根植教材理解數學本質 拓展探索提升思維品質

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0053-08引用格式．根植教材理解數學本質拓展探索提升思維品質：[J]．中國數學教育（高中版），2025（6）：53-60.

探究性教學是以學生為中心，注重主動探索、問題解決和實踐操作的教學方式，旨在引導學生主動發現問題、分析問題和解決問題，從而培養學生的探索性思維、創新精神和終身學習的習慣．正如《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對發展學生數學核心素養的要求一樣，在數學探究性教學活動中，應立足教材內容創設合適的問題情境，引導學生對教材習題深度探究，提升學生的創新能力，助力拔尖創新人才培養，將發展學生的數學核心素養貫穿于數學探究活動的全過程.

一、問題提出

按照《標準》的要求，培養學生數學核心素養的關鍵是讓學生經歷數學探究、理解數學本質和提升思維品質．那么，如何通過教材習題的深度探究，引導學生理解數學的本質，從而提升學生的思維品質？筆者以人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）選擇性必修第一冊中的一道圓錐曲線習題的探究性教學為例，通過從特殊到一般地創設情境，以問題驅動學生主動思考，引發學生拓展探索，在逐步揭示問題本質的過程中，讓學生學會用探索的眼光觀察教材習題，以拓展的方式思考教材習題，從應用的途徑掌握教材習題，使教材習題真正成為提升學生創新思維品質和發展學生數學核心素養的沃土.

二、教學實踐

1．重溫習題，引發思考

引導語：同學們，我們課前已經對教材中圓錐曲線的部分習題進行了研究，本節課我們一起來回顧研究內容，展示探究過程，重點聚焦在一道習題的拓展探究、結論歸納和方法遷移上.

習題再現：（人教A版教材選擇性必修第一冊第116頁習題3.1綜合應用的第11題）如圖1，矩形ABCD中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點， R ， s ， T 是線段 OF 的四等分點， R^′ ， S^′ ， T^′ 是線段 CF 的四等分點．證明直線ER 與 GR^′ 、 ES 與 GS^′ 、 ET 與 GT^′ 的交點 L ， M ， N 都在橢圓 上.

圖1

問題1：如何證明點 L ， M ， N 在橢圓 （agt;bgt;0） 上？

師生活動：通過問題引導，學生反饋課前研究教材習題的情況，教師引導學生展示證明過程，具體如下.

證明：依題意，得 ， 所以 所以 GR^′ 的方程為 同理， ER 的方程為 聯立 和 ， 得 類似地，可以得到 經檢驗， 都滿足方程

故點 L ， M ， N 都在橢圓 上.

【設計意圖】教師引導學生回首教材習題，回顧證明過程，重溫證明點在曲線上的基本方法，總結解題思路，為進一步拓展探究作準備．

2.拓展探索，歸納性質

引導語：雖然我們驗證了點 L ， M ， N 都在橢圓 上，但為什么像 L ， M ， N 這樣的點一定會在橢圓 一 （agt;bgt;0） 上？其中隱含著

什么規律？

問題2：除點 L ， M ， N 外，你還能找出一些類似的也在橢圓 （agt;bgt;0） 上的點嗎？這些點有怎樣的特征？

師生活動：教師引導學生發現，可以從增加線段 CF 和線段 oF 的等分點的方法入手（如圖2，將它們各六等分），學生用類似方式說明這些交點 N_i （i=1 ，2，3，4，5）也都在橢圓 上.

圖2

若進一步增加等分點的個數，則可以類似證明其交點也都在橢圓 1 （agt;bgt;0） 上，由此可以得到如下更一般的性質.

性質1：在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，分別把線段 oF 和線段 CF 分成 n（n?2） 等份，線段 oF 上的分點依次為 E_i （ （i=1 ，2，…， n-1） ，線段 CF 上的分點依次為 ，則直線 GD_i 與 EE_i 的交點 都在橢圓 上.

引導語：性質1體現了求軌跡方程的一種基本方法一一交軌法.接下來，我們通過引入參數 λ ，利用向量表示 R ， s 兩點之間的關系，從更一般的意義上進行以下拓展探究.

