Gray-Scott模型的高階緊致線性化差分格式

Abstract：The Gray-Scott equation of integer order with Dirichlet boundary condition is studied. We propose a numerical scheme for solving eficiently the Gray-Scottequation by combining the compact diffrence method and the operator splitting algorithm. Firstly，the original problem is decomposed into linear and nonlinear parts based on the operator spliting idea. Then the linear subproblem is solved by using the fourth-order compact difference scheme，the nonlinear subproblem is solved by using the Crank-Nicolson diference scheme，and the nonlinear terms are handled by using the Rubin-Graves linearization technique to build a linear solving format to achieve an eficient solution.Finally，the stability of the scheme is proved，the error estimate of given，and the validity of the scheme is verified by numerical experiments.

Keywords：：Gray-Scott equation；operator spliting；fourth-order compact difference scheme；Rubin-Graves linearization technique；stability；validity

Gray-Scott（GS）模型是一種用于描述反應-擴散的數學模型，該模型最初由物理學家Gray 和 Scott在 1984 年提出[1]，廣泛用于研究自然界和工業過程中的模式形成和結構動力學[2-9]，主要關注兩種化學物質之間的反應和擴散過程。整數階GS模型通常可以寫成以下形式

式（1）中： u，v 分別表示2種反應物的濃度； 分別表示2種反應物擴散的速率; F?0 表示進料速率； κ?0 表示第2次反應的衰減速率。

Gray-Scott模型以其在反應-擴散系統中產生復雜時空結構的能力而聞名，如斑點、條紋等，這使其在研究自然界中的圖案形成[10、生物體內的化學過程等方面得到了廣泛應用。研究人員通過調整模型的參數，可以模擬出不同條件下的系統行為，從而更好地理解復雜系統中的動力學現象。

Pearson[11]進行了GS模型的細致數值探索，揭示了解中復雜結構的存在，然而，他采用的是一種基本的積分方案，引發了有關數值偽影的討論。Doelman[12]對一維GS 模型中奇異同次元靜止解和空間周期性靜止解進行了線性穩定性分析，這種分析對于解釋自復制脈沖現象具有一定的影響。Wang等[13]提出了一個二階的有限差分方案，用于處理分數階GS模型，并進行了時間穩定性的分析。另一方面，Zhang 等[14]則提出了一種非線性空間分數階反應擴散方程的穩定半隱式傅里葉譜方法，這一方法已成功應用于解決分數階GS 模型的問題。Zhai等[15]利用半隱式譜延遲校正（SDC）方法與算子分裂方案相結合模擬分數階GS模型，并驗證了該方法的穩定性與收斂性。

研究方程（1）在Dirichlet邊界條件及如下初值條件下的GS模型，即

其中， Ω=[-L，L] 為有界區域。

利用算子分裂思想[16」，可將原始方程分裂為線性部分和非線性部分。其中，線性部分的數值解算子記為 S_A ，非線性部分的數值解算子記為 S_B 。算子分裂格式有Marchuk-Strang分裂格式、Trotter-Lie分裂格式及對稱加權分裂格式等，本文采用Marchuk-Strang 算子分裂格式[17求解Gray-Scott模型。

1算子分裂法求解Gray-Scott方程

1.1 Strang算子分裂方法

運用 Strang算子分裂求解模式如下：1）計算前半步算子 S_A ，其中 ）計算完整一步算子 S_B ，其中 ，且 ；3）計算后半步算子 S_A ，其中 ，且 。

在Gray-Scott方程（1）中，根據分裂策略，令 S_A 和 S_B 是以下線性部分和非線性部分相關的精確解算子，將其分為線性部分

與非線性部分

則問題（1）可以通過三步格式進行求解，即

式（4）中： 0

1.2線性子問題的數值近似： S_AS_A^τ，h

取空間區域為 [-L，L] ，空間節點數為 N ，則空間步長為 ，空間節點可表示為 x_i=-L+ih 取時間區域為[0，T]，時間節點數為M，則時間步長為τ=M時 ，時間節點可表示為 t_k=kτ ， u_i^k 與 分別表示數值解與精確解。

對于線性子問題 S_A ，在時間上，采用Crank-Nicolson方法對其進行離散化得到

在空間上，令二階中心差分算子為

進一步，引進4階帕德逼近格式

結合（5）式及Crank-Nicolson方法可得到全離散格式

進一步化簡為

可以將式（9）進一步化簡為

式（10）的矩陣表達式為

其中：

由于式（1O）中2個式子的證明類似，故以式（10）的第1式為例利用Fourier方法進行穩定性分析。

定理1差分方程按照譜范數穩定的充分必要條件是對于任意滿足 0?τ?τ₀ ， 0?nτ?T 的格式成立 |G（τ，k）|?1 。

證明：格式（10）中第1式的無條件穩定性。首先，令 ，則有

利用歐拉公式 e^iωh=cosωh+isinωh ，可得到 p^k+1（2acosωh+b）=p^k（2ccosωh+d） 。令 μ_u=λ₁ 。則進一步可得到

