高觀點視角下的幾何結構解法探析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0059-06

F.克萊因曾指出，一個數學教師的職責是應使學生了解數學是一個有機的整體，應站在更高的視角來審視、理解初等數學問題，觀點高了事物才能顯得明了、簡單．許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構中才能被深刻理解．高觀點是強調數學教學應呈現出系統性、連續性和結構性的特征，且注重揭示數學的本質．在教學時，教師可以從高觀點視角分析和解決初等數學問題，也可以從教育學、心理學、數學教育的基本理論等視角來理解數學．通過探析一道中考試題的多種解題思路，嘗試站在高觀點的視角來審視中考試題的教學方法和策略，促進學生了解數學的整體性、系統性和關聯性等特征.

圖1

二、結構分析

一、原題呈現

題目如圖1，在口ABCD中， AC 為對角線， AE⊥ BC 于點 E ，點 F 是 AE 延長線上一點，且 ∠ACF= ∠CAF ，線段 AB ， CF 的延長線交于點 G. 若 ，AD=4 ， tan∠ABC=2 ，則 BG 的長為

該題是2024年中考山西卷第15題，以平行四邊形為背景命制，圖中包含直角三角形和等腰三角形，題干的前半部分是對圖形結構特征的定性描述，后半部分是對線段長度的定量刻畫，目標是求出線段 BG 的長度．根據平行四邊形對邊相等的性質，可以得到 BC= AD=4 ，進而將平行四邊形抽象為圖2.在 RtΔABE 中，由 ， tan∠ABC=2 ，可得 BE=1 ， AE=2 則EC=3. ，因為 ∠ACF=∠CAF ，所以 FA=FC 在 RtΔCEF 中， EF²=FC²-EC² ，即 EF²=（EF+2）²-3² 解得 （2

圖2

圖3

將圖2進一步抽象得到圖3，這是與線段比例有關的圖形，這個圖形的特征是由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個點，其中的已知條件是不在同一條直線上的兩組線段之比，如 AE：EF=8：5 ， BE：EC= 1：3 ，目標是得到另外兩條直線上的線段之比，如AB：BG ， GF：FC. 下面圍繞這個圖形，從低起點到高觀點進行解法探析與教法探討，

三、解法探析

1.低起點解法探析

低起點解法是針對學生的最近發展區，從學生熟悉的知識出發，逐步拆解問題，分步推導，降低思維難度．對于該題，從低起點出發，需要抽象基本圖形，并逐步建立線段之間的數量關系，通常建立至少兩個或者更多的數量關系，在解題時，需要運用自身的數學知識和解題經驗，不斷挖掘題中隱含的條件，同時強調建立多個數量關系在解題過程中的重要性，需要有耐心、有毅力深入挖掘問題的本質，從而得出正確答案.

思路1：平行線法.

根據圖3的結構特征，采用平行線法解決問題，那么平行線法是什么，如何、為何可以解決這個問題呢？首先，觀察圖3，發現該圖由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個點，點與線之間又存在著關聯，即每一個點都是由兩條不同方向的直線相交得到的.其次，過一點作已知直線的平行線，一共能作多少條呢？依據基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”，即過6個點中的任意一點都可以作與另外兩條線段所在直線平行的直線，這樣可以構造出12條不同的平行線．最后，構造平行線后，如何解決該問題呢？通過構造與第三條線段平行，且與第四條線段相交形成“A字形”或“8字形”結構，利用三角形相似的知識解決問題.

