拓展模型 學以致用

“見木又見林\"成為現在數學教學的追求，如何落實也成為教師思考的問題.本節課順承上節課學習的“角的平分線”的知識，對角的平分線進行“深度探研”，在復習舊知的同時，對角的平分線進行延伸拓展，與后期學習的三角形內心相結合，讓學生感受知識的結構化與一體化，引導學生學會思考，學會反思，學會總結.

1教材分析

本節課是角的平分線的第二節課，屬于章起始課統領下6課型的“深度探研課\"1].主要內容是角平分線的應用，是對其相關知識的鞏固與提高.角平分線的相關知識是證明角相等、線段相等常用的方法，如由角平分線的定義可以得到兩個角相等，由其性質可以得到線段相等，由其性質的逆定理可以證明角相等；同時，角平分線的性質也是初三學習三角形內切圓知識的直接基礎.角平分線作為初中階段的基本圖形之一，是培養學生推理能力的良好載體.

2教學目標

（1）通過練習，加深對角的平分線性質定理及其逆定理、尺規作圖的理解；

（2）通過遞進性的前3個問題，確定到三角形三邊距離相等的點，理解分類思想；

（3）通過綜合運用角平分線的知識解決問題，提高推理能力，發展幾何直觀.

3教學實踐

環節一創境引悱，孕育模型

問題1展示上節課布置的選做題作業：到三角形三邊距離相等的點有幾個？

作業共出現了三種答案：1個、2個、4個.

師生談話，提出問題.

追問1：要確定到三角形三邊距離相等的點，你想到了用什么知識？

預設：角平分線的性質.

追問：看到此題，你還聯想到了什么？以前接觸過類似問題嗎？

預設：在學習完線段的垂直平分線之后，曾經遇到過確定到三角形三個頂點距離相等的點的問題.

設計意圖：承接上節課作業設計中的選做題導入課題，在解決作業的同時，把學生思維引向角的平分線，再對題目進行聯想，促使學生形成關聯意識.

環節二 設疑猜想，形成模型

問題2請各代表（作業中不同答案的代表）分別進行講解，說明為什么到三角形三邊距離相等的點有1個？2個？4個？把思考的過程說出來.

預設：我們是受課本第50頁（人教版八年級上冊）練習2的啟發得出的，滿足條件的點有2個.

師生活動：教師對學生的回答給予評價，并結合學生的表現（理解情況）確定下一步的問題.

設計意圖：讓學生對不同的答案進行反思，結合答案說出思考問題的過程，以此培養學生的思維能力以及表達能力；通過不同點的確定，滲透分類思想，培養學生思維的嚴謹性.

環節三 合作探究，驗證模型

問題3請在ABC內部，用尺規作圖確定點O ，使點 o 到 ΔABC 三邊的距離相等，并給出證明.

學生結合學案中的圖形，通過尺規作圖確定點 O

師生交流，完成對點 o 的分析，作出兩個角的角平分線即可，教師引導學生規范解題步驟，形成解題思路.

追問：若把“點 o 在三角形的內部”去掉，又該如何思考問題？

預設1：這樣產生教科書第50頁練習2中的問題，此時，要作出 ΔABC 兩個外角的平分線，交點 P 即為滿足條件的點，如圖1所示.

圖1

追問：如何用推理證明的方式說明此時的點 P 到ΔABC 三邊的距離相等？

預設：由角平分線的性質定理得到.先過點 P 向ΔABC 的三邊作垂線段，借助角平分線的性質定理，可以推理得出.

追問：這里的點 P 只是兩個外角平分線的交點嗎？

預設：點 P 還在 ∠A 的平分線上，因為點 P 到∠A 兩邊的距離相等.

追問：很好，那還有其他確定點 P 的方法嗎？

預設：作出三角形一個內角的平分線，再作出與該內角不相鄰的一個外角的平分線，兩條平分線的交點即為到三角形三邊距離相等的點.

追問：請大家總結一下，確定到三角形三邊距離相等的點的方法共有幾種？哪種方法最簡單？

師生交流，確定最優作法，教師借助幾何畫板進 行輔助演示.

教師結合學生情況，進行補充：這三個點（用幾何畫板找出的特殊點.）在以后的學習中會經常遇到，并且都被稱之為三角形的“心”，但名字不同.三條中線的交點稱重心，三條角平分線的交點稱內心，三邊垂直平分線的交點稱外心.隨著學習的不斷深人，我們會逐步了解到這“三心\"的奧秘之所在.

設計意圖：引導學生把思考的結果轉化為作圖，再借助作圖總結確定“到三角形三邊距離相等的點”的最優方法，讓學生體會探究的過程與樂趣.完成對“到三角形三邊距離相等的點的確定”之后，再打開學生思維，思考三角形內特殊的點，啟發學生得出“三角形內角平分線的交點”“三角形各邊垂直平分線的交點”“三角形三條中線的交點”，教師趁勢給出“內心、外心、重心”的說法，完善三角形內特殊點的內容，為后續研究學習埋下伏筆.

環節四 再次探究，變式模型

問題4如圖2，在 ΔABC 中， AB=10 ， AC=6 ，點 o 在∠BAC 的平分線上，若 ΔAOB 的面積為18，請你求出 ΔAOC 的面積；若點 o 也在 ∠ABC 的角平分線上，點 O 是否也在∠ACB 的角平分線上？

圖2

師生活動：教師結合學生回答，給出評價.鼓勵學生根據猜想，大膽嘗試.

設計意圖：此題借助面積間接考查了角平分線的性質定理及其逆定理，體現了知識的前后聯系，克服了“單一”知識點的碎片化學習，學生能力在這種不斷“整合”的滲透下逐步提高.

環節五發散思維，鞏固模型

問題5通過本節應用課，請結合所學談談你對角的平分線的新理解.

師生活動：教師根據學生的回答情況進行總結，并及時評價.最后畫出如圖3所示的結構圖.

圖3

設計意圖：讓學生從知識本體與獲取知識的過程兩個方面談收獲，引導他們在掌握知識的同時，感悟獲取知識的方法，積累學習經驗.

4教學立意與闡釋

4.1落實“用教材教而不是教教材\"的理念

整個教學設計，不是拘于教材，而是對教材進行了適切的整合與調整，循著軸對稱圖形線段到角的進階順序，將原本\"全等三角形“一章中的角平分線內容后移.如此一來，利用線段的垂直平分線與角的平分線的同構性統籌布局，便于形成前后的一致與邏輯的連貫，并用單元結構圖強化這種認識.

4.2貫穿“基本套路”，形成學習策略

章建躍博士指出：“數學教學要重視基本套路的教學.”角的平分線的學習套路與線段的垂直平分線的學習套路基本一致.在本節課的學習中，沒有老師硬生生的灌輸，問題都來自于學生的以往學習經驗，實際上，就是用“舊套路”去研究學習“新套路”，再用新套路學習新知識，如此承前啟后，“上伸或下探”，知識在得到豐富與延伸的同時，更實現了融會貫通，也豐富了學生學習圖形的經驗，“學習套路\"也就容易形成.

參考文獻：

[1]邢成云.“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學[J].中國教師，2021（10）：38-41.