結構化視域下單元復習課的實踐

1研究背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》體現了“課程結構化”等理念，其重點是對課程內容進行結構化整合；重視數學內容的直觀表述并處理好直觀與抽象的關系.但由于教材的編寫和教學時間的限制，加之數學教學中一直存在的“數學知識的整體把握和局部認知之間的矛盾”[1]，使得初中數學教學存在離散而間斷的現象，學生對于數學知識的整體把握有所欠缺.

本文立足于課堂實踐，以反比例函數單元復習課為研究起點，體現單元復習課教學的結構化特征.有觀點認為充滿聯系的數學教學才有利于學生理解、掌握、運用知識.[2]本節復習課筆者從數學內容的直觀與抽象結合這一要點出發，利用函數來解決幾何問題.由于初中階段不涉及解析幾何，所以在本節反比例函數單元復習課中，筆者利用函數數學建模的思想去解決幾何中平行四邊形構造的問題.反比例函數圖象和平行四邊形的共通點是兩者都是中心對稱圖形，而之前所學的正比例函數也關于原點成中心對稱，所以利用三者的共通性通過旋轉變化來構建這門課.

2 教學過程

2.1聚焦核心概念，分析整體結構

反比例函數是學生在學習一次函數之后又一個新的函數，學生在課程之前已經對反比例函數這一章節的知識點有了認識，但是知識點往往是零散的碎片狀的，所以本節復習課的教學從一次函數的學習路徑和反比例函數的學習路徑出發，讓學生重新認識到函數的學習路徑：函數概念一圖象與性質一函數應用，然后通過發現問題一提出問題一解決問題，對已知的反比例函數知識點進行結構化的復習.

問題1 對于反比例函數，我們是從哪幾個方面去研究的？

問題2表1和表2表現了兩個變量之間的關系，你認為可以用什么式子表示？

問題3通過列表、描點、連線，我們來畫一下表1和表 2（y₁=3x 與 ）中的兩個函數，針對這兩個函數圖象，請大家自己提出問題并進行解答.

學生1兩個函數的交點 A 點和 B 點的坐標分為什么？答：

學生2 線段 AO 和線段 BO 有什么數量關系？答： AO=BO

學生3當 x 為何值時， y₁gt;y₂？y₁2？ 答：當 -2-2 時， _y1gt;y₂ ；當 xlt; -2 或 012 ：

學生4若過點 A 作 AC⊥x 軸，交 x 軸于點C ，那么所得 ΔACO 的面積為多少？答：面積為6.

學生5若再過點 A 作 AD⊥y 軸，交 軸于點 D ，那么所得四邊形ADOC的面積為多少？答：面積為12.

設計意圖學生在提問前2個問題的時候教師追問：你是如何得到這樣的結論的？學生通常會有兩種方法，其一是通過聯立方程組得到，其二是通過對稱性得到.后3個問題則復習了兩個函數的圖象與性質.

2.2 設計開放母題，發現分析問題

本節課知識點聚焦于通過函數圖象的旋轉來構建中心對稱圖形，為了充分發揮學生的學習的主體性，在這里設計一道開放性的母題（問題4），學生在旋轉函數的過程中通過教師引導，小組合作探究的形式不斷發現問題、分析問題，加深對知識點的理解，提升遷移學習能力.

問題4接下來我們將正比例函數繞著原點 O 進行順時針旋轉，在這個過程中，你能夠得到什么結論？

學生1在正比例函數順時針旋轉的過程中，正比例函數和反比例函數一開始會有兩個交點，后面就沒有交點了.

學生2 正比例函數與反比例函數的兩個交點始終關于原點對稱，

學生3 兩個交點與原點所連線段的長度始終相等.

教師追問：如果這時候我們順次連接AMBN，所得的四邊形是什么四邊形？為什么？學生很容易通過對角線互相平分的特征得到其為平行四邊形.

設計意圖正比例函數與反比例函數的交點情況分為兩種，無交點或者有2個交點.對于開放性的問題4，學生通過發現問題、提出問題、得到結論.其中運用幾何直觀，能夠直接得到函數與圖形之間的抽象關系，獲得數學的基本活動經驗，培養學生良好的學習習慣，形成積極的情感態度和價值觀，逐步形成核心素養.

2.3提煉思想方法，促進能力提升

學生作進一步探究，從平行四邊形的一般情況出發去推理矩形、菱形、正方形等特殊情形，培養學生的推理意識.

問題5請你利用剛剛的探究思路，利用正比例函數和反比例函數的交點畫一個矩形，使得矩形的四個頂點都在反比例函數 圖象上.

