二元表達式最值與范圍的深度剖析

1引言

二元表達式的最值與范圍問題是高考的必考和熱點問題.解決二元表達式的最值與范圍問題主要有二元化一元的化歸思想和數形結合的方法.通過研究此類問題，學生能夠更好地理解如何將多變量條件化為單變量問題，從而利用函數性質和幾何圖形尋找解題思路.

2 二元化一元的化歸思想

一元函數是高中數學學習的主要函數類型，對于一元函數的最值和范圍問題，解決方法多種多樣.因此，若能將二元問題化為一元問題，即可將其轉變為熟悉的問題類型，從而輕松解決.

例1已知 xgt;0，ygt;0，x+3y+xy=9 ，則x+3y 的最小值為

解析如果所給的約束條件比較容易表示出其中的一個變量，這樣就可以利用二元化一元的方法來解決問題.

由 x+3y+xy=9 得 ，所以x+3y

當且僅當 ，即 y=1，x=3 時取等號，

所以 x+3y 的最小值為6.

化歸思想是一種非常重要的數學思想，通過將多元化為一元，達到化繁為簡的目的，從而解決問題.

3 數形結合思想

二元表達式從形式上看有兩個變量，這種結構與平面內點的坐標相對應，因此只要二元表達式具有某種幾何意義，就可以利用數形結合思想來解決問題.

3.1 線性表達式最值問題

當約束條件和目標函數是二元一次表達式時，這種在線性約束條件下求線性目標函數的最值問題稱為線性規劃問題.在解決線性規劃問題時，通常需要將變量的約束條件在平面上表示為一個區域，然后通過頂點法或直線移動法來尋找目標函數的最大值和最小值.

例2 已知變量 Ψ_x 和 y 滿足以下約束條件： 目標函數 z=3x-y 的取值范圍是，（ ）

（A） （C）[-1，6].

解析解這種類型的不等式時，首先要找出變量 x 和 的約束條件在平面上形成的可行區域.根據題目中的不等式可以將這些不等式在平面上表示出來，形成一個區域（圖1），代表滿足條件的所有可能的 x 和 y 的值.

為了便于分析，將 z=3x-y 轉化為直線方程的形式： _y=3x-z .在這個方程中，直線的斜率是3，而 z 的變化會影響這條直線在平面上的位置.當 z 增大時，直線整體向下平移；當 z 減小時，直線整體向上平移.在確定 z 的取值范圍時，需要找到這條直線與可行區域的邊界交點.當 z 取最大值時，直線 y =3x-z 會經過可行區域的一個頂點 A（2，0） ，此時z=3×2-0=6. 當 z 取最小值時，直線 _y=3x-z 會經過另一個頂點 ，此時 因此，目標函數 z=3x-y 的取值范圍為 .故（A）正確.

3.2 非線性表達式最值問題

當約束條件或目標函數不是二元一次表達式時，通常要考查約束條件和目標函數具有什么樣的幾何意義，然后通過數形結合的方法來解決問題

例3已知二元二次表達式 f（x，y）=x²+ y²-2x-4y ，設 x 和 y 滿足約束條件 x+y?4 且 x，y?0 ，求 f（x，y） 的最小值.

解析將 f（x，y）=x²+y²-2x-4y 進行配方，轉化為標準形式 f（x，y）=（x-1）²+（y-2）²-5. 由此可以看出，表達式的幾何意義是平面內的點到點（1，2）的距離的平方減去常數5.

由于不等式 x+y?4 表示的是直線 x+y=4 右上方第一象限的部分（包含第一象限內線段上的點），由圖2可知，可行域內的點到點（1，2）的最短距離為直線 x+y=4 上最近的點到（1，2）的距離.

點（1，2）到直線的距離可以由點到直線的距離公式求得，具體為d =

故 f（x，y） 的最小值為 d²-5=-4.5

4多元表達式最值問題

二元表達式的最值問題的解決方法可以遷移至多元（至少三個變量）表達式的最值問題.比如，先將多元表達式化為一元表達式，再進行求解.或者利用表達式的空間幾何意義，通過數形結合的方法求解（不再舉例）.

例4已知 x，y，z 為非負數，且滿足 ，求 的最值.，

解析解這種多元函數的條件最值問題時，通常是利用已知條件消去變量，將多元函數轉換為單一變量的函數求解.

根據已知條件，可以將方程組整理后消去 y 和z ，從而得到 和 z=2x-1. 代人目標函數后，得到 由于 x，y，z 非負數，因此x 的取值范圍為 0.5?x?1. 接著，分析一次函數_w=9x-6 的單調性，根據 x 在閉區間[0.5，1]上的變化，可以得出：當 x=0.5 時， w 取得最小值 w_min ；當 x=1 時， 取得最大值 w_max=3 .因此，目標函數 w 的最小值為 ，最大值為3.

5 結語

本文通過分析多種典型的二元表達式最值和范圍問題，總結了相關解題思路和方法.化歸思想和數形結合思想是解決此類問題的兩種基本思想.化歸思想是化多元為一元、化復雜為簡單的一種重要的數學思想；數形結合思想則反映了數學的兩面性，即數和形兩個方面，在解決數學問題時，一定要養成時刻貫徹數形結合的思想方法.希望學生在未來的學習中能夠靈活運用這些方法，進一步提高對數學問題的綜合解決能力.

參考文獻：

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