探究1：如圖3，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= 2b （2 （agt;bgt;0） E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，R 是線段 oF 上的點， s 是線段 CF 上的點．若 ， ， 0?λ?1 ，試探究 ER 與 GS 的交點 P 是否在橢圓 ：

圖3

師生活動：教師通過探究活動，引發學生主動思考，學生類比推導并展示以下探究過程.

解：因為 F（a， 0） ， C（a，b） ， ，所以 ， 0?λ?1 因為 ，所以ks=-b所以直線 GS 的方程為 因為 R 是線段 oF 上的點， ，所以 R（λa， 0） ：因為 E（0，δ-b） ，所以當 λ=0 時，點 P 與點 G 重合，此時點 P 在

橢圓x2+22 當 0lt;λ?1 時， 所以直線 ER 的方程為 聯立 和 ，解得

，即點 因為點P的坐標滿足方程 所以點P在橢圓 上由此，教師引導學生歸納得到性質2.性質2：如圖3，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= E F G H

2b（agt;bgt;0） . ， ， ， 分別是矩形四條邊的中點， R 是線段 OF 上的點， s 是線段 CF 上的點．若 ， ， 0?λ?1 ，則 ER 與 GS 的交點 P 在橢圓 上.

【設計意圖】根據學生的認知規律，采用從特殊到一般的探究式學習方法引導學生歸納性質1和性質2，并運用問題1的解決方法證明這兩個性質，發展學生的數學抽象和邏輯推理素養.

問題3：這樣兩條線段的交點 P 為什么會在橢圓 上？在計算出點 P 的坐標之前，能否先判斷出點 P 就在橢圓 上？

師生活動：教師引導學生在獨立思考的基礎上交流互動，給出如下說明.當 λ≠0 時，因為 G ， P ， s 三點共線，所以kc=kGs=-Ab同理，由 E ， R ， P 三點共線，得 所以kpEkp=kERks=-b2.設P（x，y），則y+b 即 所以點 P 在橢圓 上.

問題4：點 P 的軌跡是生成橢圓的一種方式，反之，上述性質是否仍成立？

師生活動：學生主動進行深層次思考后，教師總結，即將人教A版教材選擇性必修第一冊第108頁例3的結論引申推廣，可以得到“如果一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個負常數（不等于-1），那么它的軌跡是橢圓（除去兩個定點）”.這是生成橢圓的另一種方式，反之，可以得到橢圓的性質3

性質3：已知 A ， B 是橢圓 上關于原點對稱的兩點， ρ_e 為該橢圓的離心率， P 是該橢圓上異于 A ， B 兩點的任意一點，若直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，則 k_PAk_PB=e²-1 ：

【設計意圖】教材以例題和習題的形式介紹了生成橢圓的多種方法，通過教師提問的方式引導學生梳理總結，加強知識之間的聯系與整合，進一步幫助學生建立對橢圓性質的整體認知，這里探究得到的性質3其實就是橢圓的第三定義，教師采取含而不露的處理方式，可以避免增加學生的額外負擔.

問題5：你能運用上述思想方法探究更一般的點 P 的軌跡嗎？

教師啟發：在性質2中，由 λ（0?λ?1） 的取值范圍，知點 P 只能在第一象限或坐標軸的正半軸上．若改變點 R 的位置，擴大 λ 的取值范圍，則可以得到點 P 在其他象限的軌跡.

探究2：在矩形ABCD中， |AB|=2a ， ∣BC∣=2b （204號 （agt;bgt;0） ， E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點， R 是直線 oF 上的點， s 是直線 CF 上的點．若 ， λ∈R ，試探求 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡方程.

師生活動：教師先引導學生類比探究并進行適當交流，然后讓學生展示，教師引導完善，得到如下結論.

結論：當點 R 在線段 OH 上時， -1lt;λlt;0 ，點 P 在第二象限；當點 R 在線段 OH 的延長線上時，λlt;-1 ，點 P 在第三象限；當點 R 在線段 oF 的延長線上時， λgt;1 ，點 P 在第四象限；當點 R 與點 o 重合時， λ=0 ，點 P 與點 G 重合；當點 R 與點 F 重合時， λ=1 ，點 P 與點 F 重合；當點 R 與點 H 重合時，λ=-1 ，點 P 與點 H 重合；由探究1，知點 P 的縱坐標滿足 ，所以點 P 與點 E 不可能重合.