最終可得到增長因子

由此可見， |G（τ，k）|?1 。同理可證明格式（10）的第2式也是無條件穩定的，故證得格式（10）是無條件穩定的，即說明線性子問題 S_A 的算法格式是穩定的。

引理1對于任意的網格函數 滿足 ，其中，

證明：由上述線性子問題 S_A 的算法格式是無條件穩定即可得。

1.3非線性子問題的數值近似： S_BS_B^τ，h

對于非線性子問題 S_B ，在時間上，采用Crank-Nicolson格式對其進行離散化得到

進一步化簡得

根據Rubin-Graves線性化技術[18]處理非線性部分 uv² ，即

（uv²）^k+1=（uvv）^k+1=u^k+1（v^k）²+u^kv^k+1v^k+u^kv^kv^k+1-2u^kv^kv^k°on，

結合式（11）與式（13）可得Dirichlet邊界條件下的非線性子問題的格式為

現使用\"凍結系數\"策略[19]討論格式（14）的穩定性。由以下常數凍結 （v^k）² 和 u^kv^k 兩項，即

那么，式（14）用矩陣可以表示為

式（15）中：

http ： // hdxb. hqu. edu. cn/

當 時，矩陣 X 可逆。于是有

記

于是有

假設

于是存在一個常數 C₁ ，使得

以及

結合上述2個不等式，得到

式（17）中： 和 是 X 的2范數和 ∞ 范數。

因此，通過式（15）和式（17）有定理2。

引理2在式（16）的條件下，對于任何一種網格剖分方法 ，有 。

結合式（1）、（1O）、（14），可以得到Dirichlet邊界條件下Gray-Scott方程的高效4階算子分裂格式

式（18）中： （U^?，V^?） 和 （U^??，V^??） 均是中間變量； 。

根據式（4），算法（18）也可表示為

上式中： 是格式（18）在時間 t_m 處的數值解; 和 S_B^τ，h 分別是 S_A 和 S_B 的數值近似。

注在條件（16）的情況下，可以驗證矩陣 x 的行列式滿足 ，因此， X 為可逆矩陣。

2 穩定性和收斂性理論分析

2.1 穩定性分析

定理2在條件（16）的情況下，對于問題（1）的算子分裂格式（17）是穩定的，有

證明：由引理1及引理2，有

。

定理2證明完畢。

2.2 收斂性分析

假設所研究模型（2）在Dirichlet邊界條件下的解 u（x，t） 與 v（x，t） 滿足正則性條件

需要以下引理從而證明格式的收斂性。

引理3對于任意函數 ，成立不等式

上式中： 是與 τ，h 無關的正常數。

證明：由于式（9）是基于時間上的二階Crank-Nicolson 格式及空間上的4階緊致差分格式得到的.因此，可得引理3的結論。

引理4對于任意函數 u，v 滿足 ，可得到結論

證明：由于式（13）是基于時間上的二階Crank-Nicolson 格式與二階Rubin-Graves 線性化得到的，因此，可以得到引理4的結論。

定義 為算子分裂方案（4）的精確解，可得整體收斂性結論如下。

定理3設 與 分別是方程（1）在Dirichlet邊界條件下與算法（18）在時間節點 t_k 處的解，則在滿足式（16）及式（20）的正則性條件下，可以得到結論

上式中： C 是正常數。

證明：對于 0?k?M ，成立不等式

根據文獻[20可得到

式（22）中： C₄ 是正常數。

根據引理1與引理3，式（21）右側的第1項滿足

再根據引理2與引理4，式（23）中的第1項滿足

再次利用引理1與引理3，可得到

結合式 （23）～（25） 可得式（21）右側的第1項滿足

結合 ，可由Gronwall不等式得到

最后，結合式（21）、（22）、（27）可以證明

定理證明完畢。

3數值算例

3.1 符號說明

通過具體的數值算例驗證4階高精度算子分裂格式的收斂階和穩定性。為便于分析，對符號進行解釋，即

在驗證格式的高效性及有效性時，通過如下原則進行考慮。

假設 ，考慮空間精度，當時間剖分網格加密到一定程度，即 τ 取值充分小時，滿足Err（（h）=ch，且有slg2Er（，） 成立。

考慮時間精度，當空間剖分網格加密到一定程度，即 h 取值充分小時，滿足 ，有 r≈ 成立。

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3.2 收斂性驗證

要驗證數值格式（18）的收斂性，考慮初始條件

首先，考慮空間方向階數，參數選取 。固定時間剖分 M=3000 ，時間方向的區間 T=0.1，U，V 的空間收斂階分別如表1、2所示。由表1、2可知：空間方向接近4階精度，與理論分析一致。

然后，考慮時間方向階數，參數選取 、 。固定空間剖分 N= 3000、 T=1，U，V 的時間收斂階分別如表3、4所示。由表3、4可知：隨著網格的加密，最大誤差和 L₂ 誤差均逐漸減小，且時間方向接近2階精度，與理論分析一致。

4結束語

提出求解Gray-Scott模型高效的算子分裂方法，并對其進行嚴格的理論分析，得到時間具有2階精度、空間具有4階精度的數值方法。數值實驗的結果表明，該方法具有良好的穩定性與有效性。

參考文獻：

[1]GRAY P，SCOTT S K. Autocatalytic reactions in the CSTR： Oscilations and instabilities in the system A+2B 3B； C[J]. Chemical Engineering Science，1984，39：1087-1097.DO1：10.1016/0009-2509（84）87017-7.

