連續信號卷積求解方法的探討與比較

摘要：連續信號卷積的概念、性質和計算是信號與系統課程的重要知識點。卷積的計算方法多樣，既可以在時域中求解，也可以在變換域中進行，二者具有統一性。針對連續信號卷積求解問題，需根據具體問題選擇合適的方法。對連續信號卷積的常用方法進行了全面總結，同時，給出了連續信號卷積的各類求解方法在時域和變換域中的對應關系。通過有限長和分段線性的連續信號卷積實例，從5個角度介紹卷積計算方法，并比較各類方法的優缺點。

關鍵詞：信號與系統；卷積；連續時間信號；圖解法；卷積的性質；變換域方法

中圖分類號：TP393" " " 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）17-0004-05

開放科學（資源服務） 標識碼（OSID）

0 引言

連續信號的卷積是信號與系統課程的重要知識點，也是線性時不變系統時域分析的基礎，相關教學內容包括卷積的基本概念、性質以及運算方法和應用等。鑒于卷積的重要性，國內高校的教學探討主要集中在卷積的教學方法、手段和實際應用上。何其銳等利用卷積的性質設計了回音信號的生成和消除綜合訓練項目，其中涉及了信號采樣、卷積、濾波器設計、解卷積等多個知識模塊，同時訓練了學生運用Matlab軟件分析和求解問題的能力[1]。參考文獻[2]對卷積、卷積和的各類方法進行了全面梳理和總結，特別的，針對連續信號卷積，其方法包括：時域中的解析法、圖解法、性質法；基于傅里葉變換和基于拉普拉斯變換的變換域方法；Matlab求解方法[2]。文靜提出一種直觀的開火車方式來講解卷積運算過程，將某信號視作火車站，另一經自變量變換的信號視作火車，在其移動過程中完成卷積運算，并通過離散序列的卷積和作為舉例闡述了上述卷積和求解過程[3]，該方法的本質是卷積和運算的基本概念。許可等以PD雷達中對回撥信號的脈沖壓縮處理為例，介紹了卷積和運算中分段卷積的前提條件，并介紹了其在實時信號處理中的工程價值[4]，這是將理論教學和工程實踐結合的教學實踐。類似的，參考文獻[5]提出了卷積運算的案例教學法，并設計了室內混響聲學應用的案例，借此學習卷積運算的基本原理和方法，在Matlab和AU軟件中進行案例的演示，激發了學生的學習興趣[5]。

經過多年的教學實踐，筆者總結了連續信號卷積教學的難點，也是初學者較難掌握的知識點，主要包括：1） 定義式直接求解方法中卷積區間的確定；2） 圖解法中時間變量的本質；3） 卷積求解方法的選擇策略。

連續信號卷積本質是信號經翻轉移動后的信號間的加權積分，連續信號卷積的公式法和圖解法中均涉及積分區間確定的問題，這是上述兩方法的核心和難點。此外，由于連續信號卷積運算的方法較多，依據什么原則選擇最適當的方法也是初學者較難掌握的。筆者首先總結了常用的連續信號卷積求解方法，進而通過有代表性的計算實例介紹各類方法的實施方法、注意事項和各類方法的優缺點，旨在為本知識點的教學提供參考。

2 連續信號的卷積求解方法總結

連續信號卷積方法主要包括定義式求解法、圖解法、卷積的性質法、基于傅里葉變換的方法、基于拉普拉斯變換的方法和Matlab求解方法等[2]。對上述方法簡要總結如下。

1） 定義式求解法

連續信號[f1t]與[f2t]的卷積[ft]定義為：

[ft=f1t×f2t=-∞+∞f1τf2t-τdτ =f2t×f1t=-∞+∞f2τf1t-τdτ]" "（1）

且卷積具有交換律，根據上述定義可直接求解連續信號的卷積。由于連續信號的持續時間和信號形式多變，采用定義式求解時，主要問題在于確定積分區間的上下限以及被積信號的表達式。該方法的計算過程通常較為復雜，尤其是在確定積分區間時。

2） 圖解法

連續信號卷積的圖解法是基于上述定義中運算的五個步驟實施的，包括：替換積分變量、信號翻褶、信號移位、信號相乘以及積分計算。該方法適合有限持續時間信號的卷積且信號形式較簡單的情況，同時，對某個時刻卷積結果的求解此方法也較為便捷。