在此基礎上，教師引導學生歸納得到性質4.

性質4：如圖4，在矩形ABCD中， |AB|=2a |BC|= 2b（agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，R 是直線 oF 上的點， s 是直線 CF 上的點．若 ， ， λ∈R ，則 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡是橢圓 （ （除去點 E ）.

圖4

【設計意圖】通過引導學生反思習題的求解過程，分析軌跡的完備性，在體會數學嚴謹性的同時，學會用幾何的眼光觀察、思考點 R 在不同位置時對點 P 的影響，滲透數形結合的思想．

問題6：你能通過類比上述生成橢圓的方式得到

生成雙曲線的方式嗎？

師生活動：教師引導學生關注人教A版教材選擇性必修第一冊第121頁“探究”的內容，發現橢圓與雙曲線的第三定義本質上一致．在此基礎上，教師引導學生主動進行如下探究.

探究3：設點 P 是直線 ER 與 GS 的交點，其中 R 是直線 OF 上的點， s 是直線 CF 上的點，要使得點 P 的軌跡是雙曲線，只需要滿足 ，即需要 k_ERk_GS= b 經過類比探究，得到性質5和性質6.

性質5：如圖5，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= 2b 1 （agt;bgt;0） ！ E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，R 是直線 oF 上的點， s 是直線 CF 上的點．若 ， ， λ∈R ，則 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡是雙曲線 （除去點 E ）.

圖5

性質6：已知 A ， B 是雙曲線 上關于原點對稱的兩點， ρ_e 為該雙曲線的離心率，P 是該雙曲線上異于 A ， B 兩點的任意一點，如果直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，那么k_PAk_PB=e²-1 ：

追問：能否將性質3和性質6統一起來？

師生活動：教師在引導學生將橢圓和雙曲線的方程統一成有心圓錐曲線方程的基礎上，讓學生交流互動，得到有心圓錐曲線的統一性質，即性質7.

性質7：已知 A ， B 是有心圓錐曲線 . mx²+ny²=1 m， n 同正或異號）上關于原點對稱的兩點， P 是 上異于 A ， B 的任意一點，若直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，則 業

【設計意圖】從橢圓與雙曲線的類比出發，將兩者統一起來，顯得十分自然．這樣的拓展探索既能發展學生的數學抽象和邏輯推理素養，又能提升學生的創新思維品質.

問題7：如果不直接給出 s ， R 兩點之間的依賴關系，還能得到類似的性質嗎？

探究4：在矩形ABCD中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，R 是直線 OF 上的點， s 是直線 CF 上的點.若 ， ， λ ， μ∈R ，試探究直線 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡.

師生活動：教師啟發學生用類比方法探究交點的軌跡，引導學生對兩個相對獨立的參變量 λ ， μ 之間的關系進行探究，通過分類討論得出相應結論．經過交流互動，完善探究過程如下.

解：由 ，得 S（a，μb）

所以

所以 GS 的方程為 ，即 y-b=

同理，得 R（λa， 0）

于是當 λ=0 時， R 為原點，直線 ER 為 y 軸， ER 與 GS 的交點為點 G ：

當 λ≠0 時， ，直線 ΔER 的方程為 y= -x-b，即y+b=

和 ，得 y²-b²=

當 ，即 μ=1-λ 時， ，即 ，此時點 P 的軌跡是橢圓（除去點 ;

當 （20 ，即 μ=1+λ 時， 2 ，即 ，此時點 P 的軌跡是雙曲線（除去點 G ， E ）.

一般地， 令 ，即 μ=1+mλ，γ²-b²= 即

若 mx2=1表示雙曲線，則點P的軌跡是雙曲線（除去點 E ）；

若mlt;0且m≠-g2， 表示橢圓，則，點 P 的軌跡是橢圓（除去點 E ）；

表示圓，則點 P 的軌跡是圓（除去點 E ）；

若 m=0 ，則 μ=1，λ∈R ，由 ，得y=b ，則點 P 的軌跡是一條直線，

綜上所述，直線 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡可能是圓或橢圓或雙曲線（除去特殊點），也可能退化為一條直線．其中， y-m2=1可以看作有心圓錐曲線的另一個統一方程，從而得到性質8.

