讓素養落地：小學“圖形的運動\"空間觀念進階模型新構

編者按

發展學生的“空間觀念”具有顯著的階段性特征。如何準確理解各學段空間觀念的內涵表征？如何把握不同階段學生空間觀念的發展重點？如何構建層次分明的教學實施路徑？老師及其研究團隊依托浙江省教師教育規劃課題“小學數學‘全息式’校本研修的實踐研究”（課題編號：YB2024153），以理解、想象、表達、應用為認知維度，以平移、軸對稱、旋轉三大運動為研究對象，創新構建了小學“圖形的運動\"領域兼具一致性、階段性和層次性的“三階段九水平\"進階模型。本組文章系統梳理了小學階段圖形運動領域學生空間觀念的培養體系，通過進階框架建構與教學實踐探索，形成了具有操作性的研究成果，為發展學生空間觀念提供了可遷移的教學策略。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"）確定了以素養為導向，強調從知識入手，培養學生的必備品格和關鍵能力。作為綱領性文件，新課標無法對核心素養進行主題、學段、教學內容的細化落地。下面，筆者以小學數學空間觀念為例，再以“圖形的運動\"教學為例，闡述如何培養學生的空間觀念。

一、定調子：“圖形的運動”中空間觀念的表現

新課標指出：空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。空間觀念的培養有助于學生理解現實生活中空間物體的形態與結構，是學生形成空間想象力的經驗基礎[1]?！皥D形的運動\"是培養學生空間觀念的有效載體，本文所述圖形的運動是指三種剛體運動軸對稱、平移和旋轉。史寧中教授在《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》一書中對圖形運動中的空間觀念進行了解釋：“能夠在頭腦中操作、旋轉、分解與組合簡單圖形的表象，獲得新的表象”，“能夠在頭腦中對圖形進行變換與比較\"[2]。基于此，筆者提出空間觀念在圖形運動中的基本內涵、心理特征和構成要素。

1.基本內涵

在圖形運動中，空間觀念是開啟學生用運動變化的眼光探索和認識幾何圖形視角的基礎，這是一個包括觀察、想象、比較、關聯、抽象等不斷由低維向高維發展的過程，是建立在學生豐富的運動感性積累基礎上的不斷發展的素養。

空間觀念在圖形運動中具體闡述為：在“三會\"引領下，學生要學會用運動的眼光辨識圖形運動現象和觀察理解圖形，初識圖形運動之間相通的特征；會用運動的思維思考圖形的變化，在頭腦中對圖形進行平移、旋轉和軸對稱，分解或組合成新的表象；會用運動的語言表達圖形的運動，解決圖形的相關問題，感悟圖形運動的不變思想。

2.心理特征

心理特征是指心理活動進行時 經常表現出的穩定特點[3]，空間觀念 在圖形運動中表現出來的心理特征 有三個。

（1）具象與抽象并行

生活中存在著大量的運動現象，而學生具備豐富的經驗感知。圖形的運動是直觀的，更是抽象的，直觀是指看得見的顯性運動過程，抽象是指看不見的隱性運動現象。因此，培養學生空間觀念要從生活走向數學，讓學生在頭腦中想象運動的過程。

（2）動態與靜態并進

動態的現象與靜態的圖形在學生學習圖形運動中相輔而行，學生容易觀察到動態的運動，但難以掌握對應的精準描述，難以具體刻畫靜態的圖形并逆向思考。因此，學生需要建立大量的動態表象和靜態表象來認識圖形的運動。

（3）漸進與跳躍共存

學生對同一個運動概念的理解不是一步到位的，其呈現從整體感知到特征掌握再到性質探索的一般規律。學生的概念建構存在不同的發展階段，在漸進的過程中存在跳躍式的概念同化。

3.構成要素

（1）運動的理解

學生對運動的知識性掌握可以分為整體理解運動現象、元素理解運動特征、本質理解運動性質，并進行由表及里的概念理解。

（2）運動的想象

學生對運動的內隱性建構可以分為感知表象、形成表象、加工表象，強調在頭腦中形成動靜結合的表象架構。

（3）運動的表達

學生對運動的可測性描述可以分為粗糙表達、單一精準表達、多元表達、表達勾連，著重表征互譯的能動參與。

（4）運動的應用

學生對學習的遷移性同化可以分為運用一種運動解決問題、三種運動的關聯、圖形的運動與其他知識（圖形認識、位置等）的關聯，注重知識的融會貫通。

二、搭梯子：空間觀念在圖形運動中的進階架構

針對學生空間觀念的水平層次劃分標準，代表性觀點主要有：潘小明提出了兒童形成空間觀念的心理特點經歷4個水平階段（具體、半具體、半抽象、抽象），吳宏提出了6個水平劃分，劉曉玫提出了3個水平劃分（完全直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復雜分析階段）4]。不同的劃分標準雖然有具體的變量依據，但是都有共同點：空間觀念隨著年齡的增長所觀察的對象由簡單到復雜、由部分想象到大量想象、由單純想象到概念化抽象，不斷進階。筆者認為，學生空間觀念的進階架構的設定是為了精準確定不同學段、不同教學內容的目標，因此下面基于劉曉玫提出的“三個水平\"對學生空間觀念每一階段的具體表現進行細化。

