二次根式的隱藏技能：非負(fù)性解題小妙招

最近，我在數(shù)學(xué)課上結(jié)識了一位特別的朋友一一二次根式。它就像一個(gè)愛捉迷藏的小精靈，總喜歡把“二次根式本身的非負(fù)性\"和\"被開方數(shù)的非負(fù)性\"這兩個(gè)重要性質(zhì)悄悄藏起來。剛開始，我解題時(shí)總是被它耍得團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)。但經(jīng)過老師的點(diǎn)撥，我找到了認(rèn)清這位朋友的“秘密武器”—它的非負(fù)性簡直就是解題神器！很多看似復(fù)雜的題目，只要抓住這個(gè)特性，就能又快又準(zhǔn)地解決。不信？下面我們就通過幾個(gè)具體例子，一起來見識這個(gè)秘密武器的“超能力\"吧！

妙招一 利用 求解

例1若 與 ∣b+4∣ 互為 相反數(shù)，則 （a+b）²⁰²⁵=.

首先，我們由題目中的關(guān)鍵詞“相反數(shù)”聯(lián)想到“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為 0^′′ ，從而得到 ∣b+4∣=0 。因?yàn)樗阈g(shù)平方根非負(fù)，易得 ；再由絕對值的非負(fù)性，可知 ∣b+4∣?0 。當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0，那只有一種可能，就是這兩個(gè)數(shù)都是0，即 且∣b+4∣=0 ，則 a-3=0 且 b+4=0 。這樣，這道題就被輕松化解，接下來只需分別求出 a 和 b 的值，即 a=3，b=-4 ，再將結(jié)果代人，得 （a+b）²⁰²⁵=-1 。

方法歸納：

在學(xué)習(xí)了二次根式后，我總結(jié)出了三類常見的非負(fù)表達(dá)式： ，a² 。比如遇到這樣的等式： ∣b∣+c²=0 。因?yàn)榈仁阶筮吶齻€(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0，所以有且只有一種可能： a=0，b=0，c=0 。這個(gè)結(jié)論還可以推廣到更一般的情況：當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每個(gè)非負(fù)數(shù)都必須等于0。

妙招二 利用 中被開方數(shù)a?0 求解

例2 已知 8，則

我們通過觀察，發(fā)現(xiàn)等式右邊有兩個(gè)根號，要使得它們都有意義，必須 2x-1?0 與 1-2x?0 同時(shí)成立，則 x 必須同時(shí)滿足 和 顯然，唯一滿足這個(gè)條件的數(shù)就是 確定 x 的值之后，將 代人原式，求得 y 的值為8。將 xy 開平方，得 。

方法歸納：

通過日常練習(xí)中的不斷修正，我總結(jié)出：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以 中的 a 必須大于或等于0，不過這個(gè)條件在題目里經(jīng)常是“隱形'的，需要自己去發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用，

記得有次作業(yè)遇到這樣一道好題：

已知實(shí)數(shù)滿足 |2024-a|+ ，求 a-2024² 的值。

我看到這道題時(shí)特別興奮，因?yàn)榻鉀Q本題的突破口同樣是利用被開方數(shù)大于或等于0，即 a-2025?0 ，得a?2025 ，那么 2024-a 肯定是負(fù)數(shù)，所以 ∣2024-a∣=a-2024 。把化簡后的式子加以整理，得 2024，最后將兩邊平方，即可求解。

通過這道題，我深刻體會(huì)到：抓住二次根式隱含的非負(fù)性這個(gè)條件，往往就能找到解題的突破口。而且當(dāng)絕對值和根號同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先確定取值范圍可以幫助我們簡化絕對值表達(dá)式。這種“先確定范圍，再化簡計(jì)算\"的思路在代數(shù)運(yùn)算中可以讓我們的解題更加高效。

妙招三 同時(shí)利用 a?0 和 求解

例3若 滿足關(guān)系式 ，求 a^?b 的值。

我看到這道題時(shí)，反復(fù)審視這個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)根號內(nèi)的字母關(guān)系像一團(tuán)亂麻。就在我即將放棄時(shí)，一道思維的閃電劈開迷霧，等號右邊的 和 ，根號里面一個(gè)是c-3，一個(gè)是 3-c ，兩者互為相反數(shù)，而且被開方數(shù)必須大于或等于0，所以 c-3?0 且3-c?0 ，這不就是 c?3 且 c?3 嗎？那么 c 只能等于3，等式右邊就為0了。這時(shí)，等式左邊也跟著現(xiàn)出原形，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，所以直接讓根號里面的表達(dá)式都等于0，從而列出方程組 解得 最后來個(gè)漂亮的收尾，計(jì)算出 a^b=1 。

總結(jié)歸納：

我最近發(fā)現(xiàn)解二次根式有關(guān)的問題有個(gè)超好用的“雙重保險(xiǎn)\"特性，即 。其實(shí)，很多題目都藏著這樣的“彩蛋”，只要我們平時(shí)多留意二次根式的這兩個(gè)特性，解題時(shí)就能像開了透視眼一樣，一眼看穿出題者的“小心機(jī)”。這樣不僅不容易出錯(cuò)，還能大大提升解題速度怎么樣，你掌握解決二次根式問題的“小妙招”了嗎？快去試試?yán)盟鼈儊韼椭憬忸}吧！

教師點(diǎn)評

小作者針對日常作業(yè)中的問題及時(shí)反思與歸納，并提煉和升華，形成更深層次的理解。這樣的主動(dòng)思考使小作者深化了對二次根式的認(rèn)識，找到了知識點(diǎn)與習(xí)題的遷移點(diǎn)，值得充分肯定與贊賞。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中，善于總結(jié)，將知識融會(huì)貫通，真正實(shí)現(xiàn)能力的提升和遷移。唯有如此，我們才能在解題時(shí)既快又準(zhǔn)，游刃有余。

（指導(dǎo)教師：程蘭花）