基于大概念視角下的高中數學單元教學設計的實踐與思考

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準》（2020版）提出高中數學教學要注重知識的結構性、系統性，以單元教學設計開展教學活動，將教學的視野從課時拓展到單元，從關注知識點的教學到關注更大范圍的教學.

學校開展青年教師賽課活動，課題是“冪函數”.蘇教版在這章的研究順序是按照指數，對數，函數的概念和性質，冪函數，指數函數，對數函數的順序研究的，將冪函數作為第一個函數研究，是為后面研究指數函數和對數函數提供研究思路，因此基于大概念視角下從單元教學的角度調整教學方式，激活學生已有的知識，引導學生遷移應用，融會貫通，構建新的知識體系，促進學生數學核心素養的形成.

2 學情分析

冪函數是必修1第六章的內容，是生活中常見的函數模型，也是基本初等函數的重要內容之一.在此之前，學生具備已學的正比例、反比例、二次函數等知識，為本課的學習打下了基礎.但是，學生缺乏對研究一類函數的內容和方法的認識，教師在教學過程中聯系學生學習函數的經驗，以及前面學習過的一般函數的概念和性質，引導學生通過實例歸納共性、抽象出概念、構建整體思路，再展開具體研究，深刻體會研究一類函數的內容、思路和方法.由于函數思想是一個難點，教師在設計教學時需要按照單元教學思路，整體設計函數主線單元教學，螺旋上升，促進函數理解.

3基于大概念教學的單元教學設計思路

本節課教師要讓學生充分體會研究一類函數的內容、思路和方法，經歷“通過實例歸納共性一抽象概念一圖像與性質一應用”的過程.在教學過程中，教師合理創建實例情境，激發學生興趣，引導學生觀察、歸納出冪函數的概念.在圖象和性質的研究過程中，要注意引導觀察函數解析式的特點，思考如何作圖，分析五個函數圖象的共性和個性而得出性質.通過小組合作交流的方式引導學生自主探究，充分發揮學生的主體作用，讓學生從合作中獲取知識，體會數學學習的樂趣.同時，利用信息技術輔助教學，幫助學生驗證猜想，突破教學難點.

4基于大概念教學的單元教學設計流程

環節一——情境導學，聚焦概念

問題1我們知道函數是刻畫現實世界的數學模型，前面我們學習了函數的概念，并研究了一般函數的性質，請同學們思考我們能否利用一般函數的性質去研究具體函數.在生活中，其實有很多類型的函數，請看下面幾個例子，你能找到其中的函數關系嗎？

（1）小明以1元／斤的價格買了某種蔬菜 x 斤，那么她需要支付的總價 y 為 y=x 元；（2）如果正方形的邊長為 x ，那么正方形的面積y 為 y=x² ：（3）如果立方體的棱長為 x ，那么立方體的體積y 為 y=x³ ：（4）如果一個正方形場地的面積為 x ，那么這個正方形的邊長 y 為

（5）如果某人 x 秒內騎車行進了1千米，那么他騎車的平均速度 y 為 千米/秒.

追問1：觀察這五個函數的解析式，從解析式的結構特征看，它們有什么共性？

追問2：你能否根據特點歸納總結出這類函數 的定義？

設計意圖教師從學生熟悉的生活實例引入，對五個基本函數創設情境，引導學生從中抽象出冪函數的定義，構建出函數關系，體會函數的應用性.通過總結出共性，為后面抽象出冪函數的概念做鋪墊.

環節二——師生互動，建構新知

師：我們把這類函數稱為冪函數，你能給出冪函數的定義嗎？（學生討論總結出冪函數的定義，教師補充完善）：一般地，函數 y=x^α 叫做冪函數，其中 x 是自變量， α 是常數.

師：你能寫出哪一些冪函數嗎？

（學生回答，師生判斷是否為冪函數）

師：剛才大家的舉例都很好.我們一起來辨析下面函數是否是冪函數？

②y=2x² ③y=（x+1）³ ⑦7=x^α+1

（師生判斷并解答原因）

問題2 y=1 是冪函數嗎？

生 1：y=1 不是冪函數，因為不是 的結構.