3） 性質法

在連續信號卷積存在的前提下，可應用交換律、結合律、分配率、時移性質、微積分性質等實施卷積的求解。但在采用卷積的微積分性質時需注意使用的前提條件。

4） 基于傅里葉變換的連續信號卷積計算方法

在頻域中連續信號卷積的求解方法是先將信號變換到頻域，利用傅里葉變換的時域卷積性質求解頻域的卷積結果，再將其變換回到時域。

5） 基于拉普拉斯變換的連續信號卷積計算方法

與頻域方法類似的，在復頻域中連續信號卷積的求解方法是先將信號變換到復頻域，結合參與卷積的各連續信號拉普拉斯變換的收斂域，利用拉普拉斯變換的時域卷積性質求解復頻域的卷積結果，再將其變換回時域。對某些信號而言，該方法相比頻域方法更簡便。

6）連續信號卷積的Matlab求解

在Matlab中，直接調用內部函數或自行設計卷積計算的程序來實現卷積的求解，值得注意的是，連續信號需進行時域采樣后方可應用該軟件求解卷積。

對上述六類方法的匯總如表1所示，其中包括了各方法的主要適用場景和優缺點。

此外，對上述主要方法總結繪制其思維導圖如圖1所示。

3 舉例及方法對比

以下通過有代表性的實例詳細闡述連續信號卷積的各類方法實施步驟，并進行比較。參與卷積的信號分別是圖2（a） 所示信號[et=G-12， 1t=ut+12-ut-1]和圖2（b） 所示的信號[ht=t2G0， 2t=t2ut-ut-2=12rt-12rt-2-ut-2][6]。

1） 定義式求解法

在使用定義式求解之前，首先分析兩信號的特點：它們均為有限持續的連續信號，但持續時間不同，因此卷積過程可分為5個階段。（注：此結論適用于任意兩個持續時間不同的有限時長連續信號的卷積，即需分為5個區間分析卷積結果。）

[et×ht=-∞+∞et-τhτdτ=-∞+∞ut-τ+12-ut-τ-1×τ2uτ-uτ-2dτ=0，t≤-120t+12τ2dτ=t+1224，-12lt;t≤1t-1t+12τ2dτ=34t-14，1lt;t≤32t-12τ2dτ=-t24+t2+34，32lt;t≤30，3lt;t]

上述求解過程中關鍵點是根據矩形脈沖信號的起止時刻確定積分的分段區間，本例中的積分運算較簡單，本方法是可選的。但部分信號的卷積過程可能涉及到分部積分法，過程較復雜。

2） 圖解法

連續信號卷積的圖解法步驟如下所示[6]。

步驟1：將信號的時間變量[t]更換成[τ]，得到[eτ]和[hτ]，如圖2（a）和圖2（b）所示。

步驟2：對參與卷積運算的信號之一進行時域翻轉，本例中，選擇將信號[hτ]翻轉成[h-τ]，如圖2（c）所示。

步驟3：將翻轉后的信號[h-τ]平移[t]（[tgt;0]時右移，[tlt;0]時左移） ，得到信號[ht-τ]，如圖2 （d）所示。

步驟4：信號[ht-τ]和[eτ]相乘后，對時間變量[τ]進行積分，得卷積結果，如圖3所示。

在本例中，根據參與卷積的信號起止時刻點可分為如下5個區間。

（1） 當[t≤-12]時，如3 （a）所示， 由于兩信號無重疊區間，使得[et×ht=0]。

（2） 當[-12lt;t≤1]時，如圖3 （b）所示， 由于信號[ht-τ]的前端與信號[eτ]在區間[-12， t]重疊，使得[et×ht=14t+122]，下面是圖解法的詳細計算過程。

本階段可視作求解圖中重合區域的面積（由于信號[eτ]的幅度是1，此題的重合區域已是相乘后的信號） 。

[ht=t2G0，2t，ht-τ=t-τ2G0，2t-τht-ττ=-12×t+12×12=t+122×t+12×12" " " " "=14t+122]

在本區間內，卷積后的信號是拋物線。

（3） 當[1lt;t≤32]時，如圖3 （c）所示， 由于信號[ht-τ]的前端與信號[eτ]在區間[-12， 1]重疊，使得[et×ht=34t-14]，下面是本階段圖解法詳細計算過程。