解法1：如圖4，過點 A 作 AH//CG ，交 CB 的延長

線于點 H ，則 ΔAEH～ΔFEC. 所以 設 BH= （20號

m，所以2 ，解得m=19. ，同理，可得 ΔABH～

△GBC.所以

圖4

如圖5～9，通過作平行線構造相似三角形，形成比例線段，進而求出線段 BG 的長度，這6種情況相對較為簡單，通過程序化方法先得到含有線段 m 與已知比例的線段組成的相似三角形，以此求出線段 m 的長，然后再找到含有線段 m 與線段 BG 的相似三角形，即可求出線段 BG 的長.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

【評析】為讓學生不盲目地選擇解法，教師需要引導學生有序思考，從4條線段的特征出發，已知 AE ：EF=8：5 ， BE：EC=1：3 ，待求 AB：BG ， GF：FC 因此，可以將這6個點分為兩類，其中有3個點在線段 GC 外，即點 A ， B ， E ，解法1是分別過這3個點作平行線，均形成兩組相似三角形結構.這樣分類使得學生的解題思路不再無序、散亂，而是自然地解決問題.

解法2：如圖10，過點 C 作 CH//AF ，交 GA 的延長線于點 H ，則 ΔBEA～ΔBCH. 所以 設 CH=m，AH=n ，所以 解得 m=8 ，（204 .同理，可得 ΔGFA～ΔGCH. 所以 即 解得

圖10

如圖 11～15 的輔助線作法與圖10類似，需要尋找兩組相似三角形.這6種情況在解決問題時較為復雜，第一組相似三角形中含有 m ， n 兩個未知量，求出這兩個未知量的值，再將其代入第二組相似三角形，即可求出線段BG的長.

圖11

圖12

圖15

圖13

圖14

【評析】運用如圖 10～15 所示的方法作輔助線解題時，要設兩個中間量求解，計算量較大，因此應盡量回避這種方法．在解決復雜的幾何問題時，教師不妨引導學生仔細觀察和分析圖形的結構特征，讓學生能夠靈活運用圖形的性質和定理尋找解題的突破口.

2.高觀點解法探析

高觀點的解題策略是將復雜的多個數量關系進行深度提煉與整合，最終優化為簡潔明了的定理或方法，這一視角超越了單純的問題解決層面，它追求的是對問題本質的深刻理解及對數學知識體系的系統構建.

思路2：解三角形法.

解三角形法的核心是聚焦能確定三角形形狀的三個要素，求出另外三個要素，該題要求解線段 BG 的長度，因此聚焦線段BG所在的三角形即可．顯然，ΔBGC 是一個鈍角三角形，且∠GBC， ∠C 及邊 BC 這三個量是確定的．因此，需要構造有公共直角邊的兩個直角三角形，利用解直角三角形的思路解確定形狀的三角形.

解法3：如圖16，過點 G 作 CB 的垂線，垂足為點 H_? 設 BH=n ，因為 tan∠GBH=tan∠ABE=2 ，所以GH=2n，CH=n+4，BG=√5n.因為tan C=EF 即 所以n=20 所以BG=√5n=20√5

圖16

【評析】掌握解三角形的本質后，可以引導學生求解確定形狀的三角形，即將非直角三角形轉化為兩個直角三角形，從而解決問題，這一方法為解決更復雜的幾何問題和實際應用問題提供了有力的支持.

思路3：面積法.

同高的兩個三角形的面積比等于底邊的比，在對幾何結構的探究中，先從直觀的一維線段出發，再逐步構建對二維平面以至三維空間的認知.這個結論不僅簡化了面積計算的過程，而且深刻揭示了空間維度之間的轉換關系．從一維的長度到二維的面積，通過“同高”這一條件，實現了度量上的直接對應.

解法4：如圖17，連接 GE ，由已知，易得 1， 設 S_ΔEBG=x. 因為 SAEBG =1，所以S△CE=3x.則S△E=3x- 因為S_ΔGEA=x+1 ，所以 解得 因為 所以

圖17

【評析】面積法能夠將幾何、代數和三角函數知識緊密聯系起來．面積法不僅能幫助學生更好地理解和掌握幾何知識，而且有助于培養學生的幾何直觀和邏輯推理能力.

思路4：垂線段法.