生2：我覺得是冪函數， y=1 可以寫成 y=x⁰ 的形式. y=1=x⁰ ，其中 x≠0 ，該探究中沒有強調，所以不是冪函數.

師：兩位同學講的都比較好.他們的回答，讓我們更深理解了冪函數的概念.知道了 y=1 當定義域為 R 時不是冪函數，當 x≠0 時是冪函數

問題3 若函數 y=（m-2）x² 為冪函數，則 m 值為多少？（學生解答，教師完善）

設計意圖 教師給出冪函數定義后，講解冪函數這一形式概念的特征，然后對概念進行辨析和運用.學生在把握冪函數這一定義后，能夠較好地辨別冪函數.在這一過程后，學生更加深入理解了冪函數這一形式概念的特征.

環節三一—自主學習，合作探究

師：剛才我們已經了解了冪函數的基本概念，下面我們進一步了解冪函數的性質，通過我們之前學習的內容你覺得可以從哪幾個方面去研究？

生3：基本概念學完，可以了解函數的圖像與性質，最后是函數的運用

師：對于冪函數，我們以這五個冪函數為例： ，如何去研究其定義域、值域、單調性、奇偶性等性質呢？

生4：先看函數定義域，畫函數圖像，再觀察圖像得到其他性質.

師：如何畫圖？這些圖像你都會畫嗎？

生5：我們以前不會畫圖時都用描點，

師：很好.那下面大家自己動手，在同一坐標系中畫出這五個函數的圖像.

（學生自已動手描點畫圖，待學生畫好后，找幾個典型的投影，學生互評）

問題4觀察它們的圖象，上面五個函數有哪些共同特性？你能總結出它們的哪些性質？

設計意圖 面對新的問題，把機會給學生，學生自己動手實踐，教師利用投影展示部分小組成果，指出作圖中的問題，引導學生觀察圖象總結冪函數的性質，形成“特殊---般”的研究思路，明白研究這類函數的內容、思路和方法，提高他們的工具意識和數學閱讀能力.

師：通過冪函數圖像，你能否完成下表？（學生結合圖像和定義域完成表格）

問題5 你能否總結出這些冪函數有哪些共同性質？

生6：根據圖像，我發現在第一象限冪函數 y= x^α 的單調性與指數 α 有關

當 αgt;0 時，冪函數是單調遞增的；當 α=0 時，冪函數是常數函數；當 αlt;0 時，冪函數是單調遞減的；

設計意圖教師可引導學生結合已有的學習函數的經驗，嘗試梳理冪函數的研究思路，發揮學生在課堂中的主體地位.從圖象分布的區域、公共點，函數的對稱性（奇偶性），函數的變化趨勢（單調性）三個方面總結冪函數性質中的“共性”.通過小組合作探究，讓學生主動探索，參與梳理，強化“套路”，提高學生的探究能力，學會數學，學會研究數學的能力.從特殊的冪函數的性質總結出一般的冪函數的性質.

問題6 你能運用冪函數的性質大致畫出 y= 的圖像嗎？你通過剛才的總結能說出這個函數哪些性質？

生7：定義域為 {x∣x≠0} ，偶函數，并且在第一象限單調遞減，根據偶函數性質，關于 y 軸對稱，在第二象限單調遞增

（學生畫出大致圖像）

師：說的很好.你能否總結出 的圖像有何特點？何時關于 y 軸對稱？何時關于原點對稱？在第一象限內單調性如何？

生8：對于函數 ，先看指數正負，指數為正，函數在第一象限內遞增，指數為負，函數在第一象限內遞減；其次再看分母，分母為偶數，只有第一象限有圖像；若分母為奇數，則繼續看分子，若分子為偶數，則為偶函數，若分子為奇數，則為奇函數

設計意圖將學生已經會的描點作圖應用到冪函數的作圖中，直觀體驗作圖中的取點、連線，體會函數圖像的對稱美.借助“形”的直觀更深刻理解冪函數的概念，借助幾何直觀，找到解決問題的思路，體會“數形結合”的思想.另外，指數由整數到分數，對偶函數的概念進行了拓展，提升學生的數學運算和邏輯推理等核心素養.

