分類討論思想在初中數學解題教學中的應用思路

解題教學屬于初中數學教學的重要組成部分，也是提高學生數學成績、鍛煉其學科技能的關鍵環節.但傳統的數學解題教學更多的是以教師講、學生聽為主，學生并未經歷數學思想與方法的思考、應用過程，導致解題教學始終無法達到理想狀態.分類討論思想屬于數學思想方法中較為重要的組成部分，其本身思路即利用分解等方式，將復雜的數學問題轉化為多個基礎問題，并驅動學生在基礎問題的解決中，逐步攻克問題難關，實現對原問題的解答.此方式能夠帶領學生親身經歷問題的演變和解析過程，從根本上提高其解題能力.為此，將分類討論思想引入到初中數學解題教學中具有一定的實踐意義.

1分類討論思想的內涵及應用意義

1. 1 內涵

數學思想與數學方法之間存在緊密聯系，常見的數學思想包含化歸與轉化思想、數形結合思想等，分類討論思想也屬于典型的數學思想的一種.數學思想有助于促進學生掌握數學方法，并準確完成數學問題的解答[1].因此，諸多學者加大對分類討論思想的研究力度，并在研究中相繼提出“分類討論思想中的‘分類’，特別指向‘劃分’，即學生需要合理劃分數學對象的差異性與共性，并在遭遇無法統一的問題時，將問題合理轉化為多種情況，再以分別解決的形式逐步獲得完整地解決方案”“分類討論即學生在面對特定的數學問題時，將原問題分解為多個小問題，再按照小問題的具體情形逐一解決，由此獲得數學思維”等見解.綜合不同學者的觀點不難發現，分類討論思想既屬于一種數學思想，也是有效解答問題的方法.本研究綜合不同學者觀點，將分類討論思想概括為：根據數學對象的特征屬性，按照相應標準分解復雜的原問題，再經歷“逐個擊破”的解題過程，由此達到化繁為簡的解題目的.

1. 2 意義

從初中數學解題教學的視角來看，分類討論思想的應用意義主要體現在以下幾個方面：首先，增強學生解題能力.初中數學問題帶有多變性、復雜性等多種特點，分類討論思想能夠驅動學生結合問題特點作出合理分類，在條分縷析、逐類解決中實現解題能力與素養的同步提升.其次，發展學生思維的嚴謹性與邏輯性.分類討論思想的應用注重突出問題之間的差異和內在聯系，在應用分類討論思想的過程中，學生需要從嚴謹的角度剖析原問題定理，把握不同問題條件的差異與聯系，再從邏輯推理視角多元審視問題并完成解答，此過程也實現了對學生嚴謹思維與邏輯思維的培養.最后，增強知識應用與理解[2].初中數學包含多種問題展現形式，如代數運算、概率統計和平面幾何等，分類討論思想能夠幫助學生更好地應對不同的問題情況，深化學生對數學概念、公式乃至定理的掌握，為達成融會貫通的學習目標以及促進學生合理遷移與應用數學知識、數學技能奠定基礎.

2分類討論思想在初中數學解題教學中的應用策略

2.1在問題探索中，激發分類討論思想

結合初中生數學認知情況分析可知，他們正處于直觀化向抽象化思維的過渡階段，因此，面對復雜的問題容易產生思維阻礙[3].面對此階段的初中生，一味地將分類討論思想引人到解題教學中遠遠不夠，還需要通過滲透進行指導，即在問題探索中激發學生分類討論的思想意識.具體而言，教師在數學問題的設計中，可提取一些生活元素，結合生活化問題降低學生對解題的抵觸情緒和抗拒心理.同時，引入分類討論思想，組織學生結合該思想完成問題探索，了解分類討論思想的價值和意義，以此產生分類討論思想意識，為后續初中數學解題教學的高效、高質量開展奠定基礎.

例如在\"方程的運算”相關知識點教學結束后，教師可創設問題情境，從以下幾個方向開展解題指導：首先，提供相關問題.如：“某學校準備購入一批學習用品.采購員為減少采購成本，在購物軟件中選取兩家具有優惠政策的店鋪.其中， A 購物店優惠政策為‘100元以內物品按照正常價格購入，超出100元部分予以9折優惠； B 購物店則是50元以內物品不打折，超出50元物品予以9.5折優惠.請問兩家購物店哪個的優惠政策更為合理？”其次，為學生提供自主探索空間，并嘗試以問題導學的思想驅動學生經歷分類討論過程.如\"該問題的題意是什么？”\"假設采購員在此次消費中用了 x 元，如何以函數的形式展現兩家購物店的花費金額？”“怎樣以表格的形式展現上述問題條件？”“如何判斷哪個購物店優惠力度更大？消費金額更少？”等.上述問題的提出驅動學生逐步進入分類討論狀態，也讓學生基于采購費用的不同視角，將討論類型逐步劃分為 ^?099??509?x>100⁹ ，由此逐步形成分類討論意識.此過程在無形之中傳遞分類討論思想概念，也讓學生建立起分類討論的解題意識，為增強初中生數學解題能力奠定基礎.

2.2在問題交流中，掌握分類討論思想

事實上，以往初中數學解題教學中，許多教師也嘗試應用分類討論思想，但講解過程更多注重分類，并未給予學生過多的自主討論問題類型的機會，導致解題教學停留于表面，學生對分類討論思想的掌握不夠深刻4.為增強分類討論思想的應用價值，教師應更多地設置問題交流環節，鼓勵學生在問題分類的基礎上討論相關解題思想與方法，并表達自我觀點，使其在思維碰撞的過程中掌握分類討論思想，實現解題水平的有效提升.

