基于“胡不歸”困境的多例題分析研究

例1如圖1所示，在菱形 ABCD 中，連接 BD ，點 M 是線段 BD 上的一個動點，但不含 B 點，連接AM ，其中 的最小值為

解析首要依據菱形的性質確定各角角度，分別過點 M，A 作垂直于BC的輔助線 ME 和 AF 后，可得到直角三角形.利用直角三角形的性質，并結合三角關系，確定 AM+ME 的最小值條件，可對AM 進行轉化，此時點 E 與點 F 重合，可得出三點共線的結果.

如圖2所示，過點 A 作 AF⊥BC 交 BC 于點 F . 過點 M 作 ME⊥BC 交 BC 于點 E ，

因為四邊形 ABCD 為菱形，且 ∠ABC=60^° 所以 ∠ABD=∠CBD=30^°

在 RtΔABE 中，可得

則 +ME ，

因此，當 A，M，E 三點共線時，可求得最小值，即 AF 垂直于 BC 的情況，

在 RtΔABF 中，由三角函數可得出：

因此可直接得到結果， 的最小值為

點評本題是較為直觀的，可以使用“胡不歸”定理解決的類型.需要結合菱形的性質、作輔助線，以及直角三角形的性質等進行分析解題.集齊全部條件后，通過觀察題目要求;求 的最小值，再對該式子進行轉換，找到當 δ_A，M，E 三點共線時的結果，即可求得最小值.

例2如圖3所示，在 ΔABC 中，邊 AC 上有一個移動的點 P ，其中 ∠ACB=90^° ∠ABC=60^° AB=10 ，試求出 的最小值.

解析本題注重考查如何將不在同一直線上的線段替換到同一直線上，通過作一條輔助線，結合三角函數可得未知的邊長，接著對 進行轉化，從而可知 B，P，D 三點共線時，可求得最小值.

如圖4所示，在邊 AC 下方作一條射線 AM ，使得 ∠CAM=45^° ，過點 P 作 PD⊥AM 交 AM 于點D ，過點 B 作 BE⊥AM 交 AM 于點 E ，其中 BE 交AC 于點 N ：

在 RtΔABC 中，已知 ∠ACB=90^°，AB=10 ∠ABC=60^°， 所以可由三角函數得， 因為 BE⊥AM 所以 ∠AEB=90^° 已知 ∠CAM=45^° 則 ∠EAN=45^° 因此 ∠ENA=90^°-45^°=45^° 由兩直線相交，內錯角相等可得 ∠BNC=

∠NBC=45^° 所以 CN=BC=5 ， 由三角函數得： 因此 因為 PD⊥AM ，所以 ∠PDA=90^° 則 所以 因此，當 B，P，D 三點共線時，可求得最小值.即 所以 的最小值為

點評觀察本題，可發現題目含有會移動的點P ，要求 的最小值，需要結合直角三角形的性質、三角函數等知識.在作輔助線后，可通過轉換 ，找到當 B，P，D 三點共線時 的最小值，進而計算得出答案.

結語

“胡不歸”問題是中考壓軸的常考題，在最值問題中，解題關鍵就是構造一條線段，將“ PA+kPB ”型問題轉化為“ PA+PC ”型.需要注意的是，這里的 PB 必須是一條方向不變的線段，以及動點 P 是在一條直線上運動的，這樣才能構造定角，從而利用三角函數得到與 kPB 等量代換的線段，進而解決該類最值問題.