空間觀念進階下“圖形旋轉”的教學設計

一、課前思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"）強調核心素養的一致性和階段性，“圖形的運動\"是培養學生空間觀念的重要載體。

思考之一：何為圖形運動的一致性？

軸對稱、平移和旋轉都是剛體運動，軸對稱是指圖形上任一點和其對應點到對稱軸的距離相等，且點和對應點的連線垂直于對稱軸；平移是指圖形上任一點和其對應點都是沿著某一個方向移動一定的距離；旋轉是指圖形上任一點繞固定點（固定軸線）旋轉一個定角[1。旋轉的要素分為旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度，因其要素的增多在描述和刻畫上的難度值較另外兩種運動更高，但三種運動都不改變圖形的大小，歸根結底都是點的運動。

軸對稱、平移和旋轉是培養學生空間觀念的重要工具，三種運動可以幫助學生更好地理解空間中的位置、方向和相對位置，從運動視角識別理解不同圖形的性質，培養學生的空間推理能力等。史寧中教授認為，小學階段學生的空間觀念應著重“感知并描述圖形的運動和變化規律，能夠在頭腦中對圖形進行變換\"[2]。

思考之二：旋轉運動的階段性為何？

新課標對圖形的旋轉有明確的階段性要求：第二學段讓學生結合實例感受旋轉想象；第三學段讓學生在方格紙上進行簡單圖形的旋轉，從旋轉的角度欣賞生活中的圖案，借助方格紙設計簡單圖案，感受數學美，形成空間觀念；第四學段讓學生通過具體實例認識旋轉，探索基本性質，運用圖形的旋轉進行圖案設計等[3]。圖形的旋轉在義務教育階段形成了三個螺旋式上升的過程，各個學段雖然各有側重，但始終體現了對學生空間觀念培養的重視。

筆者以空間觀念在旋轉教學中的素養進階為導向，以理解、想象、表達和應用四大要素為變量，進一步細化本節課在旋轉知識序和認知序上的目標定位。本節課屬于學生第二次學習旋轉，起著承上啟下的作用，能讓學生基于第一次的現象辨析整體感知走向特征感悟，為后續的性質探索埋下伏筆。在直觀想象與簡單分析抽象階段，教師要引導學生：一是從元素的角度理解旋轉；二是在頭腦中對圖形進行旋轉想象，形成表象；三是根據要求在格子圖上正確刻畫旋轉或描述旋轉運動，進行多元的數學表達和關聯互譯表達；四是借助旋轉進行簡單分析或解決某一相關問題。

思考之三：旋轉教學的結構性如何？

圖形的旋轉可以化歸為關鍵線段的旋轉，而關鍵線段的旋轉本質是關鍵點的旋轉。因此，筆者要求學生在格子圖上刻畫并描述線段 _AB 的旋轉。通過前測，筆者發現辨析旋轉現象不是第三學段學生的難點，精準描述旋轉的特征才是學生的難點。學生對旋轉角度為 90^° 的動作表征旋轉現象最熟悉，方向次之，旋轉中心最弱[4]。筆者以線段的旋轉為本節課的明線，以點的旋轉為本節課的暗線，通過變化旋轉中心與旋轉對象，引導學生開展感受旋轉本質特征的深度學習。

二、教學過程

1.立要素，經驗相輔

（1）精準描述

師：如圖1所示，都是線段 AB 的旋轉，怎么不一樣？旋轉需要說清楚什么？你們能說清楚 ① 號圖中線段_AB 是怎么旋轉的？[5]

生1：我認為 ① 號圖中線段 _AB 旋轉了 90^° 。

生2：我覺得你這樣沒有說清楚，②③④ 都旋轉了 90^° ，但 ① 號是向左下角順時針旋轉，所以應該說線段_AB 順時針旋轉 90^°

生3：我同意生2的想法，雖然清楚了一些，但還不夠， ② 號也是順時針旋轉呀！

生4：對，我們還需要說清楚繞著哪個點旋轉，線段 _AB 繞著點 A 順時針旋轉 90^° 。

設計意圖：課前學生在格子圖上刻畫長度為5格的線段 _AB 的旋轉，前測中 88.94% 的學生能將線段 _AB 旋轉 90^° ，但有 92.17% 的學生較難精準描述旋轉中心，如出現“繞著某點旋轉\"這樣的表述。因此，筆者選取了學生的5幅典型作品作為本節課的主要交流素材，讓學生在對比辨析的過程中感受精準描述的必要性。