[2]MOTTONI P，ROTHE F.A singular perturbation analysis fora reaction-diffusion system describing patern formahttp ： // hdxb. hqu. edu. cn/

[3]JUDD SL，SILBER M.Simple and superlatice turing patterns in reaction-difusion systems： Bifurcation，bistability，and parameter collapse[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，200，136（1/2）：45-65. DOI：10.1016/S0167-2789 （99）00154-2.

[4]HALEJK，PELETIER L A，TROY WC.Stability and instability in the Gray-Scott model： The case of equal diffusivities[J]. Applied Mathematics Letters，1999，12（4） ：59-65.DOI：10.1016/S0893-9659（99）00035-X.

[5]MURATOV C B，OSIPOV V V.Spike autosolitons in the Gray-Scott model[EB/OL]. （1998-05-31）[2024-03-02]. https： // doi. org/10.48550/arXiv. pat-sol/9804001.

[6]WANG Mi，YI Fengqi. On the dynamics of the diffusive Field-Noyes model for the Belousov-Zhabotinskii reaction [J].Journal of Differential Equations，2022，318 ：443-479.DO1：10.1016/j. jde. 2022.02.031.

[7]KUTO K，YAMADA Y.Positive solutions for Lotka-Volterra competition systems with large cross-diffusion[J]. Applicable Analysis，2010，89（7） ：1037-1066.DO1：10.1080/000368110036 27534.

[8] KUANG Y，BERETTA E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system[J].Journal of Mathematical Biology，1998，36：389-406.DOI：10.1007/s002850050105.

[9]FU Shengmao，CUI Shangbin.Persistence in a periodic competitor-competitor-mutualist diffusion system[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，263（1） ：234-245.DOI：10.1006/jmaa. 2001.7612.

[10]CHEN W，WARD M J.The stability and dynamics of localized spot paterns in the two-dimensional Gray-Scot model[J].SIAM Journal on Applied Dynamical Systems，2011，10（2） ：582-666.DOI：10.1137/09077357X.

[11]PEARSONJE.Complex paterns in a simple system[J].Science，1993，261（5118）：189-192.DOI：10.1126/science.261.5118.189.

[12]DOELMAN A，GARDNER R A，KAPER T J.Stability analysis of singular paterns in the 1D Gray-Scot model： A matched asymptotics approach[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1998，122（1/2/3/4）：1-36.DOI：10.1016/ S0167-2789（98）00180-8.

[13]WANG Tingting，SONG Fangying，WANG Hong，et al.Fractional Gray-Scottmodel： Well-posedness，discretization，and simulations[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Enginering，2019，347：1030-1049.DOI： 10.1016/j.cma.2019.01.002.

[14]ZHANG Hui，JIANG Xiaoyun，ZENG Fanhai，etal.A stabilized semi-implicit Fourier spectral method for nonlinear space-fractional reaction-diffusion equations[J]. Journal of Computational Physics，202o，405：109141.DOI： 10. 1016/j. jcp. 2019.109141.

[15]ZHAI Shuying，WENG Zhifeng，ZHUANG Qingqu，etal.An efective operator spliting method based on spectral defered correction for the fractional Gray-Scott model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 2023，425：114959.DOI：10.1016/j.cam.2022.11 4959.

[16]STRANG G.On the construction and comparison of diference schemes[J].SIAM Journal on Numerical Analysis， 1968，5（3） ：506-517.DO1：10.1137/0705041.

[17]LADICS T.Application of operator spliting in the solutionof reaction-diffusion equations[C]//Proceedings in Applied Mathematicsand Mechanics. Berlin：WILEY-VCH Verlag，2007： 2020135-2020136. DOI：10.1002/pamm. 200701017.

[18]RUBIN S G，GRAVES R A.Viscous flow solutions with a cubic spline approximation[J].Computers amp; Fluids， 1975，3（1） ：1-36.D01：10.1016/0045-7930（75）90006-7.

[19]PEROV A I，KOSTRUBID，KAVERINA VK.Method of frozencoeficients in Holder conditions[J].Diffrential Equations，2021，57（5）：587-593.DO1：10.1134/S00122661210500 37.

[20]DU Qiang，JULili，LI Xiao，etal.Stabilized linear semi-implicit schemes for the nonlocal Cahn-Hiliard equation [J]. Journal of Computational Physics，2018，363：39-54. DOI：10.1016/j. jcp.2018.02. 023.