性質8：在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， ∣BC∣=2b （agt;bgt;0） ： E F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點，R 是直線 oF 上的點， s 是直線 CF 上的點．若 ， ， λ ， μ∈R ，則直線 ER 與 GS 的交點 P 的軌跡方程是

【設計意圖】教師引導學生在更一般、更綜合的情境中進行拓展探究，體會運用坐標法解決問題的思想方法，領悟有心圓錐曲線的統一性，讓學生養成主動建構整體知識結構的意識，進一步促進學生探索性思維品質的形成和數學核心素養的發展.

3.融通高考，學以致用

引導語：我們知道很多高考數學試題都是命題者從一些重要的教材例題和習題出發，通過巧妙構思再創而成的.接下來，我們結合以上性質，通過兩個典型案例，探討這類源于教材、高于教材、活于教材的高考圓錐曲線試題.

例1（2023年新課標Ⅱ卷 ?21 ）已知雙曲線 C 的中心為坐標原點，左焦點為 ，離心率為

（1）求 C 的方程;

（2）記 C 的左、右頂點分別為 A₁ ， A₂ ，過點（-4，0）的直線與 C 的左支交于 M ， N 兩點， M 在第二象限，直線 MA₁ 與 NA₂ 交于點 P. 證明：點 P 在定直線上.

師生活動：學生思考并嘗試求解．教師及時啟發引導學生聯系上述探究得到的性質，讓學生分組討論和互動交流后，再上傳自己的解答.教師通過信息技術平臺展示學生的解答過程并分析其中的問題，給出關鍵的解答過程如下.

解：（1）由待定系數法，得雙曲線 C 的方程為

（2）如圖6，由（1），得 A₁（-2， 0），A₂（2， 0） ，利用雙曲線的斜率性質，得AMa=e2-1=4，kNA，M=e²-1=4 ：

圖6

設

則由 k_PA1k_MA2=4 ，得 ：

同理，由 k_PA2k_NA1=4 ，得

所以有x-2

因為

所以-2 ，

代人x-2 得

接下來，聯立直線 MN 的方程與雙曲線 C 的方程，再利用根與系數的關系得到點 P 在定直線 x=-1 上，此處不再贅述.

【設計意圖】利用有心圓錐曲線的斜率性質解題，往往可以將問題進行轉化，利用通性通法有效簡化運算，降低運算難度，發展學生的數學運算素養.

例2（2019年全國Ⅱ卷·理21）已知點 A（-2， 0） B（2， 0） ，動點 滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為 .記 M 的軌跡為曲線 C

（1）求 C 的方程，并說明 C 是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交 C 于 P ， Q 兩點，點 P 在第一象限， PE⊥x 軸，垂足為 E ，連接 QE 并延長交 C 于點 G. （20

① 證明： ΔPQG 是直角三角形；

② 求 ΔPQG 面積的最大值.

師生活動：經過教師的啟發和引導，學生分組討論，互動交流，并上傳自己的解答.教師通過信息技術平臺展示學生的解答過程并點評，給出關鍵的解答過程如下.

解：（1）由上述探究的斜率性質，知曲線 C 是以坐標原點為中心，焦點在 x 軸上，不包括左、右頂點的橢圓，其方程為 .

（2） ① 如圖7，由于 PQ 是橢圓過中心的一條弦，利用斜率性質可得kop =e2-1=-1.

圖7

設 ，則 所以 所以 ，即 k_PQk_GP=-1 ，所以 PQ⊥PG ·故 ΔPQG 是直角三角形.② 建立 ΔPQG 面積的函數關系式，利用導數工具求出 ΔPQG 面積的最大值，具體過程略.

【設計意圖】引導學生從正反兩方面強化利用兩直線斜率之積的關系解題，既順理成章地得到了橢圓的方程，又水到渠成地導出了直角三角形，有效化解了解析幾何的運算難點．

4.探源尋根，優化思維

通過回首這道教材習題引申、拓展和應用的全過程，引導學生對探究過程進行復盤，特別是從圓與橢圓可以互變的角度，讓學生進一步領悟問題、洞悉本質、優化思維、直擊高考.

