一道雙曲線離心率問題的解法探究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）16-0018-03

雙曲線的離心率問題，一直是歷年高考數學試卷中的一個重點與難點，題目背景新穎，形式變化多樣，往往需要從不同思維視角切入，結合不同的技巧與方法來分析與解決下面結合一道高考模擬題中雙曲線離心率的求解，通過多角度思考，合理進行邏輯推理與數學運算，探究不同解法，并反思解題過程.

1 試題呈現

試題 已知橢圓C：4 和雙曲線 C₂ ： 有公共焦點 F₁，F₂ ，它們在第二象限的公共點為點 P ，點 P 與右焦點 F₂ 的連線交 y 軸于點Q ，且 QF₁ 平分 ∠PF₁F₂ ，則雙曲線 C₂ 的離心率為.

2解法探究

解法1 如圖1所示，由題意可知， F₁F₂=2 ，

PF₁=r₁，PF₂=r₂，∠PF₁Q=∠QF₁F₂=∠PF₂F₁=θ.

所以 解得 在 ΔPF₁F₂ 中，由正弦定理可知

所以

所以

在 ΔPF₁F₂ 中，由余弦定理可知r₂²+（2c）²-r₁²=2r₂?（2c）?cosθ.

即 a（5a-2）=0

解得 中

所以雙曲線 C₂ 的離心率

點評 由雙曲線、橢圓的定義得出 （2號再由正弦定理得出 cosθ ，余弦定理得出（2號 進而得出離心率.

解法2由已知，記 ∠PF₂F₁=θ ，則 ∣QF_?1 二

橢圓的離心率

解得 （20

雙曲線的離心率

點評在 ΔPF₁F₂ 中，利用正弦定理的邊化角公式，并結合離心率公式得出 cosθ ，進而再由正弦定理的邊化角公式結合離心率公式求出雙曲線的離心率.

解法3由已知，記 ∠PF₂F₁=θ ，則 ∣QF₁ 二

由 ，得

則

所以

（4-|PF₁|）²=|PF₁|²+2|PF₁|.

所以 A

雙曲線的離心率e=IPF2I-IPF，I

點評由 ΔPF₁Q?ΔPF₂F₁ ，根據相似性質構 建方程組，求解得出 ∣PF₁∣，∣PF₂∣ ，再由離心率公式 求解即可.

解法4 由已知，設 ∣PF₁∣=x ， ∣QF₁∣=t ，則∣PF₂∣=4-x，∣QF₂∣=t.

由三角形的內角平分線定理得

即 xt=8-2x-2t

由已知易知 ，則

則 2x=4t-xt

由 ①② ，得 2x=4t-（8-2x-2t）

解得

所以雙曲線的離心率

點評利用三角形的內角平分線定理得出 Ψ_xt =8-2x-2t ，由相似性質得出 2x=4t-xt ，聯立方程解出 ，最后由離心率公式求解

解法5 依題意，設點 P（x₀，y₀） ，其中 x₀lt;0 ，（20 y₀gt;0 ，則由三角形內角平分線定理，得 即 其中 k （20是直線 PF₂ 的斜率），即 x=-2x，解得

又由橢圓與雙曲線的焦半徑公式，得 ∣PF₁∣ （2 ，其中 e 為雙曲線的離心率，由此解得

點評利用三角形的內角平分線定理結合距離公式得出 進而由橢圓和雙曲線的焦半徑公式建立方程得出雙曲線離心率

解法6 如圖1所示，當 PF₁ 垂直于 x 軸時，不符合題意.所以 PF₁ 不垂直于 x 軸

因為 ∣F₁F₂∣=2 ，所以 F₁（ε-1，0），F₂（1，0）

令P（x，y），所以kp2= k_PF1

因為 1所以y 1又 3x²+4y²=12 ，整理，得 15x²-8x-16=0 所以 或 舍）.所以 所以 把 代人橢圓 ，得

又 a²+b²=1 ，所以

所以 （20號 所以 （2號

點評 令 P（x，y） ，由斜率公式結合二倍角公式得出 再由 3x²+4y²=12 求出點 P 坐標，代入雙曲線方程求出 ^a，b ，進而得出離心率.

3 結束語

離心率是雙曲線的重要幾何性質，是描述雙曲線形狀的重要參數.雙曲線的離心率的求法是歷年高考、競賽中比較常見的一類問題，涉及解析幾何、平面幾何、代數等多個知識點，綜合性強，方法靈活.雙曲線的離心率問題，往往對學生的數學運算和邏輯推理能力要求較高，對大多數學生來說是一個很大的挑戰，也是形成數學能力的一個分化點與機遇[1].在解題過程中，要依據試題的實際情況，適當設置參數或點的坐標，借助坐標關系構建離心率的方程或不等式，或者從平面幾何知識入手，尋找圖形中的平行、垂直關系以及三角形的相似等，然后轉化為離心率的方程或不等式問題[2].總之，求解雙曲線的離心率的值或取值范圍的關鍵是建立恰當的等量或不等量關系，以過渡到含有離心率 e 的等式或不等式使問題獲解.離心率問題可以從利用幾何性質和坐標運算兩條研究路徑入手，立足平面幾何，強化數形結合，教學時可以通過一題多解發散思維，同時強調方法的選擇，引導學生多思少算，建立先幾何再代數的想法，通過對試題深人觀察、比較、聯想、分析等，進而找到簡潔的解法.

參考文獻：

[1］王勇，張華麗.在新情境中探究雙曲線的離心率[J].數理天地（高中版），2023（07）：21-23.

[2］劉玉.一道圓錐曲線題目的變式探究[J].數理化解題研究，2024（19）：54-56.

[責任編輯：李慧嬌]