二次根式與勾股定理的奇妙碰撞

在數(shù)學(xué)的奇妙世界里，二次根式常用于化簡計算，勾股定理常用于求直角三角形的邊長，二者看似是兩個獨(dú)立的知識點(diǎn)，實(shí)則有著千絲萬縷的聯(lián)系。它們就像一對默契十足的搭檔，共同揭開了直角三角形中數(shù)與形的奧秘。著名的海倫-秦九韶公式就可以運(yùn)用二次根式與勾股定理的知識來證明。

海倫-秦九韶公式：若一個三角形的三邊長分別為 a，b，c ，設(shè) 則這個三角形的面積 。

證明：如圖1，過點(diǎn) A 作 AD⊥BC ，設(shè) BD=x，AD=h ，則 CD=a-x 。

在 RtΔADB 和 RtΔADC 中，根據(jù)勾股定理，可得 c²-x²=b²-（a-x）² O化簡，可得

在 RtΔADB 中，根據(jù)勾股定理，可得

除此之外，在常規(guī)的幾何題中我們也會遇到二次根式與勾股定理這對好搭檔。

例題在矩形ABCD中， AB=a，BC=b，M 是 BC 的中點(diǎn)， DE⊥AM ，垂足為 E ，用含 a，b 的代數(shù)式表示 DE 的長。

解：根據(jù)題意，我們可以畫出圖形（如圖2）

： M 是 BC 的中點(diǎn)，

在 RtΔABM 中，根據(jù)勾股定理，可得

連接DM，則S△ADM

二次根式與勾股定理，一個是數(shù)的精確表達(dá)，一個是形的規(guī)律總結(jié)。它們的結(jié)合，讓我們既能用代數(shù)的方法解決幾何問題，又能用幾何圖形理解代數(shù)概念，真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形\"的完美統(tǒng)一。這對“黃金搭檔\"不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，更為我們探索現(xiàn)實(shí)世界提供了強(qiáng)大的工具。

教師點(diǎn)評

小作者通過海倫-秦九韶公式的證明和一道例題的計算，描述出二次根式和勾股定理之間相互依存、相輔相成的關(guān)系。勾股定理為二次根式提供了實(shí)際應(yīng)用場景，讓二次根式有了更廣闊的用武之地；二次根式幫助勾股定理解決計算難題，讓幾何問題的答案更加準(zhǔn)確和完整。

（指導(dǎo)教師：陳亞楠）