小學“軸對稱運動”空間觀念的進階水平探究與應用

空間觀念是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。圖形運動是發展學生空間觀念的重要知識載體，學生基于生活經驗對圖形運動有本能感知，對圖形運動的理解認知、表象建立、特征表達以及應用上既具有非標準性，也存在個體差異性。教師要如何明晰學生“軸對稱運動”空間觀念的進階發展趨勢，從而以整體的結構化視角助力每個階段的教學到位而不越位？筆者基于核心素養進階的視角，對小學階段“軸對稱運動\"空間觀念的進階水平進行研究，并提出相應的教學策略。

一、“軸對稱運動\"空間觀念的進階變量

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教師要引導學生感知并描述圖形的“軸對稱運動”和變化規律[1]，在圖形折疊的過程中形成表象并進行一定的推理[2]。

筆者將“軸對稱運動”的空間觀念的進階變量分為“軸對稱運動\"的理解、“軸對稱運動\"表象的形成、“軸對稱運動\"特征的表達和“軸對稱運動\"的應用四類[3]。

第一類：“軸對稱運動\"的理解，是指學生學習“軸對稱運動\"時的認知方式，整體感知軸對稱圖形特點，利用元素理解軸對稱圖形特征的定量認知，并利用性質理解“軸對稱運動\"的定性分析[4]。

第二類：“軸對稱運動\"表象的形成是指學生形成關于軸對稱的不同表象及對表象的加工，識別與實際生活密切關聯的軸對稱現象，從實際物體中抽象出軸對稱圖形，對軸對稱圖形特征進行分析，以及將軸對稱作為一種運動看待。

第三類：“軸對稱運動\"特征的表達，是指學生利用單一或多種表征說明軸對稱圖形沿對稱軸對折后兩邊互相重合的特征。

第四類：“軸對稱運動\"的應用，是指學生用聯系的眼光看待圖形運動之間的關聯，以及圖形運動與圖形位置之間的聯系，并借助運動的動態視角解決問題，形成數學多主題之間的一致性。

二、“軸對稱運動\"空間觀念的水平劃分

學生“軸對稱運動\"空間觀念的發展具有層次性，從直觀想象開始，逐步融入分析、抽象、推理等，遵循“完全直觀想象 $$ 直觀想象與簡單分析抽象分析 $$ 直觀想象與復雜分析\"[5]的進階發展趨勢，每個階段根據四類進階變量再細分為三個水平，從而形成“軸對稱運動\"空間觀念的進階模型，如圖1所示。

1.完全直觀想象階段的\"軸對稱運動\"空間觀念

在完全直觀想象階段時，學生能從軸對稱現象中抽象出軸對稱圖形，通過語言和圖像表征之間的聯系，整體認知軸對稱圖形的特點，初步形成軸對稱圖形表象，并解決簡單的問題。該階段三個進階水平如表1所示。

2.直觀想象與簡單分析抽象的“軸對稱運動\"空間觀念

第二階段的學生，能夠在直觀想象基礎上進行簡單分析抽象，對稍復雜的軸對稱表象進一步進行抽象加工；能在格子圖中感知軸對稱圖形中對應點到對稱軸距離相等的圖形特征；能夠逐步脫離動手操作走向心理操作，從動手“對折\"和“翻折\"走向心理操作的折疊[]。

第二階段的學生傾向于將靜態的圖形作為研究對象，更關注軸對稱圖形的特征，而忽略軸對稱的運動本質。該階段三個進階水平如表2所示。

3.直觀想象與復雜分析的“軸對稱運動\"空間觀念

在第三個階段，學生具備了在格子圖中定量研究平移、旋轉運動和軸對稱圖形特征的知識經驗基礎，積累了表示圖形位置的知識和技能，能形式化理解圖形的運動，能通過元素感知一個圖形沿對稱軸分割后兩個部分的聯系，開始從靜態走向動態研究“軸對稱運動”。

學生能夠借助邏輯推理將軸對稱從圖形的認識進階為運動的認識，在對比三類剛體運動（平移、旋轉、軸對稱）的異同中，形成聯系的眼光看待圖形的運動，并用運動的動態視角解決復雜的問題。該階段三個進階水平如表3所示。