本階段可視作求解圖中重合區域的面積（由于信號[eτ]的幅度是1，此題的重合區域已是相乘后的信號） 。

[ht=t2G0，2t，ht-τ=t-τ2G0，2t-τht-ττ=-12+ht-ττ=1×32×12=t+122+t-12×34=34t-14]

在本區間內，卷積后信號是直線。

（4） 當[32lt;tlt;3]時，如圖3（d）所示， 由于信號[ht-τ]的后端與信號[eτ]在區間[t-2， 1]重疊，使得[et×ht=-t24+t2+34]，下面是本階段圖解法詳細結算過程。

本題可視作求解圖中重合區域的面積（由于信號[eτ]的幅度是1，此題的重合區域已是相乘后的信號） 。

[ht=t2G0，2t，ht-τ=t-τ2G0，2t-τ1-ht-ττ=1×t-1×12=1-t-12t-1×12=1-14t-12=-14t2+t2+34]

在本區間內，卷積后信號仍是拋物線。

（5） 當[t≥3]時，如圖3（e）所示， 由于兩波形再次無重疊區間，使得[et×ht=0]。

卷積圖解法的難點在于根據信號特點劃分區間，并討論分類情況。在某個區間內，加權后信號的積分可直接通過信號波形求解其圍成的面積。該方法也僅限于在“簡單”信號（即信號形式較為簡單的信號） 的卷積求解中應用，翻轉且平移的信號一般選擇形式較簡單的信號。

3） 利用卷積的時域平移性質求解

為應用卷積的平移性質，首先定義信號[gt]為單位階躍信號和單位斜變信號（[rt=tut]） 的卷積：

[gt=ut×rt=-∞+∞ut-τrτdτ=0tτdτut=t22ut]" " " " " " " （2）

因此本例中兩信號卷積可寫作：

[et×ht=ut+12-ut-1×12rt-12rt-2-ut-2=12gt+12-12gt-32-rt-32-12gt-1+12gt-3+rt-3]

從上述步驟可以看出該方法簡單易實現，避免了分段區間的討論。該方法是卷積求解中優先選擇的方法之一，其優勢是以簡單的信號卷積為基礎，僅通過平移即可求解一般信號的卷積。

4） 利用卷積的微積分性質求解

由于本例中兩信號分別為矩形脈沖信號和分段線性信號，因此可考慮應用卷積的微積分性質求解（注：該例題滿足卷積的微積分性質的應用前提，可直接使用） 。根據該性質上述卷積可寫作：

[et×ht=ut+12-ut-1'×12rt-12rt-2-ut-2-1=δt+12-δt-1×-∞thτdτ]

其中：

[pt=-∞thτdτ=0tτ2dτ=t24，0≤tlt;202τ2dτ=1，2≤t=t24ut-ut-2+ut-2=12gt-t-22+4t-2+44ut-2+ut-2=12gt-12gt-2-rt-2]

因此：

[et×ht=pt+12-pt-1=12gt+12-12gt-32-rt-32-12gt-1+12gt-3+rt-3]

可見，該方法的結論和方法4是一致的。

5） 基于傅里葉變換的方法

首先，此例題中需要用到單位斜變信號的傅里葉變換以及拋物線信號的傅里葉變換，利用傅里葉變換的時域卷積性質，結論如下所示。

[rt?Rjω=-1ω2+jπδ'ωgt=ut×rt=t22ut?Gjω=1jω+πδω×-1ω2+jπδ'ω]

進而，針對本例中兩信號的卷積，可使用傅里葉變換求解，具體如下：

[et=ut+12-ut-1?Ejω=1jω+πδωej12ω-e-jωht=12rt-12rt-2-ut-2?12-1ω2+jπδ'ω1-e-j2ω-1jω+πδωe-j2ωEjωHjω=1jω+πδωej12ω-e-jω×12-1ω2+jπδ'ω1-e-j2ω-1jω+πδωe-j2ω=121jω+πδω-1ω2+jπδ'ωej12ω-e-j32ω-e-jω+e-j3ω-1jω+πδω1jω+πδωe-j32ω-e-j3ωet×ht=12gt+12-12gt-32-12gt-1+12gt-3-rt-32+rt-3]

