聯(lián)系教材 合理轉(zhuǎn)化：引領(lǐng)學(xué)生學(xué)以致用解題

2024年新高考I、II卷，2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷很多試題均源于教材資源改編，比如，2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷第16題改編自人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第二冊）第41頁習(xí)題第10題；2024年新高考I卷第7題改編自人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修一）第237頁的例1.這種命題思路再次強調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要回歸教材、注重概念教學(xué)、淡化解題技巧、關(guān)注遷移應(yīng)用的重要性.

教材的習(xí)題教學(xué)設(shè)計不僅承擔(dān)著鞏固知識、發(fā)展能力的功能，還凸顯著滲透思想、領(lǐng)悟方法、提升素養(yǎng)的價值：保繼光教授在“中國考試”公眾號發(fā)表2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷評析一文指出：教學(xué)回歸課標(biāo)、回歸課堂主渠道，講透教材內(nèi)容，要將每一個耳熟能詳?shù)母拍町?dāng)成新概念講解.這些都進(jìn)一步啟示一線教師在課堂教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生重視聯(lián)系教材，合理感悟轉(zhuǎn)化.

1重視\"教材例題習(xí)題”與“真題”的聯(lián)系感 悟轉(zhuǎn)化

“教材例題習(xí)題”蘊含著豐富的教育資源，比如以人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第二冊）第四章數(shù)列中的“復(fù)習(xí)參考4”為例，教材在復(fù)習(xí)參考題的第3題介紹了數(shù)學(xué)文化《萊茵德紙草書》、“雪花曲線”，第4題介紹了我國古代名著《算法統(tǒng)宗》，第10題介紹了“角谷猜想”，第13題介紹了“類比方法”，第14題介紹了“函數(shù)列”，第15題介紹了“有理數(shù)表示式”，第17題介紹了“斐波那契數(shù)列通項公式”，等等.這些資源給一線教師教學(xué)、命題教師構(gòu)題提供了廣闊的創(chuàng)意空間.

例1（2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試卷第16題）已知數(shù)列 {a_n} 中， （1）證明：數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）求 {a_n} 的通項公式；3）令 證明 b_nn+1lt;1

析解 由 倒數(shù)變形得 （204號 整理得 ，即 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，計算可得 最后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性不難證明 b_nn+1lt;1

評注（1）本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識；考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想.（2）本題源自人教 A 版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第二冊）第41頁習(xí)題第10題：已知數(shù)列 {a_n }的首項 ，且滿足 2an+1（1）求證：數(shù)列{-1}為等比數(shù)列;2）若1+1+丨++lt;100 ，求滿足條件的最大整數(shù) n 解決這類問題，聯(lián)系學(xué)過知識，合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，證明“新數(shù)列” 為等比數(shù)列，回歸定義即可迎刃而解.

例2（2021年1月新高考八省聯(lián)考第17題）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列 {a_n }滿足 a_n+2=2a_n+1+ 3a_n .（1）證明：數(shù)列 {a_n+a_n+1 為等比數(shù)列；（2）若 ，求 {a_n }的通項公式.

析解（1）利用條件 a_n+2= 2a_n+1+ 3a_n ，可得{a_n+a_n+1 為等比數(shù)列，公比為2.

