對(duì)一道高三聯(lián)考橢圓試題的探究

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2024年安徽省六校高三開(kāi)學(xué)考試試題）已知橢圓 C （ 的左、右頂點(diǎn)分別為 ^A，B，R 是橢圓 C 上異于 A，B 的動(dòng)點(diǎn)，滿足 ，當(dāng) R 為上頂點(diǎn)時(shí)， ΔABR 的面積為8.

（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn) M（Σ-Σ6 ，-2）的直線與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) δD，E（δDδ E 與 ^A，B 不重合），直線 AD ，AE 分別與直線

圖1

x=-6 交于 P，Q 兩點(diǎn)，求 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值分析 第（1）問(wèn)考查橢圓基本知識(shí)，易得橢圓

C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第（2）問(wèn)考查綜合知識(shí)，重點(diǎn)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基本思想，體現(xiàn)坐標(biāo)法在解析幾何問(wèn)題中的強(qiáng)大作用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).第（2）問(wèn)結(jié)論優(yōu)美，具有很高的探究?jī)r(jià)值.本文對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行深入的探究，以供參考.

2 試題第（2）問(wèn)求解探究

解法1 易知直線 DE 的斜率存在，設(shè)斜率為 k 直線 DE 的方程為 .設(shè) D（x₁，y₁） ，E（Φ_X2，y₂） ，聯(lián)立 消去 y 并整理得（4k²+1）x²+（48k²-16k）x+144k²-96k=0 由韋達(dá)定理得 ，直線 AD 的方程為

令 x=- 6 ，解得 所以丨 MP∣= .

同理得 所以 9，所以 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值為9.

評(píng)注解法1體現(xiàn)了坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的一般流程，同時(shí)也加強(qiáng)了依據(jù)圖形分析點(diǎn)、線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的能力.

解法2 設(shè) D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ）， 則直線 AD 的方程為 （2 .令 x=-6 得 ，則 同理 又因?yàn)镸，D，E三點(diǎn)共線，則 sina +1 ，展開(kāi)得 2sin（α-β）+3（sinα-sinβ）-2（cosα- cosβ）=0 ：利用和差化積公式與二倍角公式得 =0，展開(kāi)得5cos 2cos ，即5 tan 所以 tan =9，故丨MPI·I MQI的值為9.

評(píng)注利用橢圓的參數(shù)方程，簡(jiǎn)潔地表示點(diǎn) P 和 Q 的坐標(biāo)，避免了直線與曲線聯(lián)立的繁瑣過(guò)程，只需要熟悉三角恒等變化即可解題

解法3 設(shè)不過(guò)點(diǎn) A（-4，0） 的直線 DE 的方程為 m（x+4）+ny=1 ，因?yàn)橹本€ DE 過(guò)點(diǎn) M（--6 ，-2），則有2m +2n=-1.將橢圓C方程6

1變?yōu)?（x+4-4）²+4y²=16 ，展開(kāi)整理得 （x+4）² -8（x+4）+4y²=0 ，進(jìn)一步得 （x+4）²-8（x+ 4） [m（x+4）+ny]+4y²=0 ，即 （1-8m）（x+4）² -8ny（x+4）+4y²=0. （20令 ，代人上式得 4k²-8nk+1-8m= 0.設(shè)直線 ^AD，AE 的斜率分別為 k₁，k₂ ，則 k₁，k₂ 是這方程的兩個(gè)根，有 ，直線AD：y=k₁（x+4） ，令 x=-6 得 y_P=-2k₁ ，同理y_Q=-2k₂ ，所以 2m-2n+1）=9 ，所以 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值為9.

評(píng)注解法3巧妙地構(gòu)建直線 AD 和 AE 的斜率滿足的一元二次方程，構(gòu)造兩個(gè)斜率的關(guān)系，結(jié)合_{M，D，E} 三點(diǎn)共線，代入化簡(jiǎn)求得結(jié)果，運(yùn)算量大大地降低了.

3試題推廣

在原題中，觀察到點(diǎn) M 在直線 x=-6 上，自然要問(wèn)，結(jié)論是否只對(duì)此點(diǎn)成立，是否具有一般性呢？經(jīng)過(guò)探究，有以下結(jié)論

結(jié)論1 已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為 A，B ，過(guò)點(diǎn) M（δ-6，n） 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點(diǎn) D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 ^AD，AE 分別與直線 x=-6 交于 P，Q 兩點(diǎn)，則 ∣MP∣?∣MQ∣= n²+5

證明 設(shè) D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ） 則直線 AD 的方程為 .令 x=-6 得 ，則

又因 _{M，D，E} 三點(diǎn)共線，則 2sinβ-n，展開(kāi)得2sin（α-β）+3（sinα -sinβ） + 利用和差化積公式與二倍角公式得 =0，展開(kāi)得 ncos ，即 所以 ntan tan β|=n2 +5，所以| MPI·1 MQI=n²+5.

由結(jié)論1可以看出，只要直線1所過(guò)定點(diǎn)在直線x=-6 上，則 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值均為定值.一個(gè)自然的問(wèn)題就是直線 x=-6 能不能改為任意直線，經(jīng)過(guò)探究，有以下結(jié)論.

結(jié)論2 已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為 A，B ，過(guò)點(diǎn) M（m，n） 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點(diǎn) D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 _AD，AE 分別與直線 交于 P，Q 兩點(diǎn)，則 ∣MP∣?∣MQ∣=

證明 設(shè) D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ） 0則直線AD的方程為y=2 .令 x=m 得 ，則 ，同理得」 MQ∣=

又因?yàn)?_M，D，E 三點(diǎn)共線，則 2sinβ-n，展開(kāi)得4sin（α -β）-m（sina-sinβ）+ ，利用和差化積及二倍角公式 ，展開(kāi)得 ，即 4-m+（m + 4） tan 所以 1，所以

通過(guò)結(jié)論1和結(jié)論2的探究，可將結(jié)論推廣到任意的橢圓中，即結(jié)論3.

結(jié)論3 已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為 _A，B ，過(guò)點(diǎn) M（m，n） 的直線 ξ_l 與橢圓 c 交于不同的兩點(diǎn) D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 ^AD，AE 分別與直線 x=m 交于 P，Q 兩點(diǎn)，則

證明 設(shè) 則直線 AD 的方程為 ，令 x=m 得 tan ，同理可 .又因?yàn)?_{M，D，E} 三點(diǎn)共線，則 展開(kāi)得，absin（α-β）-bm（sinα-sinβ）+an（cosα-cosβ） =0，利用和差化積公式與二倍角公式得abcosβ ，展開(kāi)化簡(jiǎn)并代人得 所以

4 問(wèn)題待探

若從橢圓的右、上、下頂點(diǎn)引兩條直線是否有類似的結(jié)論？本文中的結(jié)論是否可以推廣到其他圓錐曲線中？