兩條曲線上動點距離最值問題探究

當兩個動點分別位于兩條曲線上時，如何求這兩個動點的最短距離呢？本文先探究一個引例.

引例中國著名數學家華羅庚曾說\"數缺形時少直觀，形少數時難人微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.\"事實上，很多代數問題都可以轉化為幾何問題解決，如與 相關的代數問題可以轉化為點 （x，y） 與點 （a，b） 之間的距離的幾何問題.已知 Ω_t，θ∈R ，則 的最小值為

解析

可轉化為 ，其幾何意義是點 （t，t²） 與點 （3+cosθ，sinθ） 的距離，其中 Ω（Ω_t t² ）可以看成 y=x² 的圖像上一點， （3+cosθ，sinθ） 可以看成圓 （x-3）²+y²=1 上一點，則原問題轉化為 y=x² 圖像上的點到圓心（3，0）的最短距離減去半徑.

易知點 Ω（Ω_t，Ω_t² ）到圓心（3，0）的距離為

令 f（t）=t⁴+t²-6t+9 ，則 f^′（t）=4t³+2t-6

令 g（t）=4t³+2t-6 ，則 g^′（t）=12t²+2gt;0 ，故 f^′（t） 單調遞增，且 f^′（1）=0 ，當 tlt;1 時， f^′（t）lt;0 f（t） 單調遞減；當 tgt;1 時， f^′（t）gt;0，f（t） 單調遞 增，則

f_min（t）=f（1）=1+1-6+9=5，

故 的最小值為 本題將目標函數轉化為拋物線上的點到圓上的點的距離最小值問題，借助圓心到拋物線上的點的距離最小值求解.這種解法既體現了函數思想，即代數法，又體現了數形結合思想，即幾何法.由此可見，求解兩曲線上動點距離的最值問題一般有兩種思想方法：函數思想和數形結合思想.

1 函數思想

這里的函數思想，是指借助兩點間距離公式，建立目標函數，進而利用導數求出該函數的最值，即兩動點之間距離的最值，這種思想方法側重于代數運算，所以也稱為代數法.

例1若直線 y=b 分別與曲線 y=e^x+2 ， y= ln x-2 交于 A，B 兩點，則線段 AB 長度的最小值為

設 A（x₁，b），B（x₂，b） ，則 ，故 （204號

設 ，則 f^′（x）= .令g（x）=f'（x），則g'（x）=e+2+- 所以 f^′（x） 在 （0，+∞） 上單調遞增，且當 時，f^′（x）-∞ f^′（1）=e³-1gt;0 ，故在（0，1）上存在x₀ 使得 f^′（x₀）=0 ，即 ，故 .當 x∈（0，x₀） 時， f^′（x）lt;0，f（x） 單調遞減；當 x∈（x₀，+∞） 時， f^′（x）gt;0，f（x） 單調遞增，故f（x） 有最小值 4，其中l ₁x₀+x₀+2=0

本題將線段 AB 長度的最小值問題轉化為函數 的最小值問題，重點考查導數的應用.

例2已知點 是函數 y=e^x 圖像上任意一點，點 Q 是曲線 （x-e⁴-2）²+y²=1 上一點，則P，Q 兩點之間距離的最小值是

曲線 （x-e⁴-2）²+y²=1 表示圓心為D（e⁴+2，0） 、半徑為 r=1 的圓，則

令 f（x）=（x-e⁴-2）²+e^2x ，則

f^′（x）=2（x-e⁴-2）+2e^2x.

令 g（x）=f^′（x）=2（x-e⁴-2）+2e^2x ，則 g^′（x）=2+4e^2xgt;0 ，所以 g（x） 單調遞增.

又 g（2）=0 ，當 xlt;2 時， g（x）lt;0 ，即 f^′（x）lt;0 故 f（x） 單調遞減；當 xgt;2 時， g（x）gt;0 ，即 f^′（x）gt; 0，故 f（x） 單調遞增，所以 f（x） 在 x=2 處取得最小值 f_min（x）=f（2）=e⁸+e⁴ ，則 故

若兩條曲線中一條為圓，則這類問題一般化歸為圓心（定點）到另一條曲線上的點（動點）之間的距離問題.

2數形結合思想

當兩條曲線比較特殊，且直接建立函數關系比較困難時，可以根據兩條曲線之間的特殊關系或圖形的性質，采用數形結合思想處理問題

例3 已知 a，b，c 滿足 Φ_cgt;0 ，則車 的最小值為

解析

點 （b，b） 的距離， 表示點 到點 （b，b） 的距離， （a，e^a） 是 y=e^x 上的點， 是 上的點， （b，b） 是 y=x 上的點，且 y=e^x 與 關于直線 y=x 對稱，所以 的最小值可轉化為 y=e^x 圖像上的動點與 圖像上的動點的最短距離.如圖1所示，設直線 l₁ （與直線y=x 平行）與 y=e^x 相切于點 M ，直線 l₂ （與直線y=x 平行）與 相切于點 N ，則 $＼mid M N ＼rrangle$ 1為題設所求.

對于 y=e^x ，設點 M（x₁，y₁） ，則 y^′=e^x ， 故 x₁=0 ，所以 y₁=e⁰=1 ，故 M（0，1）

對于 ，設點 N（x_：，y_：） ，則 1，故 x₂=1 ，所以 ，故 N（1，0）

綜上， ，故 的最小值為

本題涉及的兩條曲線對應的函數互為反函數，它們的圖像關于直線 y=x 對稱，所以原可轉化為兩條平行線間的距離.

例4已知 a，b 滿足 agt;0 ， bgt;0 ，則 的最小值為

記

，如圖2所示，則 T=∣PQ∣+ |QH|=|PQ|+|QG|-1=|PQ|+|QF|-1 故只需求拋物線 x²=4y 上的點 Q 到定點 F（0，1） 與 y= 上的點 P 的距離之和的最小值.易知 ∣PQ∣+ |QF|-1?|PF|-1 ，當且僅當 P，Q，F 三點共線時，等號成立.

令 ，則

由于 單調遞增，則 a=1 是 f^′（a） 的唯一零點，故 f（a） 在（0，1）上單調遞減，在 （1，+∞） 上單調遞增，則 f（a）?f（1）=2 ，即 ∣PF∣ 的最小值為 ，則 ，當且僅當 a=1，b=3- 時，等號成立，故 的最小值為

本題考查了利用幾何法求代數式的最值，綜合拋物線的性質、兩點間的距離公式、數形結合思想、函數的應用，屬于難題.

兩條曲線上的動點距離最值問題主要考查導數的應用和數形結合思想，解題時需要綜合運用函數思想和數形結合思想，只不過側重點不同.因此，求解這類問題不但要注重代數式幾何意義的揭示和幾何性質的應用，更要重視函數思想和導數的應用.

（完）

高中教理化