通過上述結果可發現此方法較復雜，原因是階躍信號以及斜變信號、因果拋物線信號等信號的傅里葉變換較復雜，求解逆變換的過程煩瑣。但此方法是卷積運算在時域和頻域的統一，也是可以選擇的一類方法。

6） 基于拉普拉斯變換的方法

由于參與卷積運算的一個信號不是因果的，因此應用雙邊拉普拉斯變換，對上述兩信號分別求解，在s域中相乘，再根據收斂域進行逆變換，本例中兩信號均為時間有限信號，因此其拉普拉斯變換的收斂域均為整個復平面。

[et=ut+12-ut-1?Es=e12s-e-ss]

[ht=12rt-12rt-2-ut-2?Hs=121-e-2ss2-e-2ss=1-e-2s-2se-2s2s2]

[EsHs=e12s-e-ss×1-e-2s-2se-2s2s2=e12s-e-32s-2se-32s-e-s+e-3s+2se-3s2s3gt=t2ut2?1s3，Resgt;0et×ht=12gt+12-12gt-32-rt-32-12gt-1+12gt-3+rt-3]

通過上述結果可發現此方法和時域的性質方法是類似的，這是卷積運算在時域和復頻域的統一。

7） Matlab求解方法

針對本例，其卷積的實現代碼如下所示。

t=-1：0.001：3;

e=（tgt;=-0.5amp;tlt;=1）;

h=0.5*t.*（tgt;=0amp;tlt;=2）;

t0=-2：0.001：6;

f=0.001*conv（e，h）;

subplot（3，1，1）;

axis（[-2 6 -0.1 1.1]）;

hold on;

plot（t，e）;

subplot（3，1，2）;

axis（[-2 6 -0.1 1.1]）;

hold on;

plot（t，h）;

subplot（3，1，3）;

plot（t0，f）;

axis（[-2 6 -0.1 1.1]）;

原信號以及卷積后信號的波形圖如圖4所示。

通過上述過程可知，本例計算較為復雜，特別是公式定義法、圖解法和基于傅里葉變換的三類方法并不是最佳選擇，推薦應用卷積的性質方法或在復頻域中進行求解。此外，根據上述求解過程可以看出，卷積的時域性質求解與變換域中的性質是統一的。連續信號卷積的時移方法對應的是變換域中的時移性質；連續信號卷積的微積分方法對應的是變換域中的時域微分和積分性質。同時需注意的是有限持續時間連續信號的卷積，其卷積后的信號具備以下特點：1） 時間起止點是參與信號卷積的兩信號起止點的疊加；2） 卷積后信號的非零持續時間長度不超過參與卷積的兩信號持續時間之和。而在信號移動過程中，卷積過程究竟分割為幾個區間要視具體情況而定，一般的，若兩個有限持續時間信號的持續時間不同，則應分割為5個區間，若兩者時長相等，則卷積被分割為3個區間。

4 結論

連續信號的卷積不僅是信號與系統課程的重要知識點，還廣泛應用于語音信號處理、數字圖像處理和人工智能等領域，卷積的概念、性質、計算及應用是后續課程的學習基礎。通過梳理連續信號卷積的計算方法，可以加深對其本質的理解，并掌握多角度解決問題的方法，為后續學習奠定基礎。

參考文獻：

[1] 何其銳，唐普英，吳援明，等.卷積性質綜合訓練的探討[J].電氣電子教學學報，2015，37（2）：100-102.

[2] 任蕾，金欣磊，薄華，等.信號卷積的計算方法總結[J]. 電氣電子教學學報， 2020，42（4）：100-105.

[3] 文靜.信號與系統課程中卷積運算的教學方法探討[J]. 大學教育， 2020（8）：71-73.

[4] 許可，辛勤，李雙勛，等. 利用 PD 雷達脈沖壓縮實例講解分段卷積[J]. 電氣電子教學學報， 2022，44（3）：127-129.

[5] 曾金芳，曾以成.“信號與系統”中卷積運算的案例教學法[J]. 電氣電子教學學報，2023，45（2）：160-163.

[6] 任蕾，楊忠根，薄華，等. 信號與系統[M]. 北京： 清華大學出版社， 2021：50-51.

【通聯編輯：王 力】