基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)投影的動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法及其在公路隧道內(nèi)聲場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

中圖分類號(hào)：0213.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1003-5168(2025）12-0070-05

DOI: 10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.12.013

Dynamic Modal Reconstruction Method Based on Real-time Data Projection and Its Application in Tunnel Acoustic Field Prediction

DONG Zhenlin (Qinghai Provincial Transportation Construction Engineering Cost Station，Xining8171O1，China)

Abstract: [Purposes]To address the unsuitability of existing modal reconstruction methods for predicting non-stationary physical fields with increasing prediction steps，this paper aims to enhance the adaptability of Dynamic Mode Decomposition (DMD) for non-stationary physical field prediction.[Methods] Based on Koopman-mode decomposition and data driven physical field reconstruction，this paper proposes a dynamic modal reconstruction method based on real-time data projection.Its effectiveness has been verified through two cases: strong sound-absorbing walls and highly reflective walls in a tunnel. [Findings] Unlike traditional methods that perform reconstruction using the initial physical field，the dynamic modal reconstruction method based on real-time data projection can effctively eliminate the error accumulation caused by the non-stationary acoustic field by continuously incorporating the latest real - time data for data mapping，thus significantly improving prediction accuracy.The proposed method can be an efficient prediction tool for non-stationary physical fields.[Conclusions] The error-accumulation effect of existing modal reconstruction methods originates from thecontinuous introduction of new information in non-stationary physical field data.Real-time data projection can resolve the erroraccumulation phenomenon.

Keywords: data-driven; non-stationary; acoustic signal; tunnel; dynamic mode decomposition

0 引言

近年來，隨著我國(guó)公路網(wǎng)絡(luò)的不斷完善，隧道的建設(shè)工程數(shù)量不斷增加。由于隧道是一個(gè)半封閉結(jié)構(gòu)，噪聲經(jīng)過隧道壁面的反射疊加不易擴(kuò)散，相較于開闊路面噪聲更大，并在隧道內(nèi)部產(chǎn)生“音箱效應(yīng)”]。長(zhǎng)時(shí)間的混響疊加隧道帶來的視覺單一，使人產(chǎn)生困倦，增加了交通事故發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)[2]。因此，隧道內(nèi)的聲場(chǎng)研究越來越受到關(guān)注。

隨著計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展，數(shù)值模擬被廣泛應(yīng)用于聲學(xué)研究與工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，成為獲取聲場(chǎng)信息的主要手段之一。吳碩賢3利用虛墻理論對(duì)隧道內(nèi)聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。師利明等4從聲學(xué)理論方面對(duì)隧道內(nèi)聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而隨著計(jì)算域尺寸和邊界復(fù)雜程度的增加，數(shù)值模擬成本迅速增加，特別是特長(zhǎng)隧道場(chǎng)景。除了虛墻理論和聲學(xué)理論方法，類比預(yù)測(cè)也被學(xué)者采用[5]。當(dāng)前也涌現(xiàn)了大量基于實(shí)測(cè)的公路隧道內(nèi)交通噪聲的統(tǒng)計(jì)模式，例如美國(guó)FHWA模式、英國(guó)CoRTN模式[、德國(guó)RLS90模式、日本ASJ-1993模式等。然而，通過實(shí)測(cè)方法獲得全場(chǎng)的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)隨時(shí)間演化的成本高昂。

基于試驗(yàn)或數(shù)值龐大的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的聲場(chǎng)預(yù)測(cè)技術(shù)受到科學(xué)界與工業(yè)界的廣泛關(guān)注。當(dāng)前基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的聲場(chǎng)預(yù)測(cè)技術(shù)方案主要有兩種，一種是基于機(jī)器學(xué)習(xí)的聲場(chǎng)預(yù)測(cè)：通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[0]深度學(xué)習(xí)等方法，使用已有聲場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)學(xué)習(xí)，通過學(xué)習(xí)后的模型進(jìn)行聲場(chǎng)預(yù)測(cè)。目前，通過機(jī)器學(xué)習(xí)方式得到的模型為黑箱模型，缺少相應(yīng)的物理解釋，且計(jì)算成本高。另一種是基于降階模型的方法，即采用基于奇異值分解或其他方式得到數(shù)據(jù)的主要模態(tài)，通過主要模態(tài)重構(gòu)形成降階模型，從而開展預(yù)測(cè)分析，例如在剪切流和聲場(chǎng)耦合[12]、激波聲場(chǎng)耦合[13]及流動(dòng)噪聲領(lǐng)域[14]。動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition，DMD)[15]是一種基于Koopman理論的模態(tài)提取算法，由于其能夠提取數(shù)據(jù)中的時(shí)空相干結(jié)構(gòu)，在計(jì)算流體力學(xué)、實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)、電氣工程、腦神經(jīng)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