2）由 得 ，進(jìn)而猜想 基于猜想， 將 a_n+a_n+1=2?3^n-1 變形為 ，進(jìn)而

評注（1）本題將條件等式 a_n+2=2a_n+1+3a_n 兩邊同時加上 a_n+1 ，這樣處理較為唐突.事實上，基于目標(biāo)引領(lǐng)，要證 {a_n+a_n+1 為等比數(shù)列，需確定常數(shù) q ，使得 a_n+1+a_n+2=qa_n+a_n+1） 成立，亦即 a_n+2 Φ=q-1）a_n+1+qa_n ，于是 q=3 將條件 a_n+2=2a_n+1 +3a_n 變形為 a_n+1+a_n+2=3a_n+a_n+1） 即可證得；（2）先觀察分析，再猜想證明是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法．無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n 項和，通過變形能夠把已知“陌生”數(shù)列轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列（或相關(guān)求和問題），進(jìn)而解決.基于此分析，本題第（2）問有兩種解題思路.其一，首先源于“前為后用”求解策略的應(yīng)用. -及第（1）問的結(jié)論可得αn+an+=2?3^n-1 .其次，基于目標(biāo)“由數(shù)列遞推關(guān)系求通項”的課程學(xué)習(xí)經(jīng)歷，運用“不完全歸納法”找尋規(guī)律，求得數(shù)列 {a_n} 的通項公式.其二，構(gòu)造 a_n+2 1 ，整理得所以 a_n+1-3a_n=0 ，故 a_n+1=3a_n ，所以{an}是以α= 為首項，3為公比的等比數(shù)列．此解法根據(jù)特征構(gòu)造出 =ka_n+1-3a_n） 是關(guān)鍵.

教師若依此去歸納遞推關(guān)系式的解法規(guī)律，則本末倒置，違背教學(xué)初心，造成教育重心旁落.比如給學(xué)生歸納所謂“二級結(jié)論”、“大學(xué)定義性試題”，推廣本題二階線性遞歸數(shù)列 a_n+1=pa_n+qa_n-1n? 2），其中 p，q∈R，a₁，a₂∈C 為常數(shù)，但不同時為零，q≠0 通項公式的結(jié)論給學(xué)生記憶．把\"方法當(dāng)成知識教給學(xué)生”和“沒有參與體驗探究過程的結(jié)論教給學(xué)生”這無疑不利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，不利于提升學(xué)生的思維水平，不利于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).當(dāng)然，教師若能引領(lǐng)學(xué)生觀察式子結(jié)構(gòu)特征，注重過程分析，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題，就可立于不敗之地.

新高考為發(fā)揮引導(dǎo)教學(xué)的核心功能，很多真題源于教材改編.因此，教師教學(xué)要重視教材例題的示范功能.比如，教材在推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項和公式時，介紹了“倒序相加方法”；在推導(dǎo)等比數(shù)列前 n 項和公式時，介紹了“錯位相減方法”.教師要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會試題背后的思想，深度講解等差、等比數(shù)列概念，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真落實概念理解以及相關(guān)量的基本運算，并借助強化訓(xùn)練幫助學(xué)生熟練掌握；強化解法指導(dǎo)，重視引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)剡x擇合理的方法進(jìn)行解題；認(rèn)真落實解題教學(xué)的基本規(guī)范，進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的養(yǎng)成教育，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

2 重視\"教材素材”與“真題”的聯(lián)系感悟轉(zhuǎn)化

人教版“教材素材”包括\"探究與發(fā)現(xiàn)”、“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”、“信息技術(shù)應(yīng)用”、“閱讀與思考”等欄目內(nèi)容，它們蘊含著豐富的教育資源，比如以人教 A 版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第一冊）“閱讀與思考”為例，教材在第一章空間向量與立體幾何中的“閱讀與思考一向量概念的推廣與應(yīng)用”介紹了 n 維向量的運算法則，有序數(shù)組構(gòu)成的向量運算可以解決許多實際問題；在第二章直線與圓的方程中的“閱讀與思考一笛卡爾與解析幾何”介紹了解析幾何的創(chuàng)立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究；在第二章直線與圓的方程中的“閱讀與思考一坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機械化”介紹了機器可以成為推理工具的思想以及中國科學(xué)院院士吳文俊機器證明的成果；在第三章圓錐曲線的方程中的“閱讀與思考一圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”介紹了圓錐曲線的豐富光學(xué)性質(zhì)，探照燈、太陽灶、膠片電影放映機的運作機理，等等.這些資源啟發(fā)學(xué)生思考，數(shù)學(xué)好玩、數(shù)學(xué)有用，引領(lǐng)學(xué)生提升興趣、發(fā)展素養(yǎng).

