數學直觀賦能深度解析函數問題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0021-04引用格式：.數學直觀賦能深度解析函數問題[Jl.中國數學教育（高中版），2025（6）：21-24.

數學直觀是整體把握數學的有效方法，具有發現功能，數學家往往以數學直觀來推動數學發展．數學家M.克萊因提出，數學直觀是對概念、證明的直接把握．數學直觀思維是個體依靠自己的體驗和經驗直接把握數學問題本質的一種判斷能力，體現了數學思維形式的整體性和綜合性、思維過程的簡捷性和直接性，以及思維方式的自由性.數學直觀主要包括幾何直觀和代數直觀．培養良好的數學直觀能力對學生的數學核心素養發展和數學問題解決具有重要意義．下面，筆者將圍繞函數教學中培養學生數學直觀能力的設計和思考進行交流與分享.

一、明晰函數表示是培養數學直觀的根本

在高中階段，學生不僅系統學習了函數的性質，還重點學習了指數函數、對數函數、冪函數和三角函數這些基本初等函數.在函數學習中，教師要引導學生根據需要積極調用所學函數模型，對問題進行思考和解答．其中，函數表示方法既是函數的呈現方式，又是研究函數性質、解決函數問題的有效載體和重要思維方式.

例1已知函數 f（x） 的定義域為 ，若存在實數mgt;0 ，對任意的 x∈R ，有 |f（x）|?m|x| ，則稱 f（x） 為 F 函數．給出下列函數：

①f（x）=x²

②f（x）=log（|x|+2），

④f（x） 是定義在 上的奇函數，且對任意實數x₁ ， x₂ ，都有 |f（x₂）-f（x₁）|?2|x₂-x₁|

③f（x）=xcosx

其中是 F 函數的序號為

上述問題定義了一種新的函數，涉及學生熟悉的初等函數和函數性質，用什么方式研究函數及其性質是思考并進一步解題的關鍵.

追問1：怎樣分析 ① 和 ② 中的兩個函數是否為F 函數？

預設： ① 和 ② 中的兩個函數都是學生熟悉的函數，可以利用函數圖象直觀判斷這兩個函數均不是F 函數；也可以借助代數分析，通過舉反例說明這兩個函數不滿足題意．在 ① 中，當 x=2m 時， |f（2m）|=4m²gt; m∣2m∣=2m² ，與定義矛盾，所以 ① 錯誤；在 ② 中，注意到 ，也與定義矛盾，所以 ② 錯誤．從而說明這兩個函數均不是 F 函數.

追問2：如何分析 ③ 和 ④ 中的函數是否為 F 函數？

預設： ③ 中的函數 f（x）=xcosx 不是基本初等函數，但注意到解析式中的余弦函數滿足 |cosx|?1 ，所以 |f（x）|=|x||cosx|?|x|. 當 m?1 時，有 |f（x）|?m|x| 成立．所以 f（x）=xcosx 是 F 函數．對于 ④ 中的函數，根據函數 f（x） 是奇函數，知 f（0）=0 .若令 x₁=0 ，則有 ，進而可以得到 |f（x₂）|?2|x₂| 當 m?2 時，有 |f（x）|?m|x| 成立．所以 ④ 中的函數 f（x） 是 F 函數.

題目中分別借助函數的圖象、解析式和特殊點來研究函數的性質，學生對問題進行了有效思考并給出了解答，在函數問題中，教師引導學生關注并重視圖象的直觀性和整體性、解析式的代數結構和數量關系，以及特殊點的支點作用，增強學生有效運用函數表示方法的能力和意識.

二、數學直觀能力的培養與應用

1.幾何直觀是培養數學直觀的引擎

眾所周知，圖象是分析和解決函數問題的有效工具．在函數問題中，積極嘗試、有效利用函數圖象可以實現思維活動的具象化，優化問題的思考和解答，有利于發展學生的函數思維，提高學生的數學直觀能力.

例2過點 可以作曲線 的兩條切線，則（ ）.

