科學類比 深度探究 高效建構

類比是一種非常重要的數學思想，多應用于概念學習中或公式學習中，對提高學生的數學素養有十分重要的意義[1].在數學課堂教學中，教師可以參透類比思想，引導學生深度探究知識的形成與發展，使學生在深度學習中高效建構知識體系，提高學習效率，培養數學思維.下面，筆者結合“正多邊形與圓”一課的部分教學片段進行詳細闡述.

“正多邊形與圓”的部分教學片段

教學片段1適切導入，引出概念

導入從教材目錄可以看出，編者在編寫教材時遵循循序漸進的原則，從“圓與直線的關系一圓與三角形的關系”，我們可以看出線條在增加，那么，大家不妨猜一猜，接下來，我們會研究圓與什么的關系？（學生紛紛猜測四邊形、五邊形.….）

追問：它們都是什么圖形？（多邊形）

問題1很好.本節課我們主要研究圓與一種特殊多邊形的關系，即圓與正多邊形的關系.那么，正多邊形究竟有什么特殊之處？下面，打開課本，我們一起來了解．（學生開始預學）

評析教學起點是教學的關鍵因素之一，在這一環節，教師從學生的已有知識經驗出發，巧妙地鏈接舊知，將學生自然引入新知的探究中.

教學片段2漸深探索，建構概念

探索1關于概念剖析

（1）有兩個正多邊形是我們非常熟悉的，即正三角形和正方形.證明一個四邊形為正方形有幾種思路？

從中可以發現什么？（思路 ① ，先證明各角相等，再證明有一組鄰邊相等.思路 ② ，先證明各邊相等，再證明有一個角為直角.基于這兩種證明思路，我們要從邊與角兩個方面著手，且兩者缺一不可）

（2）我們能否探尋到反例，闡述兩者的缺一不可？（若只滿足各角相等，則并非一定是正多邊形，如矩形；若只滿足各邊相等，同樣地，這個多邊形并非一定是正多邊形，如菱形）

評析類比正方形的判定方法去研究其他多邊形是可行的.這里，教師借助學生熟悉的正方形，引導學生展開探究，切實體會“各邊相等且各角相等”的四邊形是正方形，將學生的數學探究引入正軌的同時滲透從特殊到一般的數學思想，發展學生的數學核心素養.

探索2關于方法類比（1）回顧三角形外心與內心的探索思路，我們都是通過什么方法研究的？（通過作各邊中垂線與角平分線的方法研究.）

（2）是否可以類比三角形與圓的關系的方法來探索正多邊形與圓的關系？下面，從邊數大于4的正多邊形中任意選擇一種進行探究，之后匯報你的發現．（學生展開火熱的探究，教師則來回巡視、指導.匯報環節同樣熱鬧非凡： ① 有的選擇正五邊形展開探索，發現各邊垂直平分線交于點 o ，且以點 o 為圓心、OA為半徑的圓是該正五邊形的外接圓；各角平分線交于一點，根據“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，可以得出該點到各邊距離相等，則以該點為圓心，點到邊的距離為半徑的圓為該正五邊形的內切圓，且該點與點 o 重合 ② 有的學生選擇正六邊形展開探索，同樣發現外接圓圓心、內切圓圓心完全重合）

（3）大家的結論是否都類似？（學生表示肯定，教師則總結如下：既然證明了三角形三邊的中垂線交于同一點，三個內角的平分線也交于一點，據此類比到正多邊形，可得“各邊中垂線交于一點，各內角平分線交于一點”）

（4）那么，正多邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合嗎？如何證明？（學生紛紛認為重合，且證明如下：如圖1所示，若點 o 為各邊中垂線交點，則 OA=OB=OC= OD=OE 又因為 AB=BC=CD= DE=AE ，不難證明 ΔAOB?ΔBOC （SSS），則有 ∠ABO=∠OBC ，可得OB平分 ∠ABC. 同理可證，可得 oA 平分 ∠BAE ，OC平分 ∠BCD ，OD平分 ∠CDE ， OE 平分 ∠AED. 所以，點o 為五個內角平分線的交點）

總結：既然點 o 是正多邊形外接圓圓心，也是正多邊形內切圓圓心，我們不妨將這一點命名為正多邊形的中心，中心點 o 與各頂點連線即為正多邊形的半徑，相鄰半徑的夾角即為正多邊形的中心角.當然，作圖后不難發現，正多邊形的半徑就是外接圓的半徑，正多邊形中心角即為外接圓的圓心角.

