四邊形中的折疊問題

考點一 矩形中的折疊問題

例題：如圖，在矩形 中，將 沿 折疊，點D剛好落在對角線 上的點F．

（1）若 ， ，求 的長．

（2）若 ，求證： ．

答案：

分析：（1）由矩形的性質和勾股定理，得出 ，再由折疊的性質，得到 ， ， ，進而得到 ，設 ，利用勾股定理列方程求解，即可求出 的長；

（2）由矩形的性質，得出 ，由折疊的性質，得到 ，由等邊對等角的性質，得到 ，進而得出 ，再根據30度角所對的直角邊等于斜邊一半，即可證明結論．

點評：本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，含30度的直角三角形等知識，熟練掌握矩形和折疊的性質是解題關鍵．

1．如圖，將矩形紙片 沿 折疊，得到 ， 與 交于點 ．若 ，則 的度數為（" " ）

A．" " B． " C． D．

答案" "D

考點二 菱形中的折疊問題

例題：如圖，菱形 中， ，M為邊 上的一點，將菱形沿 折疊后，點A恰好落在 的中點E處，則" " " "．

分析：如圖所示，延長 交 延長線于N，由菱形的性質得到" "，證明 得到 ，由折疊的性質可得 ，進一步證明 ，由此可得 ，解方程即可得到答案．故答案為： ．

點評：本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的判定等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵

變式訓練

如圖，若菱形 的面積為 ， ，將菱形 折疊，使點A恰好落在菱形對角線的交點O處，折痕為 ，則" " " "cm．

答案

考點三 正方形中的折疊問題

例題：如圖，已知在正方形 中， ， ．將正方形 折疊，使點B落在 邊的中點Q處，點A落在P處，折痕為 ．已知 長為 ．

（1）求線段 和線段 的長；（2）連接" ， ．分析：（1）由對角線為 ，易知邊長為8．設 ，由折疊可知在 中，由勾股定理有 ，解得 ，即可得 ；

（2）連接 ，作 于點G，連接 交 于點H，由折疊知 ，可證明 ，則 ， ，在 中由勾股定理可求 ．

故答案為： ．

變式訓練

1.如圖，將正方形紙片 折疊，使邊 均落在對角線 上，得折痕 ，則 的度數是（" " ）

A． B．" " "C． D．

【答案】C