（A） （B） （C） （204號 （D）

預設：作出對數函數 的圖象，如圖1所示利用函數的單調性和凹凸性，可以猜出點 位于函數圖象的上方，且在 y 軸右側．如果點 在 y 軸左側，那么過點 作任意一條斜率小于0的直線都與 y 軸相交．因此，該直線一定不是曲線的切線，此時過點 只可以作一條曲線的切線.綜上所述，該題的正確答案為選項D.

圖1

例3設 a∈（0， 1） ，若函數 f（x）=a^x+（a+1）^x 在 區間 （0，+∞） 上單調遞增，則實數 Ψ_a 的取值范圍是

通常情況下，如果考慮研究導函數 f^′（x）?0 ，x∈（0，ζ+∞） 恒成立，即 [f^′（x）]_min?0 ，求解過程較為復雜.

追問1：除直接利用導函數系統研究函數的性質來解答問題外，能否利用函數圖象給出簡捷、直觀的解答？

預設：函數 f（x） 由指數函數 y=a^x 和 y=（a+1）^x 相加而成，可以嘗試利用它們的圖象進行思考，這兩個指數函數的圖象如圖2所示.

圖2

追問2：如何利用上述兩個指數函數的圖象進行思考？

預設：借助端點處的導數值 f^′（0）=0 求出實數 α_a 的一個臨界值．因為 ，所以a（a+1）=1 由 a∈（0， 1） ，得 由 f^′（0）?0 ，

作為取值范圍的臨界點，區間的端點通常是滿足特定關系的起始或終止位置，它有別于范圍內部的點．在分析問題時，可以先借助端點滿足指定要求確定必要條件，若進一步驗證和論述，往往還能說明該必要條件也是充分條件.

追問3：由兩個指數函數的圖象和它們的變化情況，能否直觀判斷追問2的預設的正確性？

預設：根據題目條件，可以得到 f^′（0）?0 ，即y=（a+1）^x 在 x=0 處導數值（正值）的絕對值大于等于 y=a^x 在 x=0 處導數值（負值）的絕對值，再由兩個函數的圖象，知隨著自變量 x 在區間 （0，+∞） 內不斷增大，函數 y=（a+1）^x 的瞬時變化率為正數且逐漸增大， y=a^x 的瞬時變化率為負數且逐漸增大并趨近于0.因此， f^′（0）?0 成立等價于 f^′（x）?0 ， x∈（0，?+∞） 恒成立.

作為高中數學學習的重要函數模型，基本初等函數為直觀分析和探究、定性思考和解答函數問題提供了重要支點．通過聯系、類比與遷移、轉化與探究，學生形成對函數的直觀認識和對問題的定性判斷.

2.代數直觀是發展數學直觀的原動力

觀察和聯想是產生數學直觀的基礎．在函數問題中，認真觀察、系統分析函數解析式的形式和結構特征，有助于挖掘函數的隱含信息和典型規律.通過聯想和類比，搭建數學對象的內在聯系，有助于形成合理、有效的思考和解答方向.

例4已知 是偶函數，則 α_a 的值為（ ）.

（A） ^-2 （B）-1

（C）1 （D）2

基于例4中的函數信息，系統分析函數解析式研究函數的性質，從函數定義域的視角來看，由偶函數，知 f（x） 的定義域為 {x|x≠0} ．容易想到，應用偶函數的定義 恒成立，通過代數變形求解實數 Ψ_a 的值．這種方法雖然可行，但運算較復雜，不利于學生思考和關注題目中函數的特點，進而領會該題的命題意圖，那么希望學生以什么方式解決問題呢？

預設1：基于 α_a 是函數的參數，是一個常量、未知數，可以利用方程思想給出一個關于 a 的方程來求解．例如，由 f（-1）=f（1） ，解得 a=2 ：

預設2：分析函數解析式，基于函數奇偶性的運算性質，將分子和分母分別除以 e^x ，對其進行變形可以得到 ．此時，分子 x 是一個奇函數.如果 f（x） 是偶函數，那么分母 e^（a-1）x-e^-x 也應該是一個奇函數，再由它的代數結構得到 a=2 ：

例5設函數 .若 f（x）?0 在 （-1， 1） 上恒成立，則.

（A） a=0 （20 （B） a?1 （C） 0

由題目條件，知 ， x∈（-1， 1） ．由此，問題就指向了求解一個含有參數的函數在區間 （-1， 1）

內的最大值問題，導致問題的解答陷人了復雜的運算推理之中.