動(dòng)態(tài)模態(tài)分解技術(shù)將數(shù)據(jù)信息基于頻率信息進(jìn)行分解，使用模態(tài)、模態(tài)特征值和模態(tài)系數(shù)進(jìn)行物理場(chǎng)的重構(gòu)。該方法擅長(zhǎng)揭示具有離散頻率的物理場(chǎng)的空間分布與時(shí)間特征。近期，劉剛等[16提出了一種基于自適應(yīng)步長(zhǎng)的DMD分析方法，提高了DMD分析方法預(yù)測(cè)的計(jì)算效率。然而，當(dāng)數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)特征突出時(shí)，該重構(gòu)方法會(huì)出現(xiàn)誤差積累，使得預(yù)測(cè)精度大幅降低。隧道內(nèi)聲場(chǎng)是一個(gè)典型的非平穩(wěn)聲場(chǎng)。本研究提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法，該方法基于最新數(shù)據(jù)投影在模態(tài)上的權(quán)重，避免了隨預(yù)測(cè)時(shí)間增加導(dǎo)致的誤差積累，提高了預(yù)測(cè)精度。本研究以隧道內(nèi)強(qiáng)吸聲壁面和強(qiáng)反射壁面為例，討論了該方法在隧道內(nèi)非平穩(wěn)聲場(chǎng)預(yù)測(cè)中的有效性。

1基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)投影的動(dòng)態(tài)模態(tài)替代模型預(yù)測(cè)原理

1.1 DMD分解

動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法起源于Koopman[1有關(guān)于非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究。Koopman算子與非線性動(dòng)力系統(tǒng)之間存在緊密聯(lián)系，因此Koopman理論為動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法的研究奠定了理論基礎(chǔ)。動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法作為一種優(yōu)秀的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法已被廣泛應(yīng)用于試驗(yàn)與數(shù)值模擬的流動(dòng)分析中，具體見式(1)。

式中： x_i 為第 i 時(shí)刻的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)。

且存在一個(gè)線性算子 A 能夠描述相鄰時(shí)刻的聲場(chǎng)快照之間的線性相關(guān)，見式(2)。

x_i+1=Ax_i

因此，基于聲場(chǎng)數(shù)據(jù)快照 X ，可以構(gòu)建兩個(gè)快照矩陣 X₁，X₂ ，見式(3)和式(4)。

X₂=[x₂，x₃，x₄，x_i，^?，x_N]

由于聲場(chǎng)數(shù)據(jù)的空間點(diǎn)個(gè)數(shù)與快照時(shí)間數(shù)巨大，線性算子A難以直接計(jì)算。對(duì)此使用奇異值分解（SVD）方法計(jì)算 A 的相似矩陣 ，首先對(duì) X₁ 進(jìn)行奇異值分解，見式(5）。

式中： Σ 為對(duì)角矩陣； U 和 V 為酉矩陣。

根據(jù)式(2)和式(5)，矩陣A可以寫為式(6)。

基于矩陣A，相似矩陣 可以寫為式（7）。

計(jì)算相似矩陣 的特征值與特征向量，見式(8)。

式中： W 為 的特征向量； A 為 的特征值。

因此，動(dòng)態(tài)模態(tài)分解模態(tài) ? 見式（9）。

?=X₂VΣ^-1W

其中，模態(tài)矩陣 ? 中包含各模態(tài) ?_i 。

1.2基于最新數(shù)據(jù)投影的重構(gòu)原理

當(dāng)分解獲得模態(tài)特征值和模態(tài)系數(shù)后，可以基于式(2)開展下一個(gè)時(shí)刻的聲場(chǎng)預(yù)測(cè)。由于各模態(tài)的能量占比不同，可以選取主要模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，即式(10)。

