反比例函數中面積問題的解決策略

1引言

反比例函數是初中數學中的一類重要函數，其中涉及的面積問題更是各類考試中的常見題型.這類面積問題不僅考查學生對反比例函數知識的掌握程度，還考查對幾何圖形性質的理解和運用，對學生的綜合能力有較高的要求.對反比例函數中的面積問題進行歸納整理，分析其解決策略，有助于提高學生的解題能力.

2反比例函數中的三角形面積問題

這類問題通常會給出反比例函數圖象上的點，其與坐標軸或其他特定點構成三角形.這些三角形的面積與反比例函數的系數有一定關聯，且常常涉及點的坐標與函數解析式的相互轉化.解決這類問題的關鍵是利用反比例函數 為常數， k≠ 0）中系數 k 的幾何意義：在反比例函數圖象上任取一點，過這點分別作兩條與坐標軸垂直的直線，那么這兩條垂線與坐標軸圍成的圖形為矩形，且這一矩形的面積為 ．靈活利用這一結論，可以有效解決反比例函數中的面積問題．例如，在反比例函數圖象上任取一點，連接此點和坐標原點，再過這點作x 軸或 軸的垂線，則所構成的直角三角形的面積為 ：

例1如圖1，在反比例函數 的圖象中，點 P 是圖象上任意一點，且在第二象限，過點 P 作直線 PM 垂直于 x 軸，垂足為 M .若 ΔPOM 的面積等于3，則 k 的值等于

解析 因為 ΔPOM 的面積等于3，且 PM⊥ （20 x 軸，

所以S△POM 設點 P 的坐標為 則 所以 ，即 ∣k∣=6 觀察圖象可知 klt;0 ，所以 k=-6

例2如圖2，設反比例函數的圖象與直線 y=

A（3，a） B

在這個反比例函數圖象上，線段 OB 與 x 軸正半軸

的夾角為 α ，且滿足 業

（1）求反比例函數的解析式；（2）求S△OAB·

解析 （1）因為直線 與反比例函數的圖象交于點 A（3，a） ，將點 A（3，a） 代人直線解析式，得 ，

所以點 A 的坐標為（3，4）.因此 k=3×4=12 所以反比例函數的解析式

（2）因為點 B 在反比例函數圖象上，設點 B 的坐標為 因為 .12所以 ，即 x²=36 .解得 x=±6 又因為點 B 在第一象限，所以 x=6 ，所以點 B 的坐標為（6，2）.設直線 OB 的解析式為 y=kx（k≠0） ，因為點 B（6，2） 在直線 OB 上，所以 2=6k ，故 因此直線 ?OB 的解析式為

如圖3，過點 A 作 AC⊥x 軸，交 OB 于點 C ，則點 C 的坐標為（3，1）.

所以 AC=4-1=3 ，因此 S_ΔOAB=S_ΔOAC+

3反比例函數中的四邊形面積問題

此類問題通常涉及反比例函數與直線交點形成的四邊形的面積.解題思路通常是借助坐標或幾何性質表示出四邊形各邊相關線段長度，再運用拼接、割補等方法轉化為三角形的面積.

例3如圖4，已知直線 ξ_l 分別與反比例函數 和y= 的圖象交于點 A 和點 B ，且與 軸交于點 P .過點 A 作 AC 垂直于 x 軸，垂足為點 c ，過點 B 作 BD 垂直于 x 軸，垂足為點 D .若點 P 為線段 AB 的中點，求四邊形ABDC的面積.

解析 設點 A 的坐標為 點 B 的坐標為

如圖5，過點 A 作 AF 垂直于 軸，垂足為點 F ·過點 B 作 BE 垂直于 軸，垂足為點 E ：

因為點 P 是 AB 中點，所以 PA=PB

又因為 ∠APF=∠BPE，∠AFP=∠BEP Ψ=90^° ，

所以 ΔAPF?ΔBPE ，所以 S_ΔAPF=S_ΔBPE ：

4結語

反比例函數中的面積問題是初中數學的重點與難點，涵蓋豐富的函數與幾何知識.解決此類問題需熟練掌握反比例函數的性質、三角形的相關性質和面積公式，并善于運用轉化、數形結合等數學思想.

參考文獻：

[1]馮俊，王芳.合理運用點的坐標順解反比例函數面積問題[J].數理天地（初中版），2022（21）：28-29.

[2]華興恒.靈活求解與反比例函數有關的面積問題[J].數理化學習（初中版），2022（11）：29-33.

[3]李翠芝.例談與反比例函數有關的圖形面積問題[J].中學數學，2022（16）：53-54.