平面幾何中三角形形狀和大小：新的基礎(chǔ)性概念及其價(jià)值

1引言

當(dāng)前幾何體系中三角形研究的局限性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1.1 缺乏對(duì)三角形形狀的明確定義

現(xiàn)行教材僅對(duì)特殊三角形（如等腰、等邊、直角等）進(jìn)行分類描述，但未對(duì)“三角形的形狀”這一概念進(jìn)行統(tǒng)一定義.

1.2 缺乏對(duì)三角形大小的準(zhǔn)確定義

現(xiàn)有體系雖包含角度、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等數(shù)量概念，但未能準(zhǔn)確定義三角形的大小.這些單一參數(shù)均無法全面反映三角形的大小特征.

1.3 研究視角的局限性

現(xiàn)有研究主要集中于兩個(gè)三角形之間的關(guān)系（如全等、相似），缺乏對(duì)單個(gè)三角形自身邊角關(guān)系的系統(tǒng)性探討.例如，北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)教材中，只是探討兩個(gè)三角形的關(guān)系，卻沒有對(duì)三角形本身進(jìn)行探討.

2 三角形形狀和大小的界定

2. 1 三角形形狀的定義

三角形形狀可由以下兩種方式定義.

2.1. 1 角度定義

三角形三個(gè)內(nèi)角的大小共同確定三角形的形狀，可以表示為 （α，β，θ） .如圖1，等邊三角形，其形狀可以表示為 （60^°，60^°，60^°） ·

2. 1. 2 邊長(zhǎng)比例定義

三角形三邊之比確定三角形的形狀，可以表示為 a：b：c .例如等邊三角形三邊的比例是 1：1：1 ，等腰直角三角形三邊的比例是 .上述兩種定義是一致的，依據(jù)正弦定理有： a：b：c=sinA ·sinB：sinC .例如，如圖2，一個(gè)等腰直角三角形 ∠CBA=45^° .這個(gè)三角形三邊遵循 BC：AC：AB= （204號(hào)

2.2 三角形大小的定義

三角形大小是指形狀相同的三角形之間對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比較.也就是說只有形狀相同的三角形才可以比較大小，形狀不同的三角形無法比較大小.例如，ΔABC 為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形， ΔDEF 為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.這兩個(gè)三角形的三個(gè)角都為 60^° ，三條邊之比都是 1：1：1 ，無論是從角度還是從邊長(zhǎng)來看，這兩個(gè)三角形的形狀都是相同的.所以可以比較這兩個(gè)三角形的大小，△ABC的邊長(zhǎng)比△DEF的邊長(zhǎng)大.

需要注意的是，僅形狀相同的三角形可進(jìn)行大小比較，例如圖3中的兩個(gè)三角形，無法說△ABC和 ΔDEF 誰大誰小，因?yàn)閺拿娣e來看，△ABC的面積明顯比 ΔDEF 的面積大，可是從周長(zhǎng)來看，ΔDEF 的周長(zhǎng)又大于 ΔABC 的周長(zhǎng).所以形狀不同的三角形不能比較它們的大小，只有形狀相同的三角形才可以比較大小.形狀不同的三角形僅可比較周長(zhǎng)或面積.這種對(duì)三角形大小的定義，精確地規(guī)定了三角形大小的含義，避免了形狀不同的三角形在比較大小時(shí)所面臨的上述困境，

3基于形狀和大小的三角形分類體系

在研究三角形時(shí)要對(duì)三角形進(jìn)行分類.目前針對(duì)三角形的、分類沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).可以基于三角形的形狀和大小，對(duì)三角形進(jìn)行分類.為了討論問題方便，對(duì)使用的符號(hào)做如下規(guī)定：S是指三角形的一邊長(zhǎng)度確定，或是指兩個(gè)邊的比例.例如已知 ΔABC ，AB=4 ，這里就可以寫成S，即該三角形的一個(gè)邊已知.再例如， 30^° 的直角三角形是 ，就可以表示為SSS.A是指三角形的一角大小確定.例如△ABC， ∠B 為 45^° ，表示為A.

3.1 完全確定的三角形

完全確定的三角形是指三角形的三個(gè)角的大小、三條邊的長(zhǎng)短都是確定的.具體有以下三種類型的表示方式.

3.1.1 SSS型

三邊確定，就是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度是確定的.例如，圖4中， ΔABC 中， =BC=3 .這個(gè)三角形的三條邊都是確定的，它的三個(gè)角也是確定的.這三個(gè)角雖然沒有明確地給出來，但可以通過余弦定理求出來.

