基于貝塞爾曲線的“板凳龍”龍頭最大前進速度的研究

2025-07-20 00:00:00王帥王芳

電腦知識與技術 2025年17期

摘要：文章建立了貝塞爾曲線路徑優化模型，利用Python編程計算“板凳龍”龍頭的最大前進速度，使得舞龍隊各把手的速度均不超過2 m/s。首先，從速度與路徑曲率的關系和節點速度的約束條件建立數學模型；其次對已經建立好的數學模型進行優化，利用曲率自適應速度模型和多質點系統與彈簧—阻尼模型，可求得龍頭的最大前進速度是1 m/s；最后，利用貝塞爾曲線進一步優化了掉頭路徑的平滑性，使得龍頭能夠以1.5 m/s順利完成掉頭，確保所有節點的速度不超過2 m/s。通過貝塞爾曲線路徑優化模型提高了“盤龍”的可觀賞性。

關鍵詞：貝塞爾曲線；路徑曲率；掉頭路徑；路徑優化模型

中圖分類號：TP311" " " 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）17-0048-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

0 引言

在我國浙江和福建等地區，有這樣的傳統民俗活動——將幾十條甚至幾百條板凳連接在一起形成一條蜿蜒曲折、氣勢磅礴的板凳龍，隨后人們按照螺旋狀從龍頭到龍身再到龍尾進行盤龍，從而呈現出良好的視覺效果，此外，盤龍過程中人們的行進速度越快并且呈現聚集程度越緊湊，則帶給觀眾的體驗感越好。

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圖1 龍頭的俯視圖

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圖2" 龍身和龍尾的俯視圖

某板凳龍共由223節板凳首尾相連而成，其中龍頭（如圖1所示）是第1節，后面221節形成龍身，龍尾為最后1節。所有板凳均為30 m寬，龍頭長341 m，而龍身和龍尾（如圖2所示）的長度均為220 [m]。每節板凳上都有兩個孔，孔徑為5.5 m，孔中心距離最近的板頭27.5 m。相鄰的兩節板凳通過把手相連（如圖3所示）。

“板凳龍”，又稱“盤龍”，舞龍隊要在有限空間內進行表演，沿著設定的路徑行進，要求龍頭保持恒定速度，且在掉頭過程中舞龍隊的各個節點（包括龍頭、龍尾及龍身各節板凳）的速度不能超過2 m/s。本文的目標就是確定這個過程中龍頭的最大行進速度，使得所有節點的速度均不超過2 m/s，求解這個問題。

1 貝賽爾曲線（Bézier）簡介

1.1 貝賽爾曲線概述

貝塞爾曲線（如圖4所示）是一類別具一格的曲線。任意給出四個點的坐標，它都能夠精準勾勒出一條極為順滑的曲線?；仡櫰浒l展軌跡，早期鉆研貝塞爾曲線的學者，采取的是從已知曲線的參數方程入手，逆向推導出四個特定點位置的方式，進而構思出了這種獨特的矢量曲線繪制手段。貝塞爾曲線格外引人注目的原因，在于其獨有的“皮筋效應”。簡單來說，當這些點依照特定規則移動時，曲線就像被皮筋拉扯一般，會發生相應的形變，進而產生強烈的視覺震撼效果。1962年，法國杰出數學家Pierre Bézier首次對這種矢量曲線繪制方法展開全面且深入的研究，并且給出了詳細的計算表達式。也正因如此，按照該公式繪制而成的曲線，便以他的姓氏來命名，也就是貝塞爾曲線。

1.2 貝賽爾曲線公式

1）線性公式。

若給定兩個點[P0]與[P1]，連接[P0]與[P1]構成一條直線，這條直線即為線性貝賽爾曲線。這條直線可通過以下公式得出[1-6]：

[B（t）=P0+（P1-P0）t=（1-t）P0+tP1，t∈[0，1]] （1）

且其等同于線性插值。

2）二次方公式。

二次方貝賽爾曲線的軌跡，是依據給定的點[P0]、[P1]、[P2]，通過特定的函數[B（t）]的運算而確定并描繪出來的[7-9]：

[Bt=（1-t）2P0+2t（1-t）P1+t2P2，t∈[0，1]] （2）

TrueType字形采用了由貝茲樣條構建的二次貝塞爾曲線，以此來實現字體輪廓的精確塑造。

3）三次方公式。

在平面或三維平面里，[P0]、[P1]、[P2]、[P3]這四個點界定出了三次方貝茲曲線。該曲線從[P0]起始，朝著[P1]的方向延伸，隨后又受[P2]的影響，最終抵達[P3]。需要注意的是，這條曲線通常不會直接穿過[P1]與[P2]，這兩點存在的意義主要是為曲線的走向提供方向指引。而[P0]和[P1]之間的距離遠近，會對曲線在轉向趨近最終目標前，沿起始方向延展的“距離長短”起到決定性作用。

