聚焦折紙思維，探尋數學之美

折紙作為一種傳統手工藝，蘊含著豐富的幾何變換原理，近年來逐漸成為數學教育中連接動手操作與抽象思考的重要載體.中考幾何試題常以折疊問題為背景，考查學生對圖形對稱性、相似性及空間關系的綜合應用能力.本文以南京市中考第16題為例，聚焦菱形紙片的折疊過程，體現“做中學”的理念，通過多種解法探究折痕與圖形屬性的內在聯系.全文從試題解析出發，系統呈現五種解題路徑，結合課標要求與教學實踐，為幾何教學與學習提供啟發.

1試題呈現

例題 （南京中考第16題）如圖1，在菱形紙片ABCD中，點 E 在邊 AB 上，將紙片沿 CE 折疊，點 B 落在 B^′ 處， CB^′⊥AD ，垂足為 F ，若 CF=4cm，FB^′ =1cm ，則 BE=cm =

2解法探究

2.1 依據平行 + 角平分線，尋覓等腰三角形

解法1如圖2，延長 DA，CE 交于點 G .根據題

中所給條件，易證 CD=5，DF=3 ，由 DG // BC ，

∠BCE=∠B^′CE ，可證 ∠G=∠B^′CE ，所以 GF=

FC ，繼而求出 GA=2 ，由 ∠G=∠BCE ， ∠GAE=

∠CBE ，可得 ΔGAE～ΔCBE ，因為 _GA=2，_BC=

5，根據對應邊成比例 （204號 ，求出 號

2.2 聯想角平分線模型，構造相似三角形

解法2 如圖3，延長 B^′E 、CB交于點 G ，易證（2 （204號

ΔB^′HFΔΔDCF ，可得 ，所以 B^′F= 0

易證 ΔB^′HF～ΔB^′GC ，可得 中

所以 （204號 . 易證 ΔAHE～ （20

ΔBGE ，可得 所以 =

解法3 如圖3，由 ΔB^′HF～ΔDCF 和

ΔB^′HF?ΔB^′GC ，求出 0 ，利用

角平分線模型 解得 因為折 （202

疊，所以：

2.3立足角平分線的性質，添加輔助線

解法4如圖4，過點 E 作 EG⊥BC，G 為垂足，

易證 ΔBGE～ΔDFC ，可得 ，設 BG

=3x ，則 GE=4x ， BE=5x ，由 ∠BCB^′=90^° ，

∠BCE=∠B^′CE 可得 ΔGCE 為等腰直角三角形，

所以 GC=GE=4x .因為 BC=BG+GC=5 ，所以

4x+3x=5 ，解得 ，則 業

2.4以\"數”解\"形”，建立平面直角坐標系

解法5 如圖5建立平面直角坐標系，可得

，所以yAB=

，因為 ∠BCB^′=90^° ∠BCE=

∠B^′CE ，可得 ∠BCE=45^° ，所以 y_CE=-x ，點 E 是AB CE y_AB=y_CE

，可得 ，所以 ，計

算 BE 兩點之間的距離，可得 （204號·

3 試題評價

本題探究的是圖形的變換（包括圖形的平移、旋轉、對稱）等一系列問題，是近幾年中考的熱點問題.21年考點為平行四邊形的旋轉問題，今年是菱形的折疊問題，此類問題立意新穎，變化巧妙，凸顯素養，主要考查學生的探究能力，空間想象能力，抽象思維能力以及邏輯推理能力.作為整張試卷的填空壓軸題，試題文字表述簡潔，圖形簡約熟悉，題目立意寓數學于折紙之中，讓學生在欣賞數學美的同時，體會憨拙中的靈巧、樸素中的華麗、簡單中的豐富，簡約而不簡單.

4 教學導向

發展核心素養的幾何學習，就是要展現出解題思維的全過程，盡可能探究各種解法并探尋本質，從“一解”到\"多解”，再到“回顧”，系統思考并形成整體觀念[2].本題多樣化的構圖方式能夠對思維產生良好的啟發，作為菱形的折紙問題，在教學時可以動手操作.如圖6所示，用動態的眼光來看待折疊，如果折痕 CE 上的點 E 由 B 運動向A，折疊的過程則是一個運動與變化的過程，此過程中圖形的某些結論會隨著圖形的運動而發生改變，同樣的，圖形的不變性也會蘊藏其中，例如 B^′ 的運動軌跡在以 C 為圓心， CB 為半徑的圓的一段弧上，而原題中 CB^′⊥ AD ，只是其中某個特殊的情況.從整體視角回顧、審視、探究，感受問題的走向，實現“做一題、會一類、通一片”的有效解題研究.

【本文系南京市教育科學“十四五”規劃2024年度立項課題“基于超學科理論的數理融合課程校本實踐路徑研究\"（課題編號：L/2024/050）的階段性研究成果】