如果仔細觀察題目中的函數解析式和相關不等式條件，還會引發思考：0能否是某點處的函數值呢？可以得到 f（0）=0 ，進而條件 f（x）?0 在 （-1， 1） 上恒成立可以轉化為 f（x）?f（0） 在 （-1， 1） 上恒成立．由0是區間（-1，1）內一點，且 f（0） 是函數在該區間內的最大值，可知 x=0 是 f（x） 的一個極大值點，即 f^′（0）=0 這一重大發現彰顯了代數直觀分析的價值．由 f^′（0）=0 是一個關于實數 a 的等量方程關系，可知實數 a 只能是一個確定值，經計算即可求出 a=1 ：

在函數問題中，基于對函數解析式的結構分析，獲取函數的隱含規律和題目的隱含信息，利用函數性質梳理題目信息的內在邏輯關聯，有助于將問題轉化為簡單或熟悉的形式，優化對問題的思考和解答.

3.數學直觀能力是函數學習的核心追求

數學直觀（幾何直觀與代數直觀）能力賦予數學學習強大的生命力.運用數學直觀對數學問題加以分析與思考，通過調用已有知識儲備，類比所學典型方法，可以喚起相關的重要活動經驗，將問題轉化為熟悉的、簡單的形式，實現幾何直觀和代數直觀思維的轉化，進而探究問題的本源.

例6若直線 y=ax+b 為曲線 的圖象的一條切線，則 2a+b 的最小值為

該題的常規想法是先利用導數得到曲線 f（x） 的切線方程，再結合已知條件解得 關于切點橫坐標的關系式，進而用切點橫坐標表示出 2a+b ，再將得到的2a+b 的關系式看作函數，利用導數研究該函數的性質并求出最小值.而數學直觀可以引領思維的系統化、清晰化、邏輯化，形成有效的、高層次的直觀認知。

追問1：分析題目，你能發現哪些可能存在聯系的信息？

預設： 2a+b 可以看作當 x=2 時，直線 y=ax+b 上點的縱坐標，即 （2， 2a+b） 是直線 y=ax+b 上一點.

追問2：基于上述發現，可以有哪些新的思考？

預設：既然直線 y=ax+b 是曲線 f（x） 的一條切線，且點 （2， 2a+b） 是該直線上一點，那么問題可以轉化為：當過點 （2， 2a+b） 可以作出曲線 f（x） 的一條切線時，該點的縱坐標 2a+b 的最小值是多少？

追問3：基于上述分析，還能想到哪些更簡捷的方法？

預設：由函數解析式，知 f（x） 是 （0，+∞） 上的遞增函數，且當 x?0 時， f（x）?-∞ ；當 x?+∞ 時，f（x）?+∞ 且 ，由此可知曲線的凹凸性，作出的函數圖象如圖3所示．由過點 （2， 2a+b） 可以作出函數 f（x） 的一條切線，有 所以 2a+b 的最小值為

圖3

三、思考與感悟

數學直觀能力是在知識的學習與實踐中領悟數學思想方法，形成對數學問題快速感知與解決的能力，運用數學直觀思維的過程，能夠不斷提升學生對核心知識理解的系統性和對數學思想方法領悟的深刻性，能夠有效提升學生的數學學習能力，激發他們的學習內驅力，發展他們的數學學習能力和思維品質.

數學直觀能力的培養，可以有效提高學生分析、思考和解答問題的合理性、靈活性和簡捷性，幫助學生養成良好的數學學習習慣．通過應用數學直觀不斷開展數學思考和數學探究，可以更好地培養學生的理性思維，促進學生數學核心素養的發展.

數學直觀能力的培養是數學教學的核心追求．教師以概念理解和問題解決為主線，通過深入思考、自主探究、動手實踐、合作交流等方式開展教學活動，可以不斷完善學生的知識結構體系，有效提升學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，培養和發展學生的創新思維.

參考文獻：

[1]畢力格圖.試論數學直觀[J].數學通報，2013，52（7）：19-21，24.

[2]林新建.基于“核心素養”的數學直觀能力培養途徑[J].數學通報，2019，58（8）：19-22.