評析讓學生探索發現新舊知識間的相似之處，有利于激發學生的探索欲望，從而使學生在遷移學習中完善認知體系，滲透類比思想方法，發展高階思維能力.在這一過程中，教師通過設計多感官參與的數學活動，讓學生在數學探究過程中自主建構新知，發展其觀察能力和實踐能力，獲得屬于自己的真知.

教學片段3延伸拓展，發展思維

問題2我們可以探尋到一個正多邊形有唯一的外接圓和內切圓，那么，給你一個圓，能否畫出一個正多邊形呢？（因為正多邊形的中心角都相等，所以各中心角都是 通過測量相同圓心角可以找到正多邊形的頂點）

問題3上述方法可行嗎？同桌兩人一組試著畫一畫，一個畫出既定圓的正六邊形，另一個畫出既定圓的正八邊形．（學生開始嘗試，生成圖2之后，教師進一步啟發，即通過正多邊形與圓的關系，利用“同圓或等圓中相等的圓心角所對的弦相等，相等弦所對的圓心角相等”這一性質去作一個圓心角，并截取等弦，這樣作圖更加簡便，如圖3）

問題4你認為一個圓內可以作多少個正 n 邊形？ （無數個）

評析這一環節，通過“做數學”活動，讓學生切身體驗了正多邊形與圓的關系，實現了知識的深度學習.

教學片段4總結歸納，深化認識

問題5你知道正多邊形的對稱性嗎？試著作圖，并進一步觀察、猜想和驗證，最后闡述觀點．（學生通過作圖一觀察一猜想一驗證，最后得出：正奇數多邊形為軸對稱圖形，有幾條邊就有幾條對稱軸；正偶數多邊形不僅是軸對稱圖形，還是中心對稱圖形，同樣有幾條邊就有幾條對稱軸，且對稱中心為圖形中心.教師對學生的闡述給予了高度評價）

問題6日常生活中有哪些圓與正多邊形構成的圖形？請舉例說明.

問題7下課之后，大家根據正多邊形與圓的關系試著設計一個地磚圖案，下節課比一比，誰的作品最有創意.

幾點感悟

1.合理類比，促進自然建構

類比作為一種重要的學習方法，可以促進知識的自然建構.在本節課教學中，教師從相似知識手，引導學生基于正方形去類比猜想正多邊形，并鼓勵學生合作探究，使學生在多感官參與的數學探究活動中抽象正多邊形的相關特征和性質，切身體驗圓與正多邊形的關系，從而實現數學知識的自然建構.

2.順勢類比，促進思維進階

反復的類比可以激發學生對數學探究產生濃厚的興趣，從而使學生在興趣的驅使下進行深度探究，最終促進學生思維的自然進階.當學生自主發現新舊知識的相似之處時，會自然而然地應用類比思想去解決問題，從而在遷移學習中不斷領悟數學知識的精髓，促進思維進階.

總之，如何使每個學生的數學思維都能得到發展是教師亟需攻克的難題之一.類比思想的滲透為學生的深度探究打開了一扇窗，為學生的思維進階開啟了一扇門.教師要有意識地將類比思想應用于數學課堂，讓學生的數學思維在探究和辨析中走向深入，在不斷類比中達到新的高度.

參考文獻：

[1］孫春陽.類比思想在數學教學中的滲透［J］.初中數學教與學，2014（2）：20-22.