1.“三\"階段具體表現

（1）完全直觀想象階段：經驗性走向基礎性

完全直觀想象階段是指從生活的經驗性走向學習的基礎性，將生活化、常識化的圖形運動轉化為數學中的運動方式，聚焦于整體感知。本階段的觀察對象以立體圖形、實物圖和簡單的平面圖形為主，具體表現為基于生活中的圖形運動，基于個體的運動經驗[5，對某一運動現象進行整體性的判斷；在頭腦中感知某一運動方式的直觀表象，能夠進行籠統的數學表達。

（2）直觀想象與簡單分析抽象階段：深度性走向發展性

直觀想象與簡單分析階段是指從知識理解的深度性走向素養提升的發展性。本階段的觀察對象以簡單的平面圖形為主，從整體感知轉變為探索圖形運動的特征。具體表現為：理解并運用圖形運動的特征進行簡單作圖；在頭腦中構建運動后的圖形表象，能進行簡單的分析、抽象和幾何推理，能進行多種數學表達，深刻理解某一運動的特征。

（3）直觀想象與復雜分析階段：系統性走向綜合性

直觀想象與復雜分析階段是指從知識的深度性走向知識與應用的綜合性，是小學階段的最高階段。本階段觀察對象是以簡單平面圖形的組合為主，將平移、旋轉、軸對稱進行系統性關聯，進而感受圖形運動之間的變與不變。具體表現為：系統理解圖形運動的本質即點的運動，在格子圖中將稍復雜的運動表象解析為點的變換；綜合理解運動的特征，用某一運動或多種運動解決圖形相關問題，以解決不同知識領域關聯的問題。

2.“九\"水平層次細化

如圖1所示，筆者以四大構成要素和三種運動方式間的難度分布為變量，對空間觀念的三個階段進行層次細化，從而形成每個階段內三個水平的小進階，構成九個水平整體大進階模型。

（1）由易到難的內在邏輯

空間觀念進階以理解為變量時，遵循從整體理解到元素理解的順序。軸對稱、平移和旋轉三種運動在整體理解和元素理解中的難度表現不一樣。在整體理解中，判斷平移和旋轉的難度會低于軸對稱，學生在判斷是否是軸對稱時需要在頭腦中想象完全重合的過程，而平移和旋轉通過具身模擬再現就能理解。在空間觀念的元素理解中，其難度分布為“平移lt;軸對稱lt;旋轉”，旋轉因其要素最多，在教材編排時會設置為最后學習的運動。

空間觀念進階以想象為變量時，以有無借助工具和表象建構對象的復雜度為依據。三種運動在不同學段難度值不一樣，整體以“感知一形成一加工\"為水平分布線索。

（2）由簡到多的外部顯現

空間觀念進階以表達為變量時，遵循從粗糙走向精準、從單維表達走向多維溝通的順序。學生的單維表達即精準地表達，如聯系三要素描述圖形的運動、正確刻畫圖形的運動；學生的多元精準表達，追求不同表達之間的互譯。

空間觀念進階以應用為變量時，遵循從一種運動到多種運動解決問題、從運動內部關聯到外部知識關聯的順序。比如，在小學階段用軸對稱解決的是對稱軸的分布問題，平移解決的問題以計算圖形面積為主，旋轉解決的問題分布為“軸對稱解決問題 $$ 平移解決問題 $$ 旋轉解決問題 $$ 多種運動解決問題”。圖形運動內部的關聯可分為兩個層次：一是三種運動的變與不變；二是三種運動變與不變背后的原理。圖形運動外部關聯基本分布在第三學段，能為后續第四學段的學習埋下伏筆。

三、邁步子：空間觀念在圖形運動中的培育路徑

1.拾級而上一數學序螺旋遞進以數學知識序為邏輯，結合現行教材的編排，筆者認為，在圖形運動中培養學生空間觀念可以開展三個結合。

（1）“思辨\"與“思變\"相結合對非整周運動的理解有難度時，教師可以引導學生通過辨析旋轉，聯系平移運動是方向不變、大小形狀不變、位置發生變化，軸對稱是沿著對稱軸翻折可以完全重合，而旋轉是繞著某一個點（軸）運動，方向發生改變，大小形狀不變，讓學生在辨析中感悟變與不變，用數學的眼光嘗試表達生活中的情境，促進學生在第一階段從水平一向水平二進階。