利用垂線段法解該題時，需要從宏觀上看這四條線段的特征，其中兩組線段的比例是已知的，一組線段的比例是待求的，可以過其中三條線段的交點向第四條線段作垂線段，目的是將三個不同方向的線段投影到第四條線段上，然后通過設而不求的方法借助數量積的關系求出目標線段的比例關系.

解法5：如圖18，過點 B ， E ， A 分別作線段 CG 的 垂線，垂足分別為點 H₁ ， H₂ ， H₃ 設 H₁B=a，H₂E=b HA=c.由已知，得b 將三個比例式相乘，得 解得 BG=

圖18

【評析】平行線分線段成比例定理是將圖形關系轉換為代數表達的橋梁，通過構造三條互相平行的垂線段，學生發現三組線段的比的乘積恰好等于1.這種構造方法不限制垂線段的數量，根據題目已知條件和實際需要，即可構造 n 組線段的比的乘積等于1.這就需要學生靈活運用幾何變換和線段之間的比例關系，找到解決問題的突破口，形成解決問題的策略.

思路5：梅涅勞斯定理.

使用梅涅勞斯定理時，只需要保留已知比例的線段和所求比例的線段即可．如圖19，點A，B， E 是 ΔABE 的三個頂點，另外三個點 G ， F ， c 稱為“分點”，從頂點 A 出發到分點，最后再回到頂點A，沿路徑 BCEFA ，各段路徑的比值乘積等于1，即

圖19

解法6：如圖19，由梅涅勞斯定理，得 .所以 解得

【評析】梅涅勞斯定理的發現及證明過程，是讓平時學有余力的學生探索的優秀素材，提升學生數學思維的嚴謹性和靈活性.

思路6：解析法.

解析法是將定性的結構分析直接轉化為定量的計算，將復雜的幾何問題轉化為代數問題．這種方法具有高度的直觀性和系統性，能夠清晰地表示幾何關系，避免傳統幾何法中可能出現的思維跳躍或邏輯漏洞，是一種高效、系統的解題方法，但用該種方法解題計算量較大．因此，在用解析法解題時，需要學生具備較強的代數運算能力.

解法7：如圖20，以點 E 為坐標原點，直線 BC 為x 軸，直線 AF 為 y 軸，建立平面直角坐標系．易得點A（0，2）， B（-1， 0） ， C（3， 0） ， .可得直線 AB ， CF 的解析式分別為 ，兩條直線交于點 所以求得 BG=

【評析】雖然近年來平面幾何解析化一直被初中數學教學淡化，但是這一方法是確定各個點位置的直觀方法．基于題中的線段之間有垂直關系，故可以構造平面直角坐標系，通過代數運算求解問題.

3.高觀點跨學科解法探析

黎曼開創了“力等于幾何”的思想，這一思想不僅革新了幾何學，也為物理學提供了全新的視角．自然界中的力并非獨立于空間和時間存在，而是與空間的幾何性質密不可分，這種深刻的見解不僅推動了數學與物理的深度融合，也為現代宇宙學和量子場論的發展提供了重要的理論基礎．黎曼的“力等于幾何”思想，堪稱科學史上的一座里程碑，至今仍在深刻地影響著我們對宇宙的理解.

思路7：質點法.

質點是力學中的一個概念．所謂質點，是有位置而沒有大小但卻有質量的點，設想將幾何中的點的意義加以推廣，在保留點的基本特征的同時又賦予點質量，于是這個點就成為幾何質點．幾何中的線段比可以轉化成質點的質量比；反過來，質量比可以轉化為所求的線段比．這種方法類似于物理學中的杠桿原理，即杠桿平衡時，動力 × 動力臂 Σ=Σ 阻力 × 阻力臂.

