例析極端原理在拓展數學思維的深度與廣度中的應用

在數學解題的廣闊天地里，極端原理以獨特視角深人極端情形，無論是數值的極限、長度的極值，還是角度的極界，皆能揭示隱藏規律，指引解題方向.本文立足極端原理的數學根基，通過典型例題，深人剖析其在優化解題思維、提升思維品質上的獨特價值，助力學子在數學征途中披荊斬棘.

1 極端原理的內涵與理解

極端原理指的是抓住在全體對象中某個極端元素或某個元素的極端狀態進行探究，即在解決數學問題時，通過研究這些極端狀態，揭示問題的本質、找到解題的途徑.極端原理強調從問題的邊界或臨界狀態出發，通過極限思想來分析和解決問題.然而，大部分教師在教學時將特殊值法與極端原理等同，甚至只知特殊值法而不知極端原理.事實上，極端原理更側重于通過極端情況來揭示問題的本質，而特殊值法側重于通過特定值來簡化問題或盡快獲得結果.即便是在取值判斷（特殊值法）時，極端原理還關注“值”的極端狀態，即值的分類、值之間的大小關系等.下面我們通過一個例題來說明.

例1（2022年新高考 II 卷第12題改編）已知實數 x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，則.

析解對于此題，運用特殊值法解題，如取 x= y=1 ，滿足 x²+y²-xy=1 ，但 x+y=2，x²+y²= 2，故 A 和 c 不正確.隨后學生便很難通過特殊值法在 B 和 D 選項間進行取舍.但若用極端原理來審視變量取值的過程，留意 x 和 y 兩個變量取值的分類情況以及值的極端性，便能迅速找到解決問題的關鍵突破口.如在取值時考慮到“ x，y 值的正負、相等、互為相反數等”極端特殊情況，便會發現取 ， 時，滿足x2+y2-xy=1，但x2+2=，所以 D 不正確，故選 B.

以上不難看出，極端原理給特殊值法賦予了新的內涵.

2 極端原理的應用

極端原理，作為數學解題的精髓思想，廣泛應用于幾何、函數、代數等多個領域.在幾何解題時，它引導我們捕捉圖形的極端狀態，如點、線、面的極限位置；在求解函數最值時，它讓我們考慮函數的極端取值，結合不等式、導數等精準高效地破解問題.

例2（2024北京卷第15題）設 {a_n} 與 {b_n }是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合 M Ψ={k∣a_k=b_k，k∈N^*} ，給出下列4個結論：

① 若 {a_n }與 {b_n }均為等差數列，則 M 中最多有1個元素；② 若 {a_n 與 {b_n }均為等比數列，則 M 中最多有2個元素；③ 若 {a_n} 為等差數列， {b_n} 為等比數列，則 M中最多有3個元素；④ 若 {a_n }為遞增數列， {b_n} 為遞減數列，則 M中最多有1個元素其中正確結論的序號是

析解對于 ① ，因為 {a_n}，{b_n} }均為等差數列，故可將它們與兩條直線上的點列 n，a_n），n，b_n） 對應，而兩條直線至多有一個公共點，即 M 中至多一個元素，故 ① 正確.

對于 ② ，運用極端原理，取特例時關注等比數列的分類，尤其要關注兩個公比取值的正負、相互關系.如考慮兩個公比互為相反數 a_n= 2ⁿ，b_n= ?-2）ⁿ ，則 {a_n}，{b_n} 均為等比數列，但當 n 為偶數時，有 a_n=b_n ，此時 M 中有無窮多個元素，故 ② 錯誤.

對于 ④ ，因為 {a_n} 為遞增數列， {b_n} 為遞減數列，前者與一個增函數圖象上的一列點對應，后者為一個減函數圖象上的一列點對應，兩者至多一個交點，故 ④ 正確.

對于 ③ ，從極端原理的角度列舉分析，便會想到等比數列的公比 q 有正負之分，也有 ∣q∣gt;1 ！∣q∣=1，∣q∣lt;1 之分．不難給出特列 {a_n} ：1，-2，-5，-8，…，{b_n}：1，-2，4，-8，… ，使得 M 中有三個元素.將等差數列與直線上的一列點對應、等比數列與指數型函數圖象 qgt;0 且 是一條曲線， qlt;0 且 是兩條曲線（如右圖））上的點列對應，數形結合便知 M 中不可能有四個及更多的元素，故 ③ 正確.