此結合為知識與思想的辯證統一。圖形的運動區別于其他知識領域的是其運動視角，學習圖形運動的概念時，學生不僅要學會“思辨\"圖形的運動，更要用“思變\"的眼光看待生活中的運動現象。教師要引導學生根據運動的要素特征進行辨析，用數學語言分析運動背后的元素，用聯系的眼光看待三種運動，感悟不變的思想。比如，在“蕩秋千\"的情境中，當學生（2）\"作圖\"與\"構圖\"相結合

此結合為表達與想象的緊密關聯。如果以結果為終點，教師往往只聚焦于如何作圖，但作圖只是數字表達的一種，關注作圖前的構圖則是圖形運動中空間觀念所獨有的，能讓學生在思考圖形的運動過程中發展想象力、提升理性分析能力。筆者認為，教師要引導學生以“會作圖”為載體感悟圖形運動的特征，通過在頭腦中動態“構圖”深刻感悟圖形運動的特征。比如，在繪制線段 AB 繞著點 A 順時針旋轉 90^° 時，教師可以要求學生先想象對應的 B^′ 點，再進行刻畫，不斷建構頭腦中的表象，在第二階段的直觀想象與簡單分析抽象階段實現水平層次的跨越。

（3）“解釋\"與\"解決\"相結合

此結合旨在表征多元勾連與圖形問題解決上雙向奔赴，強調在運動“解釋\"時的表征多元與勾連互通。解決問題的能力是學生思維提升的重要標志，教師要引導學生結合運動的知識進行相關問題的解決。如圖2所示，在解決七巧板的問題中，學生通過畫一畫、寫一寫、說一說多種方法說明 ③ 號三角形的組合運動，在解決問題中解釋組合運動背后的道理，明確旋轉是為了改變三角形的形狀，平移是為了改變三角形的位置，并通過表征勾連進一步理解圖形的運動。

2.跨級而上一認知序多元選擇

學生空間觀念的培養呈現拾級而上的規律性進階，但具體到學生個體，因其個體的多樣性會呈現拾級而上的隨機性進階。學生空間觀念的進階以學生認知序為邏輯，階段的設定與水平的劃分只是一種假設而非定論，教師在圖形運動中培養學生空間觀念時要進行融合。

（1）“自上而下\"與“自下而上\"相融合

“自上而下”是從一般到具體的認知過程，表現為演繹式的思考；“自下而上”是從具體到一般的認知過程，表現為歸納式的思考。學生在理解圖形運動的概念時，往往先通過感悟大量的運動現象，再理解圖形運動元素的本質；在應用圖形的運動時，先明確運動本身的特征，再進行對應的綜合思考。比如，在教學“圖形的平移\"時，教師要準確把握平移在不同階段的教學要求，如圖3所示，左圖為第一次教學平移時，教師引導學生通過感悟圖片旋轉前后圖形的大小、形狀、方向等變化;右圖為第二次教學“圖形的平移\"時，教師引導學生通過比較三角形 ABC 起始位置和終點位置，從整體感悟走向元素感知。教師自上而下把握平移教學各個階段的要求，能讓學生自下而上將平移的經驗進行遷移。

（2）“序列化\"與\"并行化\"相融合

“序列化\"是指按順序處理信息，一次只處理一個或一小部分信息；“并行化”允許同時處理多個信息。比如，在學習“圖形的運動\"時，學生在嘗試探索期時往往只會開展某種熟悉的運動方式；在概念內化到了一定程度后學生可開展多種運動方式的“并行化\"處理，表現為多種方法解決問題。圖4是“旋轉\"練習課時，教師引導學生先平移后旋轉或先旋轉再平移，感受解決問題的多樣性；然后教師通過將旋轉中心外置，以點（5，3）為中心逆時針旋轉 90^° ，讓學生在對比不同方法中深刻理解旋轉運動。

總之，空間觀念在“圖形的運動”學習主題下有了板塊化的具象要求，其進階模型對培養學生的空間觀念具有重要作用。

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4］劉曉玫．小學生空間觀念的發展規律及特點研究[D].東北師范大學，2007.

[5]袁櫻．小學幾何教學中空間觀念的培養研究[D]．云南師范大學，2007.

[6]吳正憲，劉勁苓，劉克臣．小學數學教學基本概念解讀［M].北京：教育科學出版社，2014.