問題6你能不能再畫一個矩形，使得矩形的四個點都在反比例函數y2=12 圖象上？

學生1因為在旋轉的過程中四邊形的對角線始終互相平分，所以只要使對角線相等就能夠得到矩形.在這里正比例函數 與反比例函數 12 得到的交點所組成的四邊形為矩形（如圖1）.

學生2 利用網格紙特點，我發現正比例函數 x與反比例函數y=12 得到的交點與原點連線段長度均為5，所以也是矩形（如圖1）.

教師追問：我們在上圖可以畫幾個矩形？這些矩形有什么特點？請各位同學們動手實踐，自主探索，最后小組合作交流并請小組代表進行發言總結.

學生3利用兩條對角線相等可以畫出無數個矩形，這些矩形的兩條對角線關于直線 y=x 和直線 y=-x 成軸對稱，這些矩形的中心都是原點（如圖1）.

設計意圖 先通過網格紙畫圖得出特殊情形，然后探究一般規律：要使得平行四邊形變為矩形，則對角線需要相等.引導學生發現此時兩條對角線關于直線 y=x 和直線 y=-x 對稱這一性質.最后發現反比例函數與兩條一次函數構造成的矩形的整體圖形都是軸對稱的.

問題7 請你繼續研究，你還能得到什么圖形？

學生1還能夠通過對角線垂直得到菱形.

學生2兩條互相垂直的正比例函數和反比例函數不會有4個交點.

學生3可以再將反比例函數繞原點旋轉90°得到另外兩個交點，構成菱形.

教師追問：任意的兩條互相垂直的正比例函數，所得四邊形還是菱形嗎？學生得到因為 OA= OB，OM=ON，AB⊥MN ，所以四邊形ANBM始終為菱形.教師繼續追問，這個菱形有什么特殊之處？學生發現它是正方形（如圖2）.

證明過程如下：

過點 A 和點 M 分別作 AQ⊥x 軸， MP⊥x 軸因為 AO⊥MO，AQ⊥PQ，MP⊥PQ

所以 ΔMPO～ΔOQA

（2

因為 A 點在 上， B 點在

所以 S_ΔMPO=S_ΔOQA=6 ：

所以相似比為 1：1 .

所以 AO：MO=1：1

進而得到菱形ANBM為正方形.

設計意圖在探究矩形的過程中，學生經歷了從特殊到一般的研究過程，通過網格紙這一特殊工具最后得到在一般情況下均為矩形的基本事實.此題利用反比例函數“K”的幾何意義，與相似證明結合，通過反比例函數和一次函數構建的中心對稱圖形得到了證明全等的新方法，不單單拓寬了學生的思路，更是將本學期所學的知識構建起來，形成了一個嶄新的數學建模模型.

2.4創建變式題型，提升數學素養

變式例題主要是為了培養學生的模型意識，讓學生利用所學的反比例函數、正比例函數以及中心對稱圖形所構成的數學模型來解決新的變式題型，增強學生的數學應用意識，形成模型觀念.

問題8已知有反比例函數 ，如何構建另一個反比例函數，使得我們得到的菱形的對角線之比為 1：2？

問題9通過今天的學習，請你思考一下，如何通過反比例函數和正比例函數的圖象繪制平行四邊形.

學生1利用面積比等于相似比的平方，可以得到另一個反比例函數為 或者y= ·

學生2利用反比例函數的軸對稱性我們可以畫出不同的矩形，利用 k 為異號的兩個反比例函數，通過畫出相互垂直的兩個正比例函數能夠得到不同比例對角線的菱形.

設計意圖問題7與問題8均為問題6的補充練習，可在發現反比例函數“ K ”的幾何意義能夠和相似中的相似比和面積比構成聯系，進而得到想要的結論，同時兩個問題也是對本節課的總結.

3結語

數學知識縱橫交錯、內容繁多，結構化的教學設計可以體現知識的整體性、思路和方法的關聯性[3]，易于學生理解與運用.此次反比例函數的章節復習，筆者以“中心對稱”這一概念為知識線，以學生自主合作探究為學習線，將正比例函數、反比例函數和平行四邊形這三個大章節的內容結合到一起，構成了一個新的數學模型，在不斷探究的過程中培養學生數學模型意識.

參考文獻：

[1]石樹偉.大道至簡：再議數學教學內容的結構化組織[J].數學通報，2014，53（1）：18-21.

[2]王海清，曹廣福.問題驅動數學教學的基本原則與思想及其實施步驟[J].數學教育學報，2022，31（1）：24—27.

[3]韓俊元.結構化視域下大單元整體教學的實踐[J].中學數學教學參考，2021（35）：11-13.