式中： r 為截?cái)鄶?shù)； ? 為Moore-Penrose偽逆；λ_i，b_i 分別為第 i 階模態(tài)的特征值與模態(tài)系數(shù)。動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法使用線性矩陣代替原有動(dòng)力系統(tǒng)中復(fù)雜的非線性關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降階。基于線性矩陣對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，具有模型簡(jiǎn)單、數(shù)值穩(wěn)定等特點(diǎn)。

然而，如式(10)所示，傳統(tǒng)的重構(gòu)方法利用初始時(shí)刻的數(shù)據(jù)場(chǎng) x₁ 經(jīng)過多次線性映射來重構(gòu)，當(dāng)物理場(chǎng)存在顯著的非平穩(wěn)特征時(shí)，隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法會(huì)出現(xiàn)誤差累積，使得預(yù)測(cè)精度降低。為了克服這一缺點(diǎn)，使用當(dāng)前最新的聲場(chǎng)數(shù)據(jù) x_k 在模態(tài)下的映射 C ，見式（11）。

C=x_kΦ^?

利用線性映射預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的物理場(chǎng)，即式(12)。

在該方法中，當(dāng)前最新的聲場(chǎng)數(shù)據(jù) x_k 既可以利用最新的預(yù)測(cè)解決，也可以利用試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行更新。從而通過降低線性映射次數(shù)，減少了隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加導(dǎo)致的誤差累計(jì)。基于改進(jìn)的模態(tài)重構(gòu)方法，開展聲場(chǎng)預(yù)測(cè)方法的計(jì)算流程如圖1所示。

2案例1：非定常聲場(chǎng)在強(qiáng)吸聲隧道內(nèi)的傳播預(yù)測(cè)

2.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

隧道內(nèi)聲場(chǎng)的特點(diǎn)在于其明顯的非平穩(wěn)過程。因此本研究構(gòu)建了一個(gè)振幅隨時(shí)間線性增長(zhǎng)且在空間上為正弦變化的理想時(shí)間序列二維聲場(chǎng)數(shù)據(jù)集，對(duì)該改進(jìn)方法進(jìn)行測(cè)試，見式（13）。

式中： t 為時(shí)間； L_x=L_y=200 。由式(13)可以看出，聲壓 p 在 x 和 y 方向具有正弦變化，同時(shí)隨著時(shí)間 Φ_t 以0.1的速率幅值整體逐漸增加。

利用式(13）產(chǎn)生總時(shí)長(zhǎng)為 40s 的理想時(shí)間序列二維聲場(chǎng)數(shù)據(jù)集，如圖2所示。時(shí)間序列的時(shí)間間隔為 0.05s 。每一個(gè)時(shí)刻上， x 方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為200， y 方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為 100 。

2.2 預(yù)測(cè)分析

本研究利用上述0\\~15s的數(shù)據(jù)集進(jìn)行動(dòng)態(tài)模態(tài)分解，并將15\\~27.5s的數(shù)據(jù)作為對(duì)比驗(yàn)證數(shù)據(jù)，同時(shí)采用 t=[16.5s ， 18s ，…，26s，27.5s]時(shí)刻的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)作為新增數(shù)據(jù)，用于更新數(shù)據(jù)集。

本研究分別利用傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法和改進(jìn)后的重構(gòu)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。以(0，50)處的聲壓為例，兩種方法預(yù)測(cè)的結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法無法對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，主要體現(xiàn)在聲壓幅值隨著時(shí)間正弦變化的非平穩(wěn)特征沒有被很好地抓住。而改進(jìn)的重構(gòu)方法能夠顯著提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，且能夠有效預(yù)測(cè)該時(shí)間非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集。

傳統(tǒng)重構(gòu)方法與改進(jìn)的重構(gòu)方法所預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)于驗(yàn)證數(shù)據(jù)集的平均相對(duì)誤差對(duì)比如圖4所示。由圖4可知，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，平均相對(duì)誤差顯著增加，由 10% 增加至30% 。而改進(jìn)的重構(gòu)方法對(duì)于聲場(chǎng)的預(yù)測(cè)效果較好，隨預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，對(duì)于平均相對(duì)誤差影響較小，平均相對(duì)誤差小于 5% 。同時(shí)對(duì)比全場(chǎng)的聲壓結(jié)果，改進(jìn)的重構(gòu)方法對(duì) t=22.5 s時(shí)刻預(yù)測(cè)的聲場(chǎng)空間分布情況如圖5所示。圖5與圖2(b)基本一致，由此可知，改進(jìn)的重構(gòu)方法能有效捕捉本案例中理想聲場(chǎng)數(shù)據(jù)的時(shí)空時(shí)間演化規(guī)律。

