例談“逆推法”在幾何證明題中的應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).前者希望學(xué)生能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計，并形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，從而培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神.后者希望學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)語言的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識與實踐能力.幾何證明題是初中數(shù)學(xué)常見題型，能夠考查學(xué)生的推理能力，其主要表現(xiàn)為理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索與表述論證過程，同時感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣.可見，推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.因此，采用“逆推法”突破思維瓶頸與規(guī)范幾何證明步驟均有必要.

1引例及問題剖析

引例如圖1，直線 AB 與CD 相交于點 O，OP 是 ∠BOC 的平分線， EO⊥AB 于點 O，F(xiàn)O⊥ CD 于點 O ！ ∠AOD=40^° ，求∠POF 的度數(shù).

圖1

本題綜合了直線、垂線和角平分線，形成了數(shù)量較多的角，給學(xué)生分析線與線之間的位置關(guān)系和角與角之間的數(shù)量關(guān)系帶來了困難.于是，出現(xiàn)了下面這些不規(guī)范的解題過程：

過程（1） ：40^°÷2=20^°，90^°-20^°=70^°

過程（2）：因為 ∠AOD=∠BOC ，所以 ∠BOC= 40^° .因為 OP 是 ∠BOC 的平分線，所以 ∠POF=70^° ：

過程（3） ∠BOF=180^°-40^°-90^°=50^° ∠AOD=∠BOC，∠BOC=40^°， （2號∠BOP=20^°，∠POF=50^°+20^°=70^°.

從上述三種解題過程來看，雖然學(xué)生最終正確計算出了 ∠POF 的度數(shù)，但其解題過程不夠規(guī)范.

首先，過程（1）缺少符合邏輯思維特點的演繹推理過程，究其原因是七年級學(xué)生仍受小學(xué)算數(shù)影響較大，已養(yǎng)成只注重計算結(jié)果的習(xí)慣.“新課標(biāo)\"將第四學(xué)段（7一9年級）的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)描述為“掌握相關(guān)的運算求解方法，合理解釋運算結(jié)果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力”.由是觀之，學(xué)生未對計算結(jié)果作合理解釋，沒有展現(xiàn)出該階段學(xué)生應(yīng)具備的推理能力和抽象能力.

其次，過程（2）（3）雖呈現(xiàn)出一定的演繹推理能力，但書寫過程不夠規(guī)范，且條件與結(jié)論間的邏輯性不強.例如，題中并未已知 ∠AOD=∠BOC ，而解題時將之置于“因為”后作為條件使用.再如，“因為 OP 是∠BOC 的平分線”與“所以 ∠POF=70^°， 并無邏輯關(guān)系.在“新課標(biāo)\"第四學(xué)段 （7-9 年級）的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)描述中，“能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明\"已充分說明正確推理的重要性.因此，學(xué)生在這方面仍需加強.

2“逆推法”及其應(yīng)用

2.1“逆推法”的簡介

證明題的常規(guī)思路是根據(jù)已知條件推理出結(jié)論，而“逆推法\"則是從結(jié)論出發(fā)去尋找相應(yīng)的已知條件.由此可見，“逆推法”是逆向思維的體現(xiàn)，能在一定程度上提高學(xué)生的思維靈活性2.同時，利用“逆推法”有助于學(xué)生尋找問題突破口，從而提高解題效率.需說明的是，利用“逆推法”分析和解決問題時，往往需借助一些符號，如\"？\"“√\"“√\"等.其中，“？”表示未知，需進一步探究;“↓”表示轉(zhuǎn)化，就是將上一步驟中存在的問題轉(zhuǎn)化為下一個問題;“√”表示已知或已解決，這里規(guī)定：當(dāng)推理過程的每一部分均“√”，則說明該問題已解決．