曲線的參數形式為：

[B（t）=P0（1-t）3+3P1t（1-t）2+3P2t2（1-t）+P3t3，t∈[0，1]] （3）

PostScript、Asymptote和Metafont等現代成像系統，借助由貝賽爾樣條構建的三次貝賽爾曲線，實現對曲線輪廓的精準描繪。

4）一般參數公式。

[n]階貝賽爾曲線可按如下方式推導得出。設有給定的點[P0]、[P1]、...、[Pn]，那么由這些點所確定的貝賽爾曲線即為：

[B（t）=i=0nniPi（1-t）n-iti]

[=n0P0（1-t）n-1t1+...+nn-1Pn-1（1-t）1tn-1+nnPn（1-t）0tn，t∈[0，1]] （4）

上述公式能夠以遞歸形式表述為：可由點[P0]、[P1]、...、[Pn]所確定出的貝賽爾曲線。

2 問題分析

本文基于高階貝塞爾曲線通過數學建模和幾何優化，解決舞龍隊在盤入、掉頭及盤出過程中的路徑設計與速度控制問題（如圖5所示）。

首先需要建立舞龍隊各節點的運動模型，并計算在不同路徑和位置下的速度變化。由于舞龍隊的運動受路徑曲率的影響，尤其是在掉頭區域，速度的變化會隨曲率的變化而發生變化。因此，建立模型的核心在于確定路徑上各節點速度與龍頭速度之間的關系，并找到滿足速度限制的龍頭最大速度。

在實際生活中，龍頭的速度要始終保持在1 [m/s]的速度會極大程度的降低舞龍的觀賞性，于是本文對龍頭掉頭盤出的路徑進行優化，建立新的模型以提高龍頭前進的速度，提高舞龍的觀賞性。為了進一步優化舞龍隊的掉頭路徑，并在保持速度限制的前提下提高龍頭的最大速度，本文采用更高階的貝塞爾曲線。通過增加控制點，使路徑的曲率變化更加平滑，從而減少節點在路徑上急轉彎時的速度波動。

本文通過貝塞爾曲線設計并優化了掉頭路徑，確定了在保證舞龍隊所有節點速度不超過2[ m/s]的前提下，龍頭的最大行進速度。結果表明，使用更高階的貝塞爾曲線可以顯著改善路徑的平滑性，并且提高了整體運動的效率。

3 模型的建立

3.1 利用速度與路徑曲率數學模型求解龍頭最大前進速度

本文在進行模型建立的過程中需要明確以下兩點：

1）速度與路徑曲率的關系。

在舞龍隊行進過程中，各節點的速度與路徑曲率[k]相關。路徑的曲率[k]是路徑形狀變化的度量，它決定了不同路徑段上節點的加速或減速情況。曲率的定義為[10-11]：

[k=1r] （5）

式中：[r]是路徑半徑。在掉頭區域，舞龍隊沿著兩段圓弧路徑行進，路徑曲率由圓弧的半徑決定。半徑越小，曲率越大，節點的速度變化越明顯。因此，在路徑半徑較小的區域，如掉頭區域，速度會受到較大限制。

假設龍頭以速度[vhead]行進，則根據路徑的曲率變化，龍尾和各個節點的速度[vi]可以表示為[12]：

[vi=vhead×rheadri] （6）

式中：[vhead]是龍頭所在路徑段的半徑，[ri]是其他節點所在路徑段的半徑。為了滿足節點速度不超過2[ m/s]的條件，本文根據各節點所在路徑的半徑，確定龍頭的最大速度[vmax]。