3案例2：非定常聲場(chǎng)在強(qiáng)反射隧道內(nèi)的傳播預(yù)測(cè)

3.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

考慮到隧道有較大的長(zhǎng)徑比，使用有限差分算法對(duì)隧道環(huán)境進(jìn)行聲場(chǎng)模擬。隧道縱截面的空間網(wǎng)格劃分如圖6所示， x 方向長(zhǎng)度為 500m ，網(wǎng)格數(shù)為 1000;y 方向長(zhǎng)度為 50m ，網(wǎng)格數(shù)為100。

波動(dòng)方程采用二階中心差分格式，見式（14）。

上下邊界為全反射邊界，左右邊界為透射邊界。

本研究設(shè)定計(jì)算總步數(shù)為6500步，時(shí)間步長(zhǎng)為 0.00058s ，波速 ∣c∣ 設(shè)置為 340m/s ，在(0，50)位置處總步數(shù)為點(diǎn)聲源。聲源以固定的頻率向四周輻射聲波，且聲壓是隨著時(shí)間線性增加的，具體見式(15)。

p(t)=tsin(15πt)

不同時(shí)刻理想聲場(chǎng)的數(shù)值結(jié)果如圖7所示。

3.2 預(yù)測(cè)分析

本研究使用0\\~2.9s的理想時(shí)間序列聲場(chǎng)數(shù)據(jù)集作為初始數(shù)據(jù)集進(jìn)行動(dòng)態(tài)模態(tài)分解，使用 t= [2.941s，2.958s，·，3.805s，3.823s]時(shí)刻的理想時(shí)間序列聲場(chǎng)數(shù)據(jù)作為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，用于更新初始數(shù)據(jù)集。使用 2.9～3.5 s的理想時(shí)間序列聲場(chǎng)數(shù)據(jù)集驗(yàn)證預(yù)測(cè)效果。本研究利用傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法和改進(jìn)后的重構(gòu)方法分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，如圖8所示。選取（240，50）位置處聲強(qiáng)的時(shí)間序列來考察兩種重構(gòu)方法的精度。與案例1結(jié)果相似，案例2表明傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法無法對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，而改進(jìn)的重構(gòu)方法能夠顯著提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，能夠有效預(yù)測(cè)該時(shí)間非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集預(yù)測(cè)為(240，50)位置處的聲壓時(shí)間序列。

進(jìn)一步定量考察預(yù)測(cè)聲壓全場(chǎng)的相對(duì)誤差，如圖9所示。通過對(duì)全場(chǎng)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差比較可得，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，其預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差顯著增加，由 20% 提升

進(jìn)一步定量考察預(yù)測(cè)聲壓全場(chǎng)的相對(duì)誤差，如圖9所示。通過對(duì)全場(chǎng)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差進(jìn)行對(duì)比可得，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加，其預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差顯著增加，由 20% 提升至 80% 。而改進(jìn)的重構(gòu)方法其預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差顯著低于傳統(tǒng)方法。研究表明，實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)投影有效控制了誤差累計(jì)。

4結(jié)語

本研究基于現(xiàn)有動(dòng)態(tài)模態(tài)分解方法，提出了一種基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)投影的動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法。該方法首先對(duì)物理場(chǎng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模態(tài)分解，并提取相關(guān)模態(tài)與模態(tài)特征值；其次基于最新的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行映射，獲得其在各模態(tài)上的映射系數(shù)；最后基于模態(tài)、模態(tài)特征值與映射系數(shù)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的物理場(chǎng)。該方法通過不斷將最新預(yù)測(cè)結(jié)果納入數(shù)據(jù)集，從而避免了誤差的累積。本研究構(gòu)造了兩個(gè)理想測(cè)試算例，對(duì)應(yīng)強(qiáng)吸聲隧道壁面和強(qiáng)反射隧道壁面隧道兩種情形，對(duì)改進(jìn)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，改進(jìn)重構(gòu)方法后的預(yù)測(cè)方法能夠有效對(duì)非平穩(wěn)聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。相較于傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法，改進(jìn)后的重構(gòu)方法提高了預(yù)測(cè)精度，顯著降低了全場(chǎng)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差。

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（欄目編輯：孫艷梅）