盤點新概念背景下的各種距離問題

2025-07-30 00:00:00張宇楊沛娟

高中數理化 2025年13期

本文系統介紹歐幾里得距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離等多種距離概念，詳細闡述它們的基本原理，并通過豐富的例題展示其在幾何、函數最值等領域的應用.這些距離概念不僅拓展了數學研究的范疇，還具有廣泛的應用價值，為解決各類問題提供了有利工具.

1引言

距離概念在數學發展進程中不斷演變與拓展.從經典的歐幾里得距離出發，隨著數學理論及實際應用需求的增長，涌現出一系列距離概念.這些距離概念在數學的不同分支，如泛函分析、計算機科學、物理學、地理學等眾多學科中扮演著至關重要的角色.深入剖析這些距離概念，對于理解數學結構的本質、解決實際問題以及推動跨學科研究具有深遠意義.

2各種距離概念及其應用

2.1 歐幾里得距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點間的歐幾里得距離在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁，y₂，…，y_n）兩點間的歐幾里得距離

它基于勾股定理，是傳統幾何中兩點間距離的量化.

例1 已知實數 x，y 滿足 x²+y²=4 ，求的最小值.

由 x²+y²=4 ，可得

則原式等價于

其幾何意義為圓 x²+y²=4 上的點 P（x，y）到點

A（4，0）與 B（0，1）的距離之和.根據兩點之間線段最短可得 ∣PA∣+∣PB∣?∣AB∣ .又，當點 P 為線段 AB 與圓 x²+y²=4 的交點時，取得最小值

本題巧妙地將代數表達式轉化為歐幾里得距離形式，借助圓和兩點間距離的幾何性質求解最值，充分體現了歐幾里得距離在處理最值問題時直觀、有效的特點.

2. 2 曼哈頓距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點間的曼哈頓距離 d（A，B）=∣x₂-x₁∣+∣y₂-y₁∣ .在 n 維空間中，兩點間的曼哈頓距離 .曼哈頓距離適用于網格狀空間，它反映了沿坐標軸方向移動時兩點間的路徑長度.

例2已知點 P（x，y）在圓（x-2）²+y²=1 上，點 Q（m，n）在直線 2x+y-5=0 上，定義兩點間的曼哈頓距離 d（P，Q）=∣x-m∣+∣y-n∣ ，求 d（P，Q）（204號的最小值.

由已知易得直線與圓相交，這意味著在圓上沂存在點 P（x，y），同時該點也在直線 2x+ 上（即直線與圓的交點）.

對于在直線 2x+y-5=0 上的點 Q（m，n），當 Q 取直線與圓的交點時，點 P 與點 Q 重合，即 x=m 且y=n .當 x=m 且 y=n 時， d（P，Q）=∣m-m∣+ ∣n-n∣=0. 直線 2x+y-5=0 與圓（x-2）²+y²=1 相交，存在點 P 與點 Q 重合的情況，所以兩點間曼哈頓距離 d（P，Q）的最小值為0.

該解析思路清晰，先判斷直線與圓相交得出點 P 與點 Q 重合的結論，再結合曼哈頓距離的定義推導出最小值.

2.3 切比雪夫距離

在二維平面中， A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點間的切比雪夫距離 d（A，B）=max{∣x₂-x₁∣，∣y₂-y₁∣} .在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁， y₂，…，y_n）兩點間的切比雪夫距離 d（X，Y）= max_1?i?n{∣y_i-x_i∣} .切比雪夫距離著重考慮各維度差值中的最大值，用于衡量多維度數據差異.

例3已知 A（1，2），B（3，4），C（5，1），求點 A 到線段 BC （包含端點）上的點的切比雪夫距離的最小值.

設線段 BC 上的點為 P（x，y），根據兩點間的切比雪夫距離公式可得

d（A，P）=max{∣x-1∣，∣y-2∣}.

先求出線段 BC 的方程，由兩點式可得 .即 3x+2y=17 ，所以，則

當時，兩邊平方得（x-1）²? （13-3）2，解不等式得3≤≤11，則3≤≤5，此時d（A，P）=|x-1| ，在 x=3 處取得最小值2.

當時，同理可得 xlt;3 或 11，與 3?x?5 矛盾.

綜上，點 A 到線段 BC （包含端點）上的點的切比雪夫距離的最小值為2.

本題將切比雪夫距離與線段上的點相結合，通過建立距離表達式并分類討論求得最小

值.在解題的過程中需要綜合運用切比雪夫距離、線段方程以及不等式等知識.

2.4閔可夫斯基距離

在 n 維空間中， X（x₁，x₂，…，x_n），Y（y₁，y₂，…， y_n ）兩點間的閔可夫斯基距離

其中當 p=1 時，其為曼哈頓距離；當 p=2 時，其為歐幾里得距離；當時，其為切比雪夫距離.閔可夫斯基距離是一種廣義的距離度量，通過參數 Σ_P 的變化統一了多種常見距離形式.

例4閔可夫斯基距離是衡量數值點之間距離的常見方法，設點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），閔可夫斯基距離 N^* ）.若點 A，B 分別在 y=e^x 和 y=x-1 的圖像上，求 D_ρ（A，B）的最小值.

設，則

（（20

設， h（x）=x-e^x-1 h^′（x）=1-e^x .令 h^′（x）gt;0 ，得 xlt;0 ；令 h^′（x）lt;0 得 xgt;0 ，所以 h（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（O，+∞ ）上單調遞減，，即 h（x）? -2 ，則

故 D_ρ（A，B）的最小值為

本題通過閔可夫斯基距離構建函數關系，利用導數研究函數單調性來求解最值，充分展

示了閔可夫斯基距離作為一種廣義距離度量的靈活性和強大功能.

2.5 豪斯多夫距離

在歐氏空間中，對于兩個點集 A={a₁ ， a2，… |a_n} 和 B={b₁，b₂，…，b_n} ，豪斯多夫距離包括單向豪斯多夫距離和雙向豪斯多夫距離.單向豪斯多夫距離

（204號，表示點集 A 中的點到點集 B 中的點的最小距離的最大值；同理，有

雙向豪斯多夫距離

（20用于衡量兩個點集間的距離，反映了點集間的最大不匹配程度.

例5在平面直角坐標系 xOy 中，對于給定的點集 M，N ，若 M 中的每個點在 N 中都存在點使得兩點間的距離最小，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為 d（M，N） .已知橢圓 c 0 （agt;bgt;0）的離心率為，其短軸上的點的集合記為 M ，橢圓 C 上的點的集合記為 N ，且 d（M，N）=1

（1）求橢圓 C 的方程.

（2）已知直線 ξ_l 與橢圓 C 相切，且與圓 O：x²+ y²=16 交于 A，B 兩點，線段 AB 上的點的集合記為G ，圓 o 上的點的集合記為 H

（i）若點 P 為圓 O 上的一個動點，當△PAB的面積最大時，求 d（G，H）：

（ii）求 d（G，H）+d（H，G）的值.

（求解過程略）.

（2）（i）依據幾何性質，當 ΔPAB 面積最大時，∣AB∣ 確定，此時直線 l 與橢圓相切且盡可能靠近圓 O 的圓心.設切點為 Q ，連接 OQ ， OA ，因為直線 l 與橢圓相切，所以 OQ⊥l .利用橢圓的參數方程設切點，則切線 ξ_l 的斜率為根據點斜式可寫出切線 ξ_l 的方程，由點到直線的距離公式求出圓心 O 到直線 ξ_l 的距離，進而得到 d（G，H）=2