2）節點速度的約束條件。

最大速度限制：根據題目要求，舞龍隊各節點的速度不能超過2 m/s，因此可以建立以下約束條件：

[vnode≤2 m/s] （7）

圓弧半徑的影響：圓弧路徑中，龍尾和龍身的節點速度受路徑半徑的影響較大，特別是在小半徑圓弧處，速度增長較快。因此，在模型中，本文特別關注這些節點的速度變化情況。

3.1.1 分段計算節點速度

根據圓弧半徑設定，掉頭路徑由兩段圓弧組成（如圖6所示）。

第一段圓弧的半徑[r1=0.2 m]；

第二段圓弧的半徑[r2=0.1 m]。

本文首先計算龍頭在不同路徑段的行進速度，然后根據各節點的相對位置，計算其速度變化。通過這些計算，找到滿足所有節點速度不超過2[ m/s]的最大龍頭速度。

3.1.2 最大龍頭速度的確定

為了保證所有節點的速度不超過2[ m/s]，本文對龍頭速度進行限制。對于每個節點[i]，有以下關系式：

[vi=vhead×rheadri] （8）

式中：[vhead]和[ri]分別為龍頭和節點所在路徑段的半徑。為了確保[vi≤2 m/s]，本文通過遍歷各節點的速度計算，確定[vhead]的最大值。

假設龍頭的路徑半徑為[rhead=0.2 m]，而在掉頭過程中各節點的路徑半徑分布為：

[r1=0.2 m]；

[r51=0.2 m]；

[r101=0.2 m]；

[r151=0.2 m]；

[r201=0.2 m]；

[rtail=0.1 m]。

為了確保所有節點的速度不超過2[ m/s]，最關鍵的是確定半徑最小的節點——也就是在半徑為0.1 [m]的節點（如[r101]、[rtail]）的速度不超過2[ m/s]。本文根據速度與半徑的關系，龍頭的速度與節點速度通過如下公式：

[vnode=vhead×rheadrnode] （9）

所以，節點的速度限制為：

[vhead×0.20.1≤2 m/s] （10）

解得龍頭的最大速度：

[vhead≤1 m/s] （11）

因此，龍頭的最大行進速度為1[ m/s]，才能確保所有節點的速度不超過2[ m/s]。

3.2 基于貝賽爾曲線對龍頭最大前進速度的優化

在實際生活中，龍頭的速度要始終保持在1的速度會極大程度的堅守舞龍的觀賞性，于是本文對龍頭掉頭盤出的路徑進行優化，建立新的模型以提好龍頭前進的速度，提高舞龍的觀賞性。

為了進一步優化舞龍隊的掉頭路徑，并在保持速度限制的前提下提高龍頭的最大速度，本文采用更高階的貝塞爾曲線。通過增加控制點，使路徑的曲率變化更加平滑，從而減少節點在路徑上急轉彎時的速度波動[13-14]。

高階貝塞爾曲線的定義與三次貝塞爾曲線類似，只是控制點的數量增加。對于[n]次貝塞爾曲線，它由[n +1]個控制點定義，其數學表達式為：

[B（t）=i=0nni（1-t）n-itiPi] （12）

式中：

[Pi]是第[i]個控制點；

[t]是參數，取值范圍為[0，1]，表示曲線的進程；

[ni]是二項式系數。

通過增加控制點的數量，可以進一步調整路徑的形狀，使掉頭路徑更加精確，減少急轉彎處的曲率變化。

3.2.1 控制點選擇

為了設計一個更靈活的路徑，本文使用五次貝塞爾曲線，需要6個控制點[15]?？刂泣c按照以下方式設置：

1）起點[P0]：龍頭進入掉頭路徑時的位置。

2）終點[P5]：龍頭完成掉頭后進入盤出螺線的位置。

3）中間的四個控制點[P1]、[P2]、[P3]、[P4]用于靈活調整曲線的形狀，使路徑的曲率更加平滑。

3.2.2 控制點的選擇邏輯

1） [P0]和[P5]固定為路徑的起點和終點。

2） [P1]和[P4]可以靠近[P0]和[P5]，用于控制曲線的初始和結束方向。

3） [P2]和[P3]放置在掉頭路徑的中間位置，調整它們可以控制曲線中間部分的形狀，平滑路徑的曲率。

3.2.3 優化目標

通過調整[P1]、[P2]、[P3]、[P4]的位置，優化掉頭路徑的曲率分布，使得路徑的最大曲率盡可能小，龍頭的速度可以更快，同時所有節點的速度保持在2[ m/s]以內。

最后借助Python代碼實現五次貝塞爾曲線，本文通過增加控制點的方式來優化掉頭路徑，經過多次模型檢驗得出龍頭的最大前進速度可以達到1.5[ m/s]，這極大地增加了整個舞龍隊在舞龍過程中的觀賞性。

4 結論

本文借助五次貝塞爾曲線，成功地將掉頭路徑的曲率變化控制在合理范圍內，使得路徑在掉頭過程中更加平滑，龍頭的最大行進速度從1[ m/s]提高到了1.5[ m/s]，極大程度地提高了“盤龍”的可觀賞性除此之外，貝塞爾曲線的應用不僅適用于舞龍隊的掉頭路徑設計，也可被推廣到其他需要復雜路徑設計的表演或行進任務中。

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