空間幾何體內嵌問題專題復習

隨著教改的深入發展，要求引領教師構建學科核心素養導向下的數學課堂，將數學核心素養落實到教學實踐中.新高考對立體幾何的要求更高，更側重考查學生的直觀想象、邏輯推理和數學建模等能力.教師要將幾何直觀推理融入邏輯推理，幫助學生“看見立幾\"“學會建模”.本文以2023年全國新高考I卷第12題為例，借助GeoGebra軟件探究教學.希望本課題的可視化教學案例能為一線教師提供參考.

1 教學分析

1. 1 學情分析

傳統教學難以讓學生直觀感知空間幾何體之間的位置關系.GeoGebra軟件可幫助學生“看見數學”，化“未知”為“已學”化“3維”為“2維”，以理解問題本質.

1. 2 教學目標：四基與四能

1. 2.1 課程目標四基

（1）基礎知識：識別并理解空間幾何體內嵌問題；（2）基本技能：理解點、線、面的位置關系并在此基礎上進行計算；（3）基本思想：降維思想、化歸思想和類比思想，體現在體與體、體與面、面與面三者之間的位置關系與計算轉化中；（4）基本活動經驗：利用GeoGebra軟件啟發思考、開展小組討論探究.

1. 2.2 課程目標四能

（1）發現（重現高考真題引入問題）和提出用數學語言表達（空間內嵌題）問題的能力；

（2）分析（多選題思辨訓練）和解決（問題串啟

發，小組討論）問題的能力.

1.3 教學重難點

重點：探究空間幾何體內嵌問題的規律；難點：利用截面（降維思想）探究內嵌幾何體的位置關系與計算問題.

2 教學過程

2. 1 真題重現

下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有

（A）直徑為 0.99m 的球體.

（B）所有棱長均為 1.4m 的四面體.

（C）底面直徑為 0.01m ，高為 1.8m 的圓柱體.

（D）底面直徑為 1.2m ，高為 0.01m 的圓柱體.

2.2 問題引入與師生互動

問題1在正方體內嵌圓柱，當圓柱的底面積為定值時，圓柱的高與正方體對角線的夾角為多少時，圓柱的高有最大值？（觀察GeoGebra動態演示，如圖1）

答觀察發現當圓柱的高與正方體對角線重合時，圓柱的高取得最大值.

問題2正方體內嵌圓柱，當圓柱底面與正方體對角線處于什么位置關系時，圓柱底面積最大？

答當圓柱的底面垂直于正方體對角線放置時，正方體存在最大截面是正六邊形（圖2）.

追問設正方體的棱長為α、底面半徑為 r ，化“3維”為“2維”，利用正方體最大截面（圖3）內數量關系，求圓柱底面半徑的取值范圍.

答如圖2所示，當圓柱底面為棱中點 K，L N，J，Q，R 所圍成的正六邊形截面的內切圓時，圓柱底面半徑最大（圖3），此時

問題3圓柱沿正方體對角線內嵌于正方體（圖4）時，圓柱和正方體存在哪些位置關系？（分組操作程序并討論）

答（1）正方體與圓柱體只有兩個接觸點（部分內接）；

（2）兩個接觸點在正方體面對角線 AC，EG 上；

（3）圓柱底面與正方體對角線 AG 垂直（線面垂直）；

（4）圓柱、正方體關于中心 I 對稱.

問題4觀察圓柱的高和底面半徑同在哪個截面中并作出其平面圖形進行分析.

答圓柱的高和半徑都在“對角面”平面 AEGC中（圖5）.

追問小組討論，觀察截面AEGC和圓柱的截面存在哪些垂直、相似關系？

2.3 小組討論，提問匯總

（1）在正方體中， ：（2）圓柱底面與正方體底面的交點記為點 P ，圓柱底面與正方體對角線垂直（圖4、圖5）；（3）由 ΔAMP～ΔACG .則 ，由于 PM=r，CG=a ，則 ：（4）圓柱、正方體均關于中心 I 對稱，則 所以圓柱體的高為

2.4 鞏固與提升

變式訓練1棱長為2的正方體，以共頂點的三條棱的中點作截面，正方體內嵌圓錐，其底面在此截面上（圖6），求圓錐高的最大值.（練習時間5分鐘）

問題1 仿照問題3我們可以得到哪些位置關系？

答當圓錐高與正方體對角線 AG 重合時有最大圓錐，且圓錐底面截正方體的截面為 ΔIMK

問題2 運用以上關系，分組討論，并展示

結果.（1）求圓錐底面半徑 r ：正 ΔIMK 的邊長 MK=

：過圓心 L 作1 D⊥MK （圖7），則 ∠LMO=30^°

在 ΔLMO 中，

（2）“3維”轉化為“2維”：圓錐的底面半徑 r 與錐高 GL 都在平面AEGC上（圖8），從而將問題轉化為在截面AEGC（圖9）中求解；

（3）在正方體中 ，在 ΔAOL 中 則

變式訓練2正方體儲物箱的棱長為4分米，正三棱柱餅干盒底面邊長為2分米，求盒子的最大高度.（小組討論）

利用GeoGebra軟件將圖形旋轉到截面作為正視圖（圖10、圖11）的角度，由互余得 ∠EQP= ∠EGA=∠APK=θ ，則

在 ΔPLM 中， 在 ΔPAK 中， 則 ， 在 ΔPEQ 中， （20 則柱高 PQ= （2

2.5 課堂小結

本節課以正方體內嵌柱、椎體問題展開，借助GeoGebra用截面降維，將復雜立體幾何問題轉化為平面幾何問題.

教學關鍵要突破兩點：

（1）找到過正方體對角線的截面；（2）利用相似或三角函數計算正方體內嵌幾何體的最大高度問題.

【基金項目：1.國家級大學生創新創業訓練計劃項目，項目編號：202311349016；2.五邑大學校級本科高質量課程建設與創新創業教育建設改革項目，項目編號：KC2021049】

參考文獻：

[1」薛紅霞，謝永清.巧設情境蘊含多元視角重視基礎倡導數學探究——2023年高考“立體幾何”專題命題分析[J].中國數學教育，2023（18）：47-52.

[2]鐘文體.什么樣的圓柱和圓錐可以放入正方體及正四面體內？[J].中學數學研究（華南師范大學版），2023（23）：12—16.