三、空間觀念進階下“軸對稱運動”的教學應用

根據小學“軸對稱運動\"空間觀念的進階水平，教師在教學時可以形成結構化的關聯視角。筆者以“軸對稱（一）\"\"軸對稱（二）\"\"軸對稱的練習課”（下文簡稱為“課1\"\"課2\"\"課3\"）三節課分別作為三個階段的關鍵課例（如圖2所示），利用課例中關鍵環節闡述教學應用。

1.認知進階，從整體認識到元素感知

三節課體現三個階段遞進發展學生學習“軸對稱運動\"的認知方式，從整體感知軸對稱圖形特點到元素感知“軸對稱運動”，從定性走向定量。課1借助正方形、長方形、平行四邊形三角形，設計“先判斷這些圖形是否是軸對稱圖形，再動手對折進行驗證\"的學習活動，強調沿著對稱軸整體想象并動手驗證圖形的對折。課2借助“用不對折的方法說明等腰梯形和平行四邊形是否是軸對稱圖形\"的學習活動，重在讓學生感知每組對應點到對稱軸的距離相等。課3通過“自主想象并驗證10個數字翻折以后是哪些數字\"的學習活動，拓展到圖形的軸對稱運動。

2.想象進階，從圖形特征到運動屬性

三節課體現三個階段逐步促進學生形成關于“軸對稱運動\"的不同表象。三節課都不斷引導學生想象圖形沿著對稱軸對折重合的過程，還借助幾何畫板的動態呈現，將學生頭腦中的運動過程變成可視化的過程。特別是在課3中，從水平和垂直兩個方向沿著圖形的邊線翻折，到對稱軸逐漸遠離圖形邊線，在對稱軸數量從有限到無限的過程中，愈發凸顯兩個圖形之間的軸對稱關系。學生可以從一次“軸對稱運動\"拓展到兩次“軸對稱運動”，建立“軸對稱運動”作為一種運動形式的表象。

3.表達進階，從生活經驗到數學概念

三節課體現三個階段，隨著表征的逐步精準，能促使學生對“軸對稱運動”的表達形成從模糊走向清晰。課1重在讓學生動手對折圖形紙片，通過想象猜測與動手驗證結果之間的沖突，突破圖形“相同\"與“對稱\"的辨析難點，以圖像和操作表征的互通理解“軸對稱圖形沿著對稱軸對折完全重合”。課2通過量一量、數格子等動手活動驗證點到對稱軸的距離是否相等，以操作、語言、圖像表征的互通理解“軸對稱圖形的對應點到對稱軸的距離相等\"的特征。課3通過畫對稱軸和軸對稱圖形的另一半，以操作表征、圖像、語言表征的互通理解“軸對稱運動”。

4.應用進階，從單一運動到多種運動

三節課體現三個階段逐步構建三類剛體運動之間的聯系。課1重在讓學生辨析軸對稱圖形，形成概念的準確內涵和外延。課2重在讓學生利用軸對稱圖形的特征在格子圖中補全另一半，體現了特征的應用。課3則是類比推理到所有數字，通過兩次平行的對稱軸變化得到原來數字的本身，溝通了兩次平行的“軸對稱運動”和平移之間的關系，為后續研究三類運動之間的聯系和區別奠定基礎。

厘清“軸對稱運動”空間觀念進階發展的規律，有助于教師發展學生的核心素養，既體現了教學邏輯序的螺旋上升，又體現了學生認知序的循序漸進，讓教師在學生進階發展的關鍵處下功夫，有效發展學生的核心素養。

參考文獻：

[1］宋健泳．從“軸對稱圖形\"到\"軸對稱運動”—小學階段“軸對稱\"教學的思考與實踐[J]．小學數學教師，2017（2）：61-65.

[2］黃偉星．從圖形運動的角度初步認識軸對稱圖形—“軸對稱圖形\"同課異構教學評析［J]．小學數學教育，2020（6）：32-33.

[3]高博豪，吳立寶，任占杰.長度量感的進階模型與水平[J]．小學教學（數學版），2024（1）：4-8.

[4］張國梅，王華棟.翻折：“軸對稱圖形”教學的新視角一二年級“軸對稱圖形\"教學實踐與思考[J].教學月刊·小學版（數學），2022（11）：15-18.

[5］劉曉玫．小學生空間觀念的發展規律及特點研究[D].東北師范大學，2007.

[6]顧志能，倪森鶴.讓軸對稱彰顯“運動\"本色—小學\"軸對稱\"知識的內容分析與教學思考[J].教學月刊·小學版（數學），2022（11）： 9-14+27