例3（2025年高考綜合改革適應(yīng)性卷第18題）已知橢圓 C 的離心率為 ，左、右焦點分別為F₁ε-1，0） ， F₂-1，0） .1）求 c 的方程；2）已知點 M₀1，4） ，證明：線段 F₁M₀ 的垂直平分線與恰有一個公共點；3）設(shè) M 是坐標(biāo)平面上的動點，且線段F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

析解 （1）由橢圓定義易得

（2）將直線 與橢圓方程 1聯(lián)立，再利用一元二次方程的判別式等于零，即可說明線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點；（3）由線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點轉(zhuǎn)化為設(shè)切點為 Q ，即 F₁Q=MQ ，結(jié)合圖形得到 MQ+F₂Q=2a=4 ，利用圓的關(guān)系，即可獲得結(jié)論.

評注本題命題背景源自人教 A 版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第一冊）第三章圓錐曲線的方程中的“閱讀與思考一圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”．本題條件中已知圓錐曲線上的點以及焦點，應(yīng)考慮使用圓錐曲線的定義．解決這類問題要關(guān)注解題方向的選擇及計算方法的合理性.一是“圖形”引路，一般需畫出草圖，把已知條件翻譯到圖形中；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子表征.

例4（2024年新高考Ⅰ卷第11題）造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線 c 的一部分.已知C 過坐標(biāo)原點 O. 且 c 上的點滿足橫坐標(biāo)大于－2，到點 F2，0） 的距離與到定直線 x=aalt;0） 的距離之積為4，則（ ）.

圖1

A. B.點 在 c 上C.C 在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點 ΞΛ_x0，y0） 在 c 上時

析解 根據(jù)題設(shè)將原點代入曲線方程整理得 ，選項 A 正確；

將點 代人曲線方程，易得選項 B 正確;由曲線的方程可得 x= ，此時y2 gt;1，選項C錯誤；

當(dāng)點 ΞΛ_x0，y0） 在曲線上時， ，故- +2，選項 D 正確.

評注這類問題解答的關(guān)鍵是文字閱讀、理解題意、提取信息、聯(lián)系知識、類比遷移、化歸與轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)有許多著名曲線，例如笛卡兒葉形線、阿基米德螺旋曲線、 ∴ 臟線、卡西尼卵形線、擺線（外擺線、內(nèi)擺線）懸鏈線、四葉草曲線、蔓葉線，圓的漸開線等，這些曲線作為命題背景的高考試題層出不窮.比如，2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷第11題涉及姜伯駒先生“走進(jìn)數(shù)學(xué)叢書”《繩圈的數(shù)學(xué)》或是拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)問題，其實，素材來自哪里不重要了，關(guān)鍵是要明白國家選拔性考試的意圖，考能力、考素養(yǎng)，旨在考查考生閱讀能力以及能否用學(xué)過的知識解決問題的能力.因此，一線教師要更新課程觀、教學(xué)觀，改進(jìn)教學(xué)方式，課堂多開展啟發(fā)式、探究式、討論式教學(xué)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生遵循認(rèn)知規(guī)律，重視概念教學(xué)，夯實學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，突出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)，引導(dǎo)培育支撐學(xué)生終生學(xué)習(xí)的能力、解決問題的能力.

教師教學(xué)要重視教材.“閱讀與思考”往往含有學(xué)科融合、數(shù)學(xué)文化等教學(xué)價值內(nèi)容.如，人教A版《數(shù)學(xué)》選擇性必修一第116頁，介紹了用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓.若教師能利用好這一素材開展信息技術(shù)融合教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，感悟平面上到定點與到定直線距離的比值為正常數(shù)的點的軌跡是橢圓、雙曲線、拋物線其中的某一種，感受教材素材對探索方式、思維方式、科學(xué)精神等的潛移默化影響，實現(xiàn)學(xué)科育人價值，必將事半功倍.因此，教師應(yīng)加強課標(biāo)學(xué)習(xí)、重視教材教學(xué)、遵循教學(xué)規(guī)律，努力將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué).