解法8：因為 AE：EF=8：5 ，類似于動力臂與阻力臂的比為 8：5 ，所以阻力與動力的比為 8：5 ，即點 F 的質量記為 F（8） ，點 A 的質量為記為 A（5） ，則支點 E 的質量記為 E（5+8） ．同理，因為 BE：EC=1：3 ，所以點 C 的質量記為 C（1） ，點 B 的質量記為 B（3） ，則點 E 的質量記為 E（3+1） ．如圖21，將點 E 的質量統一成比例后，點 E 的質量記為 E（52） ，此時點 A 的質量記為A（20） ，點 B 的質量記為 B（39） ，則點 G 的質量記為G（19），所以BG：AB=20：19.所以BG=20√5

圖20

圖21

【評析】通過引入質點這一力學概念，巧妙地將幾何與物理學中的質量概念相結合，體現了數學與物理學的跨學科聯系．質點作為有位置、無大小但有質量的點，是對幾何中點的概念的推廣，既保留了點的基本特征，又賦予了其物理意義，這種轉化使得幾何中的線段比可以轉化為質點的質量比，反之亦然，為解決問題提供了新的視角，通過質量比與線段比的相互轉化，學生靈活運用數學知識找到解決問題的關鍵，體現了數學問題的多樣性和實用性.

四、教學建議

高觀點的解法并非一蹴而就的產物，它需要具備扎實的數學基礎、敏銳的洞察力和豐富的解題經驗，只有經過長期的經驗積累與沉淀，才能在面對復雜問題時迅速調用自身的知識儲備，并運用高觀點策略優化解題過程．因此，在解決問題時不能一味地追求高觀點，教師需要先帶領學生夯實基礎知識.

1.注重知識間的關聯性與系統性

在該題的解決中，教師構建了系統化的知識網絡，采用“基礎一綜合一拓展”的三層次教學框架通過低起點的平行線法建立解法1和解法2之間的縱向聯系，讓學生感悟過不同點構造平行線時，點的特征與線段比例之間的關聯性與系統性；通過高觀點中的初等數學方法建立思路2至思路6的解法的橫向聯系，將線段問題置于整體圖形中觀察，理解部分與整體的關系，引導學生分析不同方法間的內在聯系；通過高觀點中的跨學科方法（質點法），引導學生打破學科壁壘，嘗試將數學知識與物理知識結合來解決問題．在教學中，教師應根據學生的思維特點和問題的應用條件，幫助學生建立“方法選擇一問題特征”的對應關系，通過這種系統關聯的設計，既能夯實學生的基礎知識和基本技能，又能培養學生綜合運用知識解決復雜問題的能力，最終實現從具體方法掌握到數學思想領悟的升華，促進核心素養的全面發展.

2.注意低起點與高觀點之間的聯系

運用低起點方法解題時，鼓勵學生從簡單到復雜、從易到難地逐步解決問題，注重基礎知識的鞏固和深化，從而深入理解和掌握知識點，這種方法能夠幫助學生樹立學習信心，激發學習興趣，是推動他們繼續深入學習和探索的動力．

運用高觀點方法解題時，不再局限于題中給出的具體條件，而是站在更高的理論高度，審視并剖析這些條件背后的數學規律，并將它們巧妙地應用于當前問題的解決中，高觀點的解題策略還強調數學知識的內在聯系與系統性．它將所學的數學知識視為一個有機整體，通過不斷地歸納、總結與提煉，發現不同知識點之間的內在聯系與規律，促進學生對數學知識的深入理解與掌握.

從不同視角切入解決問題，能夠體現數學思維的多樣性和數學方法之間的關聯性，突出數學本質．在實際解題過程中，低起點方法為學生提供了必要的知識儲備和基本技能，使學生能夠更好地理解和應用高觀點方法.同時，高觀點方法也為學生提供了更寬廣的視野和更深入的思考方式．這兩種視角在不同層面和角度上相互促進、相互補充，使不同的學生在數學上獲得不同的發展，從而激發學生的學習興趣和創新能力.

參考文獻：

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