首先，正如章建躍博士所言，解析幾何中的運算是“帶有幾何特征的運算”.事實上，這道教材習題既是生成橢圓的一種方式，又是圓的本質屬性的一種遷移．其本質是基于圓的幾何性質（直徑所對的圓周角是直角）和解析性質（圓上一點到直徑的兩個端點的連線斜率之積等于-1，即若點 P 是圓 O ： x²+y²=a² （agt;0） 上異于直徑 AB 兩端點的任意一點，則 k_PAk_PB=-1 ）的自然延伸，也就是說將圓經過伸縮變換變成橢圓之后，圓的性質就變換為橢圓的相關性質，即橢圓上一點到直徑（橢圓一組平行弦的中點軌跡，也就是過橢圓中心的一條弦）的兩個端點的斜率之積為定值（若點 P 是橢圓 上異于直徑 AB 兩端點的任意一點，則 ），從而讓橢圓“圓”形畢露 （如圖8）.

圖8

其次，近幾年高考數學基于有心圓錐曲線斜率性質命制的試題，除了上述應用中所舉的兩道例題之外，還有2015年全國Ⅱ卷文科第20題和理科第20題、2018年全國Ⅲ卷文科第20題和理科第20題，以及2022年新高考Ⅱ卷第21題等，這些試題融入了圓與橢圓在仿射變換下的對應關系，凸顯了解析幾何數形結合的思想、坐標變換的特點和動態變化的本質，體現了由圓的性質派生出橢圓的性質再由橢圓的性質回歸圓的性質的辯證統一的過程.

三、教學反思

新高考背景下回歸教材決不是一句口號，也不是簡單地停留在高考試題與教材的聯系上，而是要激活教材、整合教材和拓展教材，深挖教材例題、習題與高考試題的內在邏輯關系和考教銜接價值，領悟高考命題的萬變不離其宗一—依標扣本的“宗”就根植于教材中．因此，依托教材落實數學探究性學習，就是要緊扣數學核心概念、性質法則和公式定理的來龍去脈，重構必備知識、思想方法和關鍵能力的結構體系，再現教材典型例題和習題蘊含的教學價值、變式功能和拓展策略．這才是高中數學教學和復習備考的正道.

1.立足教材開展探究式學習，引領學生理解數學本質

按照《標準》的要求，數學教學活動應該立足教材內容，讓學生理解數學的本質.教材中的很多例題和習題都具有探究性和拓展性，為了加深學生對基本概念、基本原理和基本方法的理解，教師在引導學生探究這些例題和習題時，要創設合適的問題情境，啟發學生主動思考，激發學生的探究欲望，在探究式學習的過程中揭示數學的本質．在本案例的探究過程中，學生用交軌法容易驗證滿足條件的交點在橢圓上，但不能僅滿足于此，而是應該通過追問“這些點為什么會在橢圓上”來激活這一問題的本質，引導學生從特殊到一般地進行本源性探究，讓學生發現這些點隱含的本質屬性，從而理解問題的本質特征.

2.基于探索發展核心素養，提升學生數學思維品質形成探索性思維的標志是激發學生開展探究式學習．心理學研究表明，學生的思維活動始于問題的發現，并在問題解決中發展．在數學課堂教學過程中，教師可以創設合適的問題情境、提出恰當的數學問題，引發學生思考，加深學生對課程內容的理解，弄清知識的來龍去脈，將零散的知識點整合為有機的整體，建立完整的知識結構體系．通過類比、聯想、一般化、特殊化等思維方式，教師對現有知識進行拓展延伸，創設新的問題情境，引導學生借助觀察、對比、辨析、抽象、概括等思維活動，發現和提出有意義的數學問題．通過對問題的自主探索、合作交流，形成并發展學生的邏輯推理素養．本案例從教材中的具體問題入手，先通過正向探究和逆向思考相結合的方式得到橢圓的性質，再采用類比的方法聯想到雙曲線，從而得到有心圓錐曲線的統一性質，然后應用這些知識和方法解決高考試題，有效提升了學生的數學思維品質，發展了學生的數學核心素養.

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