例如“三角形存在性問題”屬于初中數學教學中的重難點內容之一，針對此部分內容，教師可嘗試布置如下問題：“直角梯形ABCD中， .AB=8，AD=3，∠B=90^°，BC=4 ，點 P 屬于 AB 邊上的一個動點.此情況下，若三角形 PBC 與 PAD 是相似三角形，求解滿足條件的點 P 的個數共有多少個？”結合問題內容分析不難發現，其帶有分類討論思想特點.為鍛煉初中生自主學習意識，使其把握分類討論思想的應用特點，教師應給予學生足夠的自主思考和合作交流空間，并鼓勵學生進行成果展示.經過討論，學生相繼提出“可嘗試以畫圖的方式將點 P 可能存在的位置標出，結合代數計算完成解答.通過對三角形PBC與三角形 PAD 相似的兩種情況進行分析計算，發現除了 P 點靠近 A 和 B 的點的情況外，還存在一個中間位置也能使兩三角形相似.因此，滿足條件的 P 點位置的共有三個\"\"可應用對應邊比值相等思想，完成對 AP 長度的計算，由此精準確定 P 點個數”“應先確定相似三角形的對應點，再結合對應邊比值相等的思想計算，由此先確立 AP 有幾個值，從中得出 P 點有幾個”此過程中，學生經歷解題思維的碰撞，也逐漸清晰分類討論思想的應用方向，更在無形之中提升了解題認知，為強化自身的.解題能力提供助力.

2.3在錯題解析中，鞏固分類討論思想

雖然分類討論思想有助于促進學生更好地完成解題，但在面對涉及分類討論思想的數學問題時，學生犯錯率更高.導致此情況出現的原因在于，此類題目答案帶有一定開放性，這也在無形之中增加各種解題錯誤出現的概率[5.這就需要教師設置錯題解析環節，帶領學生回顧錯題衍生過程，收集典型錯誤資源再以分類討論的形式剖析解題步驟，由此輔助學生更好地掌握分類討論思想的應用技巧，鞏固學生解題能力.

例如以常見錯題為例，“已知線段 AB 長為12cm ，在直線AB中包含 C 點，其中， BC=4cm，M 屬于 AC 的中點，求解線段 AM 的長是多少？”.針對此類問題，學生常出現遺漏關鍵點的情況，更多的將解題方向聚焦于“點 c 在線段AB”方面，但就實際而言，點 c 雖然在直線 AB 上，也可能在點 B 的右側.基于此，教師可嘗試將數形結合思想引入到分類討論環節，組織學生以畫圖的形式生成與題目相關的圖像，由此更精準地驗證解題方法.事實上，在初中生解題過程中類似的題目較多，教師還需要根據不同錯題特點，展開多元化的指導，以此鞏固學生的分類討論思想.如常見錯題還包含：“為獲得某班級初三學生一分鐘內跳繩數據，體育教師在班級中隨機選擇男女生分別為2名和3名，再從5名學生中隨機選擇2名完成跳繩.求解‘恰好選擇1男1女完成跳繩的概率是多少？”該問題較容易導致學生出現忽略問題條件的情況.為此，教師應指導學生先完成“性別”分類，再基于第一種分類方法探究第二種分類情況.此解題教學方法主要圍繞學生常見的錯題區域，鞏固學生對分類討論思想的認知，也在無形之中強化學生對該方法應用的靈活性，

2.4在問題練習中，形成應用數學思想的習慣

在數學解題教學中不難發現，許多學生通過教師講解，看似已經掌握了數學思想的應用方法，但在面對類型相同的題型時，又重新陷入解題困境.導致此情況出現的原因在于，學生缺乏復雜習題訓練，并且傳統習題練習更多注重\"量”而忽略\"質”6.基于此，教師應提供更多帶有分類討論思想的習題，引導學生在不同題型中養成數學思想的應用習慣.

例如在\"數與代數”知識點教學結束后，教師可結合一些中考題庫，提取帶有綜合性特點的問題.如“已知定義運算 ，求解關于 X 的不等式解集”結合該問題不難發現，它以分段函數的形式呈現，根據 A 和 B 之間不同的大小關系有不同的運算結果.基于此，教師可組織學生采用分類討論的方法，圍繞 A 和 B 的大小關系完成習題解答.即當 A?B 時， 的運算結果為“ A ”；當 A< B 時， A#B 的運算結果為“ B ”.基于上述運算原則，經過分類討論思想的應用，將原有的不等式逐步轉化為兩個一元一次不等式組，在降低解題難度的同時攻破學習重難點.此問題練習環節，注重學生分類討論思想的應用，也鍛煉其解題思維和技巧，促進初中生數學解題能力的穩步提高.

3結語

總而言之，分類討論思想有助于增強初中生解題能力，加強分類討論思想在初中數學解題中的應用，更有助于增強解題教學質量和效果.為此，初中數學教師需要充分把握分類討論思想的內涵和實踐意義.同時，在問題探索、問題交流、錯題解析和問題練習中，逐步培養學生的分類討論思想、解題實踐能力、數學思想應用習慣等，以此助推初中生數學解題能力的穩步提高.

參考文獻：

[1]畢海濤，楊志軍，石飛.分類討論思想在初中數學解題中的應用例析[J].數理天地(初中版)，2024(17)：30-31.

[2」李丹丹.例談分類討論思想在初中數學解題中的具體運用[J].數理天地(初中版）， 2024(9):20-21

[3」徐芳.基于分類探討思想的初中數學解題教學改革研究[J]數理化解題研究，2023(23)：39－41.

[4朱彥兵.分類討論思想在初中數學解題中的應用—以等腰三角形為例[J].數學之友 2023，37(7):79-82

[5]馬勇.關于分類討論思想在初中數學教學中的應用[J」學周刊，2023(6)：73—75.

[6」許浩.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J]數理化解題研究，2022(26)：62-64.