3.1.2 SAS型

兩邊及夾角確定，就是一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)短和它們的夾角大小是確定的.例如，如圖5，ΔABC 中， BC=1，AB=2 ∠CBA=60^° ，可以通過余弦定理求出第三條邊 ，通過正弦定理求出 ∠C=90^° ，再通過三角形內(nèi)角和求出 ∠A=30^°

3.1.3 AAS型

兩角及一邊確定，就是三角形的兩個(gè)角的大小確定，一條邊的長(zhǎng)短確定.例如， ΔABC 中， ∠A= 45^°，∠B=45^° .就可以通過三角形內(nèi)角和求出 ∠C=90^° ，再通過勾股定理或者正弦定理分別求出 AC=1 和 BC=1. ，所以它是一個(gè)完全確定的三角形.

3.2 不完全確定的三角形

不完全確定的三角形是指三角形至少有一個(gè)邊或角確定，且至少有一個(gè)角或邊不確定，有如下幾種類型.

3.2.1 SS型

兩邊確定.例如，如圖 6，ΔABC 中， AB=3 ，AC=5 ，這個(gè)三角形只有兩個(gè)要素是確定的，其他的要素都不確定，所以這個(gè)三角形是不完全確定的.

在解幾何題中，這類型的三角形經(jīng)常可以用來求線段的最大值和最小值.例如，已知正方形ABCD ，邊長(zhǎng)為 ^4，E 為平面上一點(diǎn)， BE=2 ，求 CE 的最大值和最小值.

利用三角形的三邊關(guān)系，可以求出CE的最大值為 BE+BC=6，CE 的最小值為 BC-BE=2

這個(gè)類型的三角形也可以用來求三角形面積的最大值.

例如已知正方形 ABCD ，邊長(zhǎng)為 ^4，E 為平面上一點(diǎn)， BE=2 ，求 ΔBCE 面積的最大值.

當(dāng) BE⊥BC 時(shí)， ΔBCE 的面積有最大值4.

3.2.2 AA型

兩角確定（形狀確定）.就是三角形的兩個(gè)角確定，那么依據(jù)三角形內(nèi)角和為 180^° ，可以求出第三個(gè)角.所以這種類型的三角形三個(gè)角完全確定，所以這類三角形形狀確定.

例如在 ΔABC 中， ∠B=90^° ∠C=30^° ，那么可以通過三角形內(nèi)角和為 180^° 確定第三個(gè)角為60^° .這是一個(gè)形狀確定的三角形，但是三角形的三條邊都不確定，所以是一個(gè)不完全確定的三角形.

3.2.3 SA型

一邊確定，一角確定.這種類型的三角形可以分為以下兩種情況：第一種，已知邊是已知角的對(duì)邊，可以稱之為隱形圓型，有人稱之為定角定長(zhǎng)則定圓模型.

例如如圖7，在 ΔABC 中， ∠A=60^° BC= 1.這個(gè)三角形隱含有一個(gè)大小確定、位置確定的圓.這個(gè)模型在幾何題中經(jīng)常碰到，大家務(wù)必充分掌握.第二種，已知的邊是已知角的鄰邊.

3.2.4 A型

一角確定.例如，在 ΔABC 中，只有一個(gè)角是確定的， ∠A=50^° ，三角形的其他要素都不確定.

3.2.5 S型

一邊確定.例如，在 ΔABC 中， BC=2 ，其它的邊角都不確定.

3.2.6 SSA型

兩邊及其中一邊的對(duì)角確定.或者說已知角不是兩已知邊的夾角.在通常情況下，無法確定其他的角和邊，所以是不完全確定的三角形；

特殊情況1當(dāng) A 為鈍角，或A為銳角且對(duì)邊大于鄰邊時(shí)，三角形完全確定.例如，在 ΔABC 中，∠A=120^°，BC=5，AC=2 ，這個(gè)三角形就是完全確定的三角形，可以通過正弦定理，求出 ∠B ，然后求出 ∠C ，再利用正弦定理求出第三條邊.

特殊情況2當(dāng) A 為銳角且對(duì)邊大于鄰邊時(shí)，三角形完全確定.例如，在 ΔABC 中， ∠C=45^°，BC =5，AC=3 此時(shí) ΔABC 為完全確定的三角形.

不完全確定的三角形還有以下幾種情況.

① 三角形的形狀確定，但是邊長(zhǎng)大小不確定.如三角形三邊之比是 1：1：1 ，即等邊三角形，但邊長(zhǎng)長(zhǎng)短不確定.這種類型可以表示為SSS，但與前面在完全確定的三角形中的含義不同，這里表達(dá)的是三角形三條邊的比例，而不是三條邊的長(zhǎng)短.所以是形狀確定但邊長(zhǎng)不確定的三角形，屬于不完全確定的三角形.

