高中數(shù)學(xué)拋物線常考題型的解題技巧

1 軌跡問(wèn)題

針對(duì)拋物線具體軌跡方程的考查，這類問(wèn)題屬于較為基礎(chǔ)的一類拋物線問(wèn)題.解答時(shí)應(yīng)結(jié)合已知條件做出具體分析，根據(jù)拋物線性質(zhì)和平面幾何關(guān)系得到與拋物線方程參數(shù) p 有關(guān)的等式，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)軌跡方程.求解拋物線軌跡方程這類問(wèn)題，具體的解題步驟為：（1）假設(shè)拋物線方程形式，利用所給條件得到具體關(guān)系等式，即與拋物線方程中參數(shù) Σ_P 有關(guān)的等式；（2）通過(guò)運(yùn)算求出 Σ_P 的具體值，從而得到具體軌跡方程.

例1已知點(diǎn) A 是拋物線 C：y²=2px（/≥0） （2號(hào)上一點(diǎn)，點(diǎn) A 到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于12，到 y 軸的距離等于9，則該拋物線方程為（ ）

分析解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用 _A，C 兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式，首先假設(shè) A 點(diǎn)坐標(biāo)為（9，y_A） 得到方程 y_A²=18p ，進(jìn)一步結(jié)合已知條件“點(diǎn) A 到拋物線的焦點(diǎn) 的距離等于12”和兩點(diǎn)間的距離公式，運(yùn)算得到 Σ_P 的值，即可求出拋物線

的具體軌跡方程式.

解析 由題意知，點(diǎn) A 到 y 軸的距離等于9，所以可以假設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （9，y_A） ，

所以 y_A²=18p ，

又因?yàn)辄c(diǎn) A 與焦點(diǎn) 的距離等于12，所以由兩點(diǎn)間的距離公式可得：

等價(jià)于 p²+36p-252=0

解得 ?=-42 （舍）或 ?=6 ，

故正確答案為（C）選項(xiàng).

2 定值問(wèn)題

與拋物線有關(guān)的定值問(wèn)題，是一類較為常見(jiàn)的中等拋物線問(wèn)題，只要靈活運(yùn)用拋物線的定義和相關(guān)性質(zhì)，并結(jié)合已知條件做出分析，往往都能使問(wèn)題迎刃而解.解答與拋物線有關(guān)的定值問(wèn)題，一般解題步驟為：（1）分析題意，明確所求定值類型，并結(jié)合所給條件和拋物線定義或性質(zhì)列出對(duì)應(yīng)表達(dá)式；（2）將具體值代入關(guān)系等式中，通過(guò)運(yùn)算即可求出所求定值的大小.

例2若拋物線 y²=4x 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離等于10，則點(diǎn) M 到 y 軸的距離等于

分析 根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)解得焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0） 和準(zhǔn)線方程 x=-1 以后，假設(shè)點(diǎn) M（x，y） ，利用幾何性質(zhì)得到點(diǎn) M 到 y 軸的距離.

解析 根據(jù)題意得，拋物線 y²=4x 的焦點(diǎn)為F（1，0） ，準(zhǔn)線方程為 x=-1

假設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （x，y）

因?yàn)辄c(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離等于10，

所以 x+1=10

所以 x=9 ，

因此，點(diǎn) M 到 y 軸的距離等于9.

3最值問(wèn)題

有關(guān)于拋物線的最值問(wèn)題，屬于綜合性問(wèn)題，求解的關(guān)鍵在于將問(wèn)題所求最值的變量具體化，以函數(shù)解析式形式或基本不等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值或不等式求最值問(wèn)題.解答拋物線的最值問(wèn)題，具體解題步驟為：（1）根據(jù)問(wèn)題所給條件，假設(shè)變量，將問(wèn)題所求表示為與假設(shè)變量有關(guān)的函數(shù)解析式或基本不等式結(jié)構(gòu)；（2）根據(jù)變量的區(qū)間求函數(shù)的最值，或憑借基本不等式求最值；（3）通過(guò)運(yùn)算得到最值，即對(duì)應(yīng)問(wèn)題所求最終答案.

例3 已知拋物線 y²=2px（pgt;0） ）的焦點(diǎn)過(guò)

（1，0），過(guò)點(diǎn) F 作直線 ξ_l 交拋物線于點(diǎn) A，B 兩點(diǎn)，則

（204號(hào) 的最小值為

分析問(wèn)題所求與線段 AF，BF 有關(guān)，可考慮根據(jù)拋物線性質(zhì)和已知條件找出 AF，BF 之間的關(guān)系等式，使問(wèn)題所求轉(zhuǎn)化為只和 AF 或 BF 有關(guān)的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮通過(guò)函數(shù)或基本不等式求出最值.

解析 因?yàn)閽佄锞€ y²=2px（pgt;0） 的焦點(diǎn)為（1，0），所以 .因?yàn)?A，B 為拋物線的焦點(diǎn)弦，所以

即

因?yàn)?

所以

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 AF=6 時(shí)，等號(hào)成立，故 的最小值為—6.

4結(jié)語(yǔ)

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，以拋物線為背景進(jìn)行考查的問(wèn)題類型有很多，不僅需要學(xué)生熟練掌握拋物線的定義和性質(zhì)等基本知識(shí)，還需要學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際情況對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用.因此，學(xué)生要多練習(xí)，尋找解答不同類型問(wèn)題的通法，才能對(duì)拋物線有更加深刻的理解，從而更加高效地解答拋物線問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

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