（2）逆向鞏固

生3：（將作品遮擋出現：繞點 B ）猜猜看，我描述的是哪幅圖的旋轉？

生4：可能是 ②③⑤ 中的一幅，我還需要更多的信息。

學生作品遮擋出現：繞點 ^B 繞點 B 順時針。

生5：還需要知道旋轉角度，可能是 ② ，也可能是 ⑤ 。

生3：繞轉點 B 順時針旋轉 90^° 。

生4：那肯定是 ② 號， ⑤ 號是線段 _AB 繞著點 B 順時針旋轉 180^° 。

生5：要說清楚旋轉，需要說清楚旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度才可以。

設計意圖：生生互動既改變了學生交流的方式，又提升了學生學習的興趣[6。學生在猜的過程中，從原來的操作表征轉化成語言表征，到根據語言表征想象操作表征，在操作表征中進一步感受利用三要素描述旋轉的必要性。

（3）立破并舉

師：（出示圖2）線段 _AB 是怎么 旋轉的？

生6：線段 _AB 繞著點 A 順時針旋轉 90^° 。

生7：我覺得不對，這幅圖就不是旋轉。

生8：對啊，線段 _AB 的長度是5個格子，線段 AB^′ 的長度是6個格子，長度發生了變化。

生6：我贊同你們的看法，旋轉后線段長應該還是5格。

師：正如你們所說，旋轉后圖形的大小和形狀是不變的。

設計意圖：旋轉的認識在第二學段著重于整體的感知，筆者通過多次實踐教學發現學生雖能夠快速看出素材中的三要素，卻未關注到線段旋轉后長度變長了，未能理解旋轉的本質。通過錯例的呈現，學生自然意識到每次描述圖形的旋轉時需要保證圖形的大小、形狀不變。

（4）表征互譯

① 課件動態呈現線段 _AB 繞點 B 逆時針旋轉 90^° ，學生描述。

② 線段 _AB 繞點 B 順時針旋轉90^° ，學生比畫。

③ 課件出示靜態圖，如圖3所示。

生9：線段 _AB 繞著點 A 逆時針旋轉 90^° 。

生10：我猜，還可能是線段 _AB 繞著點 B 順時針旋轉 270^° 。

生11：我覺得都有可能，只有動起來我們才能確定。

課件呈現不同方向的旋轉，學生嘗試描述。

設計意圖：圖形的旋轉往往呈現靜態的起始圖或終點圖，理解圖形旋轉需要學生在頭腦中進行大量的想象，而想象的前提是先建立豐富的旋轉表象。借助幾何畫板的強交互，學生的語言表征和操作表征得以充分勾連，而動態與靜態的實時呈現，既補足了部分學生的想象空白，又拓展了學生的想象空間。

（5）點的旋轉① 特殊位置的點

師：（如圖 4① 所示）如果在線段上取一點，繞點 A 順時針旋轉 90^° ，對應的 C^′ 點在哪里？

生12：我認為是 C^′ 在點 A 正下方2格，因為線段 _AB 剛才順時針旋轉 90^° 就在這個位置，只要點 A 再往下數2格就可以了。

生13：我贊同你的想法，我們也可以直接想象成是線段 _AC 繞著點A順時針旋轉 90^° ，因為距離2格，所以點A往下數2格。

② 不同位置的點

師：（如圖 4② 所示）如果點 c 在這里呢？

生14：雖然沒有畫出線段 AB^′ 了，但是我可以把 _AC 連起來，現在是3格，也就是 C^′ 點在 A 點下方3格。

③ 多個位置上的點

師：（如圖 ? 所示）它們繞點 A 順時針旋轉90°后分別在哪里呢？

生15：把最遠的點和點 A 相連，把它旋轉后，再在線段上找點就可以。

生16：其實是這些點分別和點 A 相連，這些線段繞著點A旋轉后的點就是。

師：同學們可真有辦法！是啊，線段上任意點都和線段 _AB 一樣繞著點A順時針旋轉了 90^° 。

設計意圖：聚焦到點的旋轉是本課教學設計深入圖形旋轉本質的關鍵，從特殊點 c 到任意點，從一個點到多個點再到無數個點，學生在不同方法的表達中真正理解圖形上任意一點都在做相同的旋轉運動，圖形的旋轉即為點的旋轉。

縱觀本環節，通過五步推進，圍繞空間觀念的“想象、表達\"兩大要素推進學生“理解\"的初步感悟。在第一步精準描述中，學生的語言從粗糙走向精準，感受三要素的必要性；第二步通過學生逐個呈現描述信息，從激趣到感悟，感受三要素在遷移鞏固中的應用價值；第三步的立破并舉，讓學生在辨析中感受旋轉不能改變圖形大小和形狀，感受旋轉的本質性；第四步讓學生借助多媒體在語言表征和操作表征中深化理解旋轉的特征，感受旋轉的深刻性；第五步讓學生突破線的限制，由點出發，感受到旋轉的本質。