② 三角形兩邊的比例和兩邊的夾角已知，但是邊長(zhǎng)的大小不確定.

例如已知在 ΔABC 中， AB=2BC . ∠B= 60^° .這種類型可以表示為SAS，但務(wù)必要注意，這與前面在完全確定的三角形中的SAS不同，這里的S不再是邊長(zhǎng)，而表達(dá)的是邊與邊之間的比例關(guān)系.

③ 三角形兩邊的比例確定，但是邊長(zhǎng)的大小不確定.

例如在 ΔABC 中， AB：BC=2：1 ，這里可以表示為SS，但表示的是兩邊的比例而不是兩邊的長(zhǎng)短，所以是不完全確定的三角形.

3.3完全不確定的三角形

三角形無任何要素確定.

4研究方法的創(chuàng)新一基于形狀和大小的三角形性質(zhì)研究

① SAS型：應(yīng)用余弦定理求第三邊，應(yīng)用正弦定理求其他邊角.② SSS型：應(yīng)用余弦定理求各角.③ AAS型：應(yīng)用內(nèi)角和定理及正弦定理求解.④ SSA型：分類討論求解.⑤ AS型：應(yīng)用正弦定理研究外接圓性質(zhì).

5教材體系調(diào)整建議

5.1 內(nèi)容安排調(diào)整

5.1.1 在三角形基礎(chǔ)概念后引入形狀和大小概念

目前的教材在介紹三角形的概念后，就直接引入一些特殊的三角形，這個(gè)在邏輯上是斷裂的.應(yīng)該在介紹三角形的概念之后，再引入三角形的形狀和大小的概念，然后再依據(jù)三角形的形狀和大小對(duì)三角形進(jìn)行分類和研究，這樣學(xué)生就有了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，更易于理解，對(duì)三角形的研究也就更加系統(tǒng)和清晰.

5.1.2將正弦定理、余弦定理提前至初中階段

將正弦定理、余弦定理提前至初中階段，并與三角形形狀和大小概念聯(lián)系在一起.這樣便于拓展三角形形狀和大小的研究.正弦定理和余弦定理都是對(duì)三角形自身邊角關(guān)系的揭示，所以把這兩個(gè)定理放在初中階段學(xué)習(xí)，更利于對(duì)三角形本身的研究.

5.1.3增加基于三角形形狀和大小的研究?jī)?nèi)容

目前的教材，更多的是探討兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，如全等和相似.缺乏對(duì)三角形自身邊角關(guān)系的研究.在三角形形狀和大小的概念基礎(chǔ)上，結(jié)合正弦定理和余弦定理，可以更深入地探討三角形本身的角度和邊的關(guān)系.

5.2 教學(xué)價(jià)值

5.2. 1 完善了幾何理論體系

目前的學(xué)科體系和教材體系都缺乏三角形的形狀和大小的概念內(nèi)容，這在邏輯上是有缺失的.因?yàn)閷?duì)幾何對(duì)象的研究，無非是從形狀和大小兩個(gè)角度進(jìn)行，缺少對(duì)三角形形狀和大小的定義，這在邏輯上是不通的.所以三角形的形狀和大小的定義，從邏輯上完善了幾何理論體系.

5.2.2 提供了新的研究視角

從三角形的形狀和大小的視角研究三角形，提供了一個(gè)全新的視角，便于挖掘新的內(nèi)容，便于對(duì)三角形有更深入、系統(tǒng)的理解.

5.2.3 強(qiáng)化了全等、相似等概念的理論基礎(chǔ)

全等是形狀和大小完全相同的兩個(gè)三角形的關(guān)系，這一表述以形狀、大小這兩個(gè)基礎(chǔ)概念為支撐，使學(xué)生更容易理解全等的內(nèi)容.全等三角形的性質(zhì)、判定等都可以從三角形的形狀和大小來進(jìn)行說明.

相似是形狀相同的兩個(gè)三角形的關(guān)系，有了三角形形狀的概念，相似三角形的性質(zhì)，判定定理就有了更堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，更容易說明，而避免原來的理論體系的自我循環(huán)困境.

6 結(jié)語

三角形形狀和大小概念的提出，不僅填補(bǔ)了現(xiàn)有幾何體系的空白，還為研究三角形提供了新的理論基礎(chǔ)和研究方法.這一概念的引入有助于學(xué)生更深入地理解三角形性質(zhì)，提高幾何問題解決能力，對(duì)幾何教學(xué)體系的完善具有重要意義.

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