初中數學動點圓最值問題的常見模型及解題方法研究

動點圓最值問題是中考數學中的常見壓軸題型，通常涉及一個或多個動點在圓上或圓內運動，要求找出某個量（距離、角度等）的最大值或最小值.解題過程中，學生須具備扎實的幾何基礎，還須具備較強的邏輯思維能力和空間想象能力，靈活運用隱圓最值模型、時鐘模型等常見模型找準思路[1].以下就具體的初中數學動點圓最值問題展開詳細敘述，

1 隱圓最值模型

例1如圖1，在邊長為 的等邊 ΔABC 上，點 D，E 分別是 BC，AC 上兩個動點，且 AE=CD 連接 BE，AD 相交于點 P ，求線段 CP 的最小值.

解析 因為 ΔABC 是等邊三角形，

所以 AB=BC=AC ，

∠ABD=∠BAC=∠BCE=60^°. （204號

因為 AE=CD ，

所以 BD=CE

所以 ΔABD?ΔBCE（SAS）

所以 ∠BAD=∠CBE 因為 ∠APE=∠BAD+∠ABE .所以 ∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC 所以 ∠APE=60^° ·所以點 P 的運動軌跡是以 O 為圓心， OA 為半

徑的圓弧，如圖2.連接 OC 交圓 O 于 N ，則 OC⊥AB 于點 F ，根

據圓周角定理可得 ∠AOB=120^° ∠OAF=30^° 所以 從而可知 OC=2OA=4 當點 P 與 N 重合時， CP 的值最小，最小值

解題點撥 隱圓最值模型是解決復雜的動點圓最值問題的有效方式，需要依據題目調整構造出一個圓，再利用圓的性質進行求解.定長對定角模型特征為兩條固定長度的線段、兩條線段之間的夾角固定，動點的運動軌跡是一個圓，其圓心位于定長線段的中垂線上，半徑由定長線段的一半和定角共同決定[2].解題思路是識別條件—構造輔助圓—利用圓的性質一求解答案.

2 時鐘模型

例2在給定的圖形中，線段AB是圓 O 的直徑， AB=4 ，點 C 位于 AB 的延長線上，且 BC=2 點P 是圓 O 上的一個動點，連接 PC ，并圍繞點 P 構造一個直角 ΔPCD ∠DCP=60^° ，連接 OD ，如圖3.求 OD 長度的最大值和最小值.

解析將 OC 繞點 c 順時針旋轉 60^° 得 CE ，且 ，連接 OE，ED ，可以證明 ΔOCE^′O ΔPCD ，如圖4.

由題及上述條件，可知 ΔPDC ΔOEC 為直角三角形.所以 ∠OEC=∠PDC=90^° 因為 ∠OCP=∠OCE-∠PCE 所以 ∠ECD=∠PCD-∠PCE 又因為 ∠OCE=∠PCD=60^° 所以 ∠OCP=∠ECD 因為 所以

所以

因為在 RtΔOEC 中， ：

在 ΔEOD 中， OE-ED

所以 OD 最大值為 ，最小值為

解題點撥 時鐘模型是常見的動點圓最值問題模型，涉及一個圓以及圓上的三個點，即定點 A 、定點 B 以及動點 P ，這三個點通過圓上的弧和弦相互連接，形成一個類似于時鐘表面的幾何圖形，解題的核心在于找到動點 P 在圓上運動時，到定點 A 和定點 B 距離之和／差的最小值或最大值.具體的解題步驟是分析題目條件一構造輔助線一利用圓的性質一應用三角函數一驗證答案.

3結語

初中數學中動點圓最值問題是一類既富有挑戰性又充滿趣味性的題型，主要考查的是學生問題轉化能力、數形結合思維與邏輯思考能力.從模型構建角度出發，依據題干信息和問題求解要求，選用合適的模型，包括隱圓最值模型、時鐘模型等，明確不同題目的內在邏輯，可幫助學生找到解決問題的整體思路，幫助學生更好地解決動點圓最值問題，也能進一步培養學生的問題意識和創新思維.在日常學習過程中，適時歸納總結模型與方法、積極練習與總結反思，將進一步完善知識體系，提升解題水平.

參考文獻：

[1]刁琴，石勇國.中考熱點題型“動點最值問題”的反思[J].數學通訊，2023（01）：50-51.

[2」袁勁松.善于挖掘“隱圓”，巧解最值問題J」.數理天地（初中版），2024（17）：38-39.