導得出正多邊形關于角、邊、對稱性等性質；達成目標4的要求是會確定正多邊形的外接圓圓心和半徑，并畫出外接圓；達成目標5的要求是能畫出正四邊形和正六邊形的外接圓。

二、“正多邊形”的教學過程

（一）回顧舊知，引出課題

問題1：前幾節課，我們一直在學習圓，圓是一個非常美的對稱圖形，那你以前學習的對稱圖形有哪些？（軸對稱圖形：等腰三角形等；中心對稱圖形：平行四邊形等）

問題2：下面兩個圖形是什么圖形？它們是什么對稱圖形？

問題3：這兩個圖形的定義分別是什么？

問題4：類似這樣的圖形，我們把它叫作正多邊形。正多邊形的定義是什么呢？（各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形）

師：根據正多邊形的邊數不同，它們有不同的叫法。

正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫作正n邊形。

思考：菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？

（設計意圖：厘清正多邊形與已學正三角形、正方形之間的特殊到一般的關系，是本節課的重點之一。因此，從開始就通過對已學的正多邊形的觀察找出共同特征從而引出課題，并小結正多邊形的特征，意在指導學生從已學的知識中獲取新知識以及從特殊到一般的學習方法，同時為接下來探索正多邊形的性質提供參考依據。設計思路見圖2）。

正三角形圓的對稱性 已學圖形 正多邊形的對稱性 正方形

（二）提煉概念，探究性質

問題5：回顧之前所學正多邊形的性質，它是從哪些角度出發研究的？

問題6：關于角，你能具體算出每個內角或者外角的度數嗎？ （見圖3）

內角和公式 正多邊形的（n-2）x180° 每個內角多邊形 正多邊形的每 正多邊形外角和公式360° 個外角360°n一般到特殊

問題7：關于對稱性，你是怎么知道的？（從以前學過的三角形和四邊形推導，見表1）

歸納：1.正多邊形都是軸對稱圖形，正 n 邊形有n條對稱軸。

2.如果一個正多邊形有偶數條邊，那么它又是中心對稱圖形。

（設計意圖：從多邊形到正多邊形，這是一種種屬關系，因此，這里學生不難發現內角和與外角和公式，同時，對于特殊的多邊形，還可以繼續探究每個內角和外角；正多邊形的性質研究，體現了一種幾何的類比關系。在這個環節，教師要盡量讓學生自己去發現結論，用自己的語言進行說明，從而培養學生的歸納能力和語言表達能力。對于問題5，教師可以借此說明，一個圖形的定義既是這個圖形的一種判定方法，也是這個圖形的一種性質。對于對稱性，還是要求學生通過從特殊到一般進行歸納整理。）

（三）典例精講，鞏固性質

例1：已知一個正多邊形的內角為 176.4^° ，這個正多邊形是幾邊形？有沒有內角為 100^° 的正多邊形？

解：設正多邊形的邊數為n，由內角為 176.4^° 得

解得 n=100

設正n邊形的內角為 100^° ，則

解得 n=4.5

因為n不是正整數，所以不存在內角為 100^° 的正多邊形。

（設計意圖：給出一個內角，求正多邊形的邊數，列方程求解，滲透方程思想。）

（四）交流引導，繼探關系

師：正多邊形和圓的關系非常密切，利用正多邊形可以求圓周率 π 。

閱讀材料：祖沖之和他兒子一起研究了一項工程。當時條件很差。他們在一間大屋的地上畫了一個直徑1丈的大圓。從內接正6邊形開始計算，12邊形，24邊形，48邊形的，一直算到96邊形，計算的結果和劉徽的一樣。接著，內接邊數再逐次翻翻，邊數每翻一次，要進行7次加減運算，2次乘方，2次開方，運算的數字都很大，很復雜，在當時的條件下，是十分困難的。祖沖之父子一直把邊形算到24576邊，得出了圓周率在3.1415926和3.1415927之間，精確到了小數點后7位。其近似分數是355/113，被稱為“密率”。德國數學家奧托在1573年重新得出這個近似分數。當時，歐洲人還不知道在一千多年之前祖沖之就己經算出來了。后來荷蘭人安托尼茲也算出這個近似分數，于是歐洲人就把這個稱為“密率”的近似分數叫作“安托尼茲率”。

師：由此來看，只要把一個圓分成一些相等的弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形。

（五）課堂小結，歸納整理這節課，我們具體學習了哪些內容？（見圖4）

思想方法：一般到特殊、轉化

（設計意圖：利用小結，回憶本節課學習的主要內容，同時再次體會知識獲得的過程和方法。通過小結有意識地讓學生了解數學學習應關注所學知識的整體性和系統性，為下一節課做鋪墊，從而幫助學生自主構建知識體系。）

（六）課堂檢測，教學改進

1.如果正多邊形的一個外角等于 45^° ，那么它的邊數為 一）

A.6 B.7 C.8 D.9

2.圓的內接正四邊形的邊長與半徑的比為一

A.2：1 （2 D.3：1

（設計意圖：題目1考查的是正多邊形角的性質；題目2考查的是圓內接四邊形的相關性質。）

四、基于單元整體性教學正多邊形的意義

（一）基于類比，搭建新知橋梁

在數學知識的傳授上，一定要在“觀察什么”“如何觀察”\"如何抽象\"“如何概括\"等方面類比引導，而不是直接傳授概念。作為正多邊形的教學，實現了三個類比：即多邊形到正多邊形、特殊正多邊形到一般正多邊形、圓的相關要素和正多邊形的相關類比?？梢哉f，類比貫穿了從概念、性質和應用的教學過程。

（二）基于整體，理清學習脈絡

在正多邊形的教學中，雖然研究的對象在變，但研究的內容、過程和方法是一脈相承的。正多邊形的教學，正好可以從圖形的整體性、邏輯的一貫性、方法的一致性上去設計教學內容，引導學生去探索值得研究的數學問題，探尋解決問題的方法，將獲得的數學模型應用于解決現實問題中。

（三）基于方法，滲透素養立意

我們不僅關注課堂中，還關注課堂的后續發展；不僅關注學生這堂課如何發展，還關注單元整體下數學探究的后續發展。這種后勁必然會在學生未來的人生中給予源源不斷的勇氣和能量，使學生在面對新的數學問題時進行類比和整體研究。

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區高橋金帆實驗學校）

編輯：曾彥慧