3 教學(xué)啟示

3.1以薄弱環(huán)節(jié)為突破口，全面落實基礎(chǔ) 知識

近年高考試題通常會關(guān)注理性思維的隱性考查，重視數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想方法的滲透，要求考生要在比較復(fù)雜的情境中把握數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，厘清各種聯(lián)系，形成合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

要重視教材概念教學(xué)，狠抓基礎(chǔ)知識的落實一是做到全覆蓋，不僅重視主干知識，而且要關(guān)注非主干知識，做到每節(jié)過關(guān)、單元過關(guān)、章節(jié)過關(guān)，重視知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；二是落實過程教學(xué)，重視高一、高二、高三教學(xué)的整體聯(lián)動，加強概念、命題、法則、公式等教學(xué)，夯實基礎(chǔ)，重視知識的發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的過程；三是關(guān)注銜接性，做好初高中知識的有機銜接，尤其是做好平面幾何知識、代數(shù)式的化簡計算等銜接教學(xué).

3.2以提高學(xué)科素養(yǎng)為落腳點，切實加強思維能力訓(xùn)練

近年的高考進(jìn)一步強調(diào)了對知識和概念的深人理解和掌握，聚焦關(guān)鍵能力與學(xué)科素養(yǎng)，突出解題思路的多元性和解題方法的靈活性，重視考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力.思想方法是高中數(shù)學(xué)的精髓，應(yīng)滲透到各章節(jié)的教學(xué)中，成為知識交匯的源泉，是數(shù)學(xué)教學(xué)的“智高點”很多試題可以利用化歸與轉(zhuǎn)化思想實現(xiàn)問題的合理轉(zhuǎn)化，尋找解決問題的思路等.

數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)知識技能、思想方法、情感態(tài)度的整合.六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)滲透到每個環(huán)節(jié)中，強調(diào)算法、算理、算式的“三算合一”，尤其在解析幾何、三角恒等變形以及代數(shù)運算中要強化數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；在概率統(tǒng)計等實際應(yīng)用問題中，應(yīng)加強數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；應(yīng)加強推理論證能力的培養(yǎng)，有效提高邏輯推理素養(yǎng)，尤其在立體幾何教學(xué)中，要凸顯邏輯推理能力的作用，同時還切實努力提高數(shù)學(xué)五大能力和兩個意識；此外要關(guān)注體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多元價值，挖掘數(shù)學(xué)教材的文化內(nèi)涵.

3.3關(guān)注答題策略優(yōu)化，切實提高學(xué)習(xí)效果

高三總復(fù)習(xí)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)是回歸教材的解題教學(xué)，要以教材四條主線為引導(dǎo)，整固教材資源復(fù)習(xí).

復(fù)習(xí)教學(xué)不但要認(rèn)真落實國家課程標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生全面掌握基礎(chǔ)知識與通性通法，正確把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，具有熟練的基本技能，能夠準(zhǔn)確地“按部就班”解決常規(guī)問題，還要在此基礎(chǔ)上，能根據(jù)問題的特點，尋找快捷解決問題的途徑，使優(yōu)秀學(xué)生不但有能力解決“新題”，更能靈活地應(yīng)用知識快速地準(zhǔn)確解決常規(guī)題.如在解題教學(xué)中要講清“如何解、怎么解”，更要講“為什么這樣解”、“還有沒有其它解法”，應(yīng)加強問題結(jié)構(gòu)分析“它是什么問題？跟學(xué)過、做過的有何關(guān)聯(lián)？相似性和差異性？”，謹(jǐn)防機械套題，規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù)，不斷總結(jié)解題經(jīng)驗，歸納提升思想內(nèi)涵，優(yōu)化解題策略，提高應(yīng)試效益.

總之，復(fù)習(xí)備考要認(rèn)真研究課標(biāo)、研究教材，研究當(dāng)前教育改革的深層意蘊，及時把握高考改革的最新動態(tài).創(chuàng)新教學(xué)方式，提升學(xué)生思維能力，及時將教學(xué)重點從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).讓優(yōu)秀的學(xué)生得高分，讓努力的學(xué)生能得分.

參考文獻(xiàn)

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