環節四一綜合運用，鞏固新知

例1 請你利用冪函數的性質，比較下列各組數的大?。?/p>

設計意圖學生獨立完成練習，教師引導學生總結其中運用到的冪函數的性質.作出冪函數圖像后，學生通過“形”，對冪函數的性質已經有了一定的理解，本題再通過“數”解決問題，由圖像直觀到理性推理，加深對新知識的理解，

環節五一歸納整理，整體認識問題7 通過本節課的學習，有哪些收獲？

生9：就知識而言，學會了冪函數的概念和圖像，以及利用圖像理解函數性質（解析式，定義域，圖像，值域，單調性，奇偶性）.

生10：學會了研究一個新函數的一般方法.由特殊情況推導一般情況

設計意圖教師從知識、方法、思想三個層面引導學生回顧本課所學，教師啟發、補充、完善，積累、體會研究函數的方法和思路，學會學習數學，同時為后續研究指數函數和對數函數做好鋪墊.

5基于大概念教學的單元教學反思

5.1設置生活情境，聚焦大概念單元教學的教學目標

情境引入方式可以讓學生提前對大概念視角下的單元教學有一個整體認知.即先對整體的概貌有一定了解，再研究局部問題.教育家奧數貝爾曾經說過，認知一個未知領域時，從已知的整體中分化細節，比已知的細節中概括整體要容易的多.當然，大概念下的單元教學在情境設置時，應在學生的最近發展區，并與要建構的新知識緊密相關，通過情境的催化，催生出新知識的建構，在教學活動中建構整體知識.例如，本節課中，先通過對五個函數在生活情境中的整體呈現，感知其函數模型，進而研究每個函數的性質，最后歸納這類函數的特點，符合學生的認知規律

5.2 注重合作交流，探究大概念單元教學的“再創造”實施

以數學知識發展為主線的合作探究，通過學生的“再探究、再創造”，從知識的內在邏輯聯系，將相似知識點關聯起來構建知識網絡，形成結構化的數學認知網絡.本節課的教學中，學生已有用描點法作基本圖像的經驗，但是作圖能力有限，并且對圖像的認識也不夠清晰，以動手作圖為切入點，通過再經歷畫圖過程，引導學生理解作圖要點，明確看函數圖像的基本方法，進而解決具體的問題.教學生畫圖、識圖、用圖是后續學習其他函數的圖像與性質的基本方法.讓學生在用函數圖象概括性質的過程中充分交流、產生認知沖突，教師及時捕捉學生的認知難點，提煉關鍵問題、促進思維碰撞，助力學生思考、分析解決問題.

5.3構建主題問題，落實大概念單元教學的 后續鋪墊

“主題問題”是指“牽一發而動全身”的重要核心問題.設置主題問題，引導學生在具體的問題情境中，經歷問題解決的過程.主題問題的驅動型，使得單元教學更具有探究性.

冪函數是學完函數基本性質后的第一個函數，設置主題問題引導學生模仿、重復和運用研究冪函數的路徑和方法，探究、得到這個函數的圖象和性質，進一步體會其中用代數運算研究函數性質的方法，為后面研究“指對函數”做好鋪墊.

5.4強調反思悟學，體現大概念單元教學知識的結構融合

總結反思的目的是對新學知識進行總結經驗，反思不足.反思有助于學生有效的構建復雜的認知結構.重視反思悟學，培養學生的類比和歸納能力，讓學生學會用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界.本節課，及時反思過程，發現不足，教學生不斷“回頭看”、提煉數學探究的過程，既是嘗試、犯錯的過程，也是學習、矯正的過程.得到冪函數的性質后讓學生“回頭看”研究的思路是如何形成的、研究的方法是如何產生的、研究過程中犯了哪些錯誤受到哪些啟發等，再現再創造的過程.