2.移中心，虛實相融

（1）沖突激趣

師：線段可以繞點A旋轉，也可以繞點 B 旋轉，如圖5所示。（出示點 o ））繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，想象對應的點 A^′ 點 B^′ 在哪里？有困難的同學可以借助手中的筆擺一擺。

生17：（出示自己的作品）猜猜看，我是怎么找到對應的點 .A^′ 和點 B^′ ？

生18：我猜你把點 o 和點A相連，只要把線段 OA 繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，然后再往下數5格就可以了。

生19：其實可以把線段OB繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，先找到點 B^′ ，然后往上數5格，就可以找到點 A 了。

生17：我是先把線段連起來，然后旋轉線段 oA ，最后旋轉線段OB，這樣也可以找到對應的點 A^′ 和點 B^′ 。

生18：旋轉中心在外面，一開始我不知道該怎么下手，通過你們的介紹我知道了只要把它們和旋轉中心相連，這樣就變成我會的了。

設計意圖：通過旋轉中心外移，突破原有思維定式，看似增加了學習的難度，但借助格子圖和筆的輔助，大多數學生能夠快速意識到將線段_AB 與旋轉中心 o 連接形成線段，將隱性的線顯性地連接起來，通過不同的連接方式解決相同的問題，打開了學生思考的空間。

（2）點的旋轉

師：同學們可真有辦法！如圖6所示，如果在線段 _AB 上找一點 c 呢？繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，想象對應的 C^′ 在哪里？

生20：按照剛才的方法，先畫出對應的線段，可以是點 A 往下數2格，或者是點 B^′ 往上數3格。

生21：還可以直接連接線段 oc 然后繞著點 o 順時針旋轉 90^° 。

師：如果我在線段 AB 上面找到很多個點 c 呢？繞著點 o 旋轉 90^° 后，它們的對應點會在哪里？

生20：線段上所有的點都會繞著點 o 順時針旋轉 90^° 。

生21：這些點都可以和點 o 連線成線段，然后繞著點 o 順時針旋轉 90^° 。

設計意圖：本環節中心借助變式的旋轉，教師引導學生在隱性線的具象化過程中進一步感悟圖形與其圖形上點的二元關系。然后教師通過兩步推進，在沖突激趣中分層驅動學生的多元感悟，并通過方法之間的轉化，在動靜結合的過程中理解從點遷移到線段的旋轉。

3.變對象，拓展相通

師：同學們可真厲害！如圖7所示，如果我把線段 AB 傾斜一些，想象線段 _AB 繞著點 o 順時針旋轉 90^° 對應的 A^′B^′ 在哪里？如果有困難，可以拿出錦囊（三角形）試一試。

生22：如圖8所示，我把點A和點 B 都和點 o 連成一個三角形，我利用錦囊里的三角形，繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，然后描下來，就可以找到對應的點 A '和點 B^′ 。

生23：我也是連起來，但是和你想的不一樣，你們猜我怎么找到對應的點 A^′ 和點 B^′ 的呢？

生24：我猜你像前面一樣，把線段 OA 和線段OB分別繞著點 o 順時針旋轉 90^° ，找到對應的線段 OA^′ 和 OB^′ ，然后連接 A^′ 與 B^′ 就是旋轉后的線段了。

生23：你猜對了，我就是把它們分別想成了兩條線段的旋轉。

生25：我沒有連成線段，我在腦海里直接想點A和點 B 繞點 o 順時針旋轉 90^°. 后的位置，然后相連就好了。

師：如果我在線段 AB 上找點 C 呢？想象一下，對應的點 C^′ 會在哪里？

生26：點 c 也和線段 AB 一樣，都會繞著點 o 順時針旋轉 90^° 。

設計意圖：本環節繼續以“繞點o 順時針旋轉 90^° 為核心問題，教師引導學生借助“形\"整體感知，基于“線\"元素感悟，立足“點\"本質體驗，在運動視角中感悟圖形旋轉的多元變換。然后教師通過追問線段 _AB 上點 c 旋轉后的位置，讓學生感悟圖形上任意的點都在繞點 o 順時針旋轉 90^° 。線段的傾斜擺放看似增加了圖形對象的復雜度，但實則與三角形的旋轉進行隱性的銜接，將簡單的線段旋轉用足用透，為后續的封閉圖形的旋轉打下基礎。

本節課教師以簡約的素材，引導學生在想象、表達中逐層理解旋轉的本質，為后續的應用埋下伏筆。

參考文獻：

[1]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014.

[2]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4］林志輝，陳柯柯．有學生有數學有技術—《旋轉》教學實踐與思考［J].小學教學設計，2021（11）：58-60.

[5］林志輝，陳柯柯．深度教研之課堂的整體實施——以\"圖形的運動\"系列課為例[J].小學教學參考，2023（35）：15-18.

[6]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.