例3 已知橢圓的中心在原點 o ，離心率 e= 短軸的一個端點為 ，點 M 為直線 與該橢圓在第一象限內的交點，平行于OM的直線 l 交橢圓于 ^A，B 兩點.求證：直線 MA，MB 與 x 軸始終圍成一個等腰三角形

析解 設MA，MB 與 x 軸分別相交于P，Q 點，那么要證明△MPQ為等腰三角形，到底是要證明MP，MQ，PQ 三邊中的哪兩

圖1

邊相等呢？這是一個難點，學生常常會畫出圖來分析，如圖1.但從圖1很難看出來，但如利用極端原理分析便可輕易突破難點，

極端情況1：考慮直線 l 經過橢圓的左頂點 A 和上頂點 B ，

如圖2.此時顯然能看出只要證MP，MQ兩條線段相等便可.

圖2

極端情況2：考慮直線 l 與橢圓的兩個交點非常接近時（幾乎重合），如圖3.此時 PQ 的長度非常小，顯然能看出只要證明MP，MQ兩條線段相等便可完成解答.

圖3

具體解答略.

上述思路巧妙地運用了極端原理，在證明直線MA，MB 與 x 軸圍成等腰三角形的過程中，通過設定直線 l 經過橢圓的特殊位置（如左頂點和上頂點）和直線 l 與橢圓交點重合的極端情況，分析問題，找到突破口—證明 MP 與 _MQ 線段相等，進而確定方向解決問題.這種思維方式彰顯了極端原理在解決數學問題中的獨特價值

例4 （2020年北京卷第19題）已知橢圓 過點 AΩ-2，Ω-1） ，且 a=2b （I）求橢圓 C 的方程；（Ⅱ）過點 B-4，0） 的直線 l 交橢圓 c 于點 M

N ，直線 MA，NA 分別交直線 x=-4 于點 P Q.求 的值.

析解 1） 易得C 的方程為 Ψ=1

圖4

（Ⅱ）設 Mx₁ y₁ ） Φ_Nx2，y2） ，將直線MN：y=kΦ_x+4） 和橢

圓 聯立后，可得 （20 1 x+2（x+2），令x=-4可得 ，同理得

但在計算 的值，即 時，因不能直接將韋達定理所得的式子代入化簡．若運用極端原理去分析問題，進行先猜后證就顯得尤為重要了.如取直線 ξ_l 的斜率為零，則直線 l 為 x 軸，不妨設 M，N 分別是橢圓的左右頂點，則 ， ，則 AM 所在直線方程為 ，令 x=-4 得 ，同理可求得 ，所以

據此猜想一般情況下所求的值 ，進而將問題轉化為證 ，即 ，即要證 y_P+ y_Q=0 ．隨即按照題意通過聯立方程等手段便可解決問題.

例5若 ΔABC 的面積為 ，且∠C 為鈍角，則 的取值范圍是

析解1 由余弦定理得 由正弦定理進行邊角轉化得 ，利用 A∈

，可求得 的范圍是 2，+∞） ：

上述分析較為常規，是一些公式的機械套用，做完題后學生也是知其然不知其所以然．但若構造“極限位置”來分析和解決問題，便會真正明白試題的背景和個中意圖.

析解2 如圖5，在 ΔABC₀ 中 則 ．當點 c 在線段 C₀B 上，且從點 C₀ 向點 B 移動時，由∠ACB 為鈍角，知 ΔABC 符合題意．此時邊 c 不變，而 BC （即邊 a ）從 BC₀ 連續變化到0，所以 從2連續變化到 +∞ ，即 的取值范圍是 2，+∞）

圖5

在解決這道題目時，我們巧妙運用了構造法、極端原理等數學智慧，這些正是數學解題中不可或缺的思維方式，如構造法幫助我們構建橋梁，極端原理則引領我們探索邊界、提升直觀想象和邏輯推理素養.

3 結語

極端原理在數學解題中直擊問題核心，揭示深層規律.它不僅簡化了復雜數學問題的剖析路徑，更拓寬了思維的深度與廣度，讓解題思路豁然開朗．更重要的是掌握數學知識的本質，領悟并內化這些思維方式.掌握極端原理，對于深化數學思維、拓展解題廣度至關重要.我們應悉心體會這種思維方式的精髓，從而在數學的海洋中游刃有余，真正理解和應用數學的魅力.