一個幾何不等式的逆向及加強

題1（《數學通訊》2021年第7期問題505）

設 ΔABC 的外接圓和內切圓的半徑分別為 R r ，三邊及對應的三中線、三內角平分線的長分別為a，b，c，m_a，m_b，m_c 和 t_a，t_b，t_c 求證：

事實上，在三角形中，有 m_a?t_a，m_b?t_b，m_c? t，則 又由歐拉不等式 R?2r 知 ，從而不等式 ① 是 的加強.

題2（Panaitopol）不等式[]在 ΔABC 中， R，r 分別表示其外接圓和內切圓的半徑， m_a，h_a 分別是

BC 邊上的中線長和高的長度，則有

事實上，同理 故 又由幾何知識易知 t_a?h_a，t_b?h_b，t_c?h_c ，則 所以該試為不等式 ① 的一個逆向（上界）估計.

綜上可得：

結論 在 ΔABC 中，有 本文對不等式 ② 進行加強，得到：定理1在 ΔABC 中，有

證明 記 ΔABC 的半周長為 s ，面積為 s，Σ 表示循環求和.

由中線長公式 4m_a²=2（b²+c²）-a² 余弦定理及均值不等式得 （20 所以 （20

又角平分線長為 所以 （20 所以

將 ，代人得 由 Gerretsen 不等式 s²?16Rr-5r² 可得 從而不等式 ③ 左邊得證

由 為證 ，只需證明 由中線長公式得

將 abc=4sRr，a²+b²+c²=2（s²-4Rr-r²） 代入上式得 所以由柯西不等式得

故只需證明 4R²+6Rr-r² ，由 Gerretsen不等式 s²?4R²+4Rr+ 3r² ，只需證明 4R²+4Rr+3r²?4R²+6Rr-r²?R? 2r ，由歐拉不等式 R?2r 知顯然成立.從而不等式 ③ 右邊得證.

注 由歐拉不等式 R?2r 知 ，故不等式 ③ 強于不等式 ②

由歐拉不等式 R?2r 知 為此筆者嘗試對不等式 ③ 右端再加強，得到：

定理2 在 ΔABC 中，有

證明 由角平分線長公式 及 得 ，所以 （2

再由 （s-a）（s-b）+（s-b）（s-c）+（s-c）（s-b）（s-b）. （2-a）=ab+bc+ca-s²=4Rr+r²，（s-a）（s-b）（ s ，知 ，所以

由于前文已證 5r² ），故由柯西不等式得 （204所以 故只需證 ：

由Gerretsen不等式 s²?4R²+4Rr+3r² ，只需證 4R²+4Rr+3r²? 設 ，則只需證 2t⁴-3t³- t²-4t+4?0?（t-2）（2t³+t²+t-2）?0? （t-2）[2（t³-1）+t²+t]?0 ，顯然成立.

故不等式 ④ 成立

說明 不等式 的證明借助了（204號 不等式 ④ 直接利用柯西不等式直接證明了結論，那么是否可以將不等式 ④ 加強為 留給感興趣的讀者證明.

參考文獻

[1］董林.由基本事實引發的若干數學問題的探究[ .數學通訊，2018（08）：61-64.