數形結合思想在初中數學解題中的應用

數形結合作為初中數學關鍵思想，通過將數字與圖形有機融合進行解題，可將抽象復雜內容直觀展示.從本次教學來看，初中數學知識并非獨立且毫無關聯，各數學知識之間存在密切聯系.學生在學習數學知識時，習慣性將各數學知識看作獨立島嶼，將其隔開，這一錯誤數學學習思維導致學生在解題過程中存在抽象思維的問題.為提高學生解題能力，本次研究基于數形結合思想在初中數學解題中的運用進行討論與分析，旨在為有關學者提供參考及建議.

1數形結合思想在初中數學解題中的應用優勢

數形結合思想是數學領域中的一種核心方法論，它強調在解決問題時，將抽象的數學概念和具體的幾何形象有機結合起來，形成一種深層次的認知橋梁.這一理念主張通過“數”與“形”的相互轉化與對應，即運用幾何圖形來解釋復雜的數字關系，或將數學關系用圖形直觀展現出來，從而將抽象繁復的數學問題轉化為直觀易懂的幾何模型，實現從幾何直觀向代數精確性、從復雜問題向簡潔模型的有效轉換[1.將數形結合思想作為教學輔助工具，可將數學解題過程講解具象化、清晰化，幫助學生轉化解題思路.

一次函數作為初中數學教學中的重點體系，學生在解題過程中經常因例題內容抽象而遇到瓶頸，這不利于提高學生解題效率.若在一次函數例題中運用數形結合的方式進行求解，可提高學生解題效率，如通過直觀展示“ y=kx+b ”在平面直角坐標系中所呈現的圖象，當 k 與 b 的正負不同時，所對應的函數圖象是何種形狀，通過直觀變化的過程可幫助學生快速掌握一次函數的數學概念.學生因為深譜一次函數概念，并在此過程掌握了數形結合思想，在實際解題過程中便能如魚得水.當遇到此類數學問題如“ 經過點 （0，-1） ，與 相交于點 ，分別求出兩個函數的表達式”時，學生能嫻熟地在平面直角坐標系中畫出函數圖象，再根據已有信息還原出函數的數學表達式[2].

2數形結合在一次函數解題中的運用

2.1一次函數參數范圍求解

一次函數參數范圍求解主要運用不等式知識，通過數形結合的方式對一次函數參數范圍問題進行解決.

例1如 xgt;-3 時，對于 x 的每一個值，函數 x+3的值均大于等于函數y=kx（k≠0）的值，求 k 的取值范圍.

解析本次例題的關鍵在于對一次函數題干的等價轉換，題干可轉化為 xgt;-3 時，函數 y= χ+3的圖象在函數y=kx（k≠0）圖象的上

方.將 x=-3 代人函數 ，并得出 y=

，將點 ）代人y=kx，進而得出k= 在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數圖

象，將函數 y=kx 的圖象圍繞原點順時針旋轉，如

=kx 的圖象和函數 x+3的圖象平行時，無

交點， 滿足題意，如函數 y=kx 的圖象由直

線 旋轉到直線 x時，同樣滿足題

意，因此可以得出，

2.2一次函數參數最值求解

求解參數最值主要用到不等式、二次函數知識，一次函數最值問題可通過數形結合的方法解題，可有效幫助學生理清解題思路，對于提高學生解題質量具有促進意義[3].

例2已知 p=2x+1，q=-2x+2 ，若規定函數 {1+p-q，p≥q'則y的最小值為多少？

解析解題關鍵在于引導學生正確把握題意，根據例題條件可以看出， p?q ，故得出 2x+1≥- （204號 2x+2 ，則有 ，同理由 ? ，又（204號 1+p-q=1+2x+1+2x-2=4x，1-p+q 1-2x-1-2x+2=-4x+2 ，從而得出 的表達式 從而求出 的最小值

為1.

結合以此函數圖象及性質，對 的圖象進行畫出后得出函數 y 的最小值為1.從上述分析解題思路可以看出，例2題型新型，學生解題時需要對題意進行深層次探究，運用一次函數知識畫出圖象，進而觀察圖象最低點，以此得出參數最值.

2.3一次函數點的坐標求解

一次函數點的坐標與平面直角坐標系具有密切聯系，通過數形結合的方式運用幾何知識進行求解，可以提高一次函數點的坐標求解效率[4].

例3如圖1所示， ?A（- 8，0），B（- 2，8） 為ΔABC 定點，點 C 在 軸的正半軸， AB=AC ，將ΔABC 向右平移得到 ΔA^′B^′C^′ ，如 A^′B^′ 過點 C ，點C^′ 的坐標為？

解析 過點 B 作 BG 垂直 x 軸于點 G ，由A（一^{8，0），B（-2，8）} ，得 AO=8，GO=2，AG=8-2=6 0BG=8 在 RtΔAGB 中，根據勾股定理可以得出 ，通過兩點間的距離公式求得 10，由 AB=AC ，得出 AC=10 ，進而結合勾股定理得出 ，故點 C 坐標為（0，6）.設直線 AB 方程為 y=kx+b ，將點 A ，B 的坐標分別代入直線方程，解得 則 y= 設直線 AB 向右平移 Ω_n 個單位到直線A^′B^′ 處，則直線 A^′B^′ 的解析式為 ，因其過點 C（0，6） ，代入解得 易得點 C^′ 的坐標為

3結語

綜上所述，本文基于數形結合思想在初中數學解題中的運用進行討論與分析，在講解數形結合思想時，教師應引導學生跳出傳統解析例題的方式，通過數形結合的方法提高學生解答一次函數問題的效率，并運用代數與數形結合相融合的方式，讓學生在解題過程中通過鮮明對比，明確數形結合在一次函數解題中的優勢.對此，教師應積極引導學生運用數形結合思想在一次函數中進行解題，讓學生以練促學，熟悉運用數形結合法解題的思路，以此提高學生解決函數問題的效率.

參考文獻：

[1]李慧君.數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].知識文庫，2025，41（4）：68-71.

[2]高金云.數形結合思想在初中數學教學中的滲透應用研究[J]求知導刊， 2025（2）：20-22

[3]劉云堅.數形結合思想在初中數學解題中的應用—以初中“一元一次不等式”問題為例[J.數理天地（初中版），2025（2）：53-54.

[4]楊振敏.初中數學解題中數形結合思想的應用—以一道二次函數圖象性質題為例[J].數理天地（初中版），2024（19）：26—27.