初中數學新定義問題的教學實踐與反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0018-03

一、背景介紹

數學定義是形成公理化體系的基礎，在數學學習與研究中占有必不可少的地位．第二次數學危機的爆發就源于對極限缺乏嚴格的定義．定義學習也是中學數學學習的重要內容之一.學生經歷形成或同化新定義的過程，有助于提升數學閱讀與分析能力，發展抽象能力、創新意識等核心素養.

近年來，新定義問題已成為初中數學教學中富有創新價值的亮點問題.這類問題通過創設新穎的數學情境，能有效培養學生提取關鍵信息、抽象數學本質的能力，為發展學生的數學思維提供了良好載體．而教學實踐發現，由于新定義問題具有信息量大、文字量大、閱讀量大等特點，學生在面對新定義的陌生情境時，往往缺少探究的勇氣或入手分析的方法．可見，新定義問題的教學研究具有較為重要的教育價值和實踐意義.

新定義問題的“新”，新在問題情境，其本質的數學知識與方法離不開課程標準的要求．《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，初中階段的數學課程內容分為四個領域，分別是數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐，每個學習領域下有不同的主題.下面結合一道新定義問題，開展教學實踐與反思.

二、課堂教學實踐

例在平面直角坐標系 xOy 中，對于點 和Q（x，y），給出如下定義：若y=[y（x≥0）， 則稱點 Q 為點 P 的“可控變點”.例如，點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點 （-1， 3） 的“可控變點”為點 （-1，-3） ·

（1）點 （-1，δ-2） 的“可控變點”坐標為

（2）若點 P 在函數 y=-x²+16（-5?x?a） 的圖象上，其“可控變點” Q 的縱坐標 y^′ 的取值范圍是-16?y^′?16 ，求實數 Ψ_a 的取值范圍.

問題1：你能用文字語言敘述“可控變點”的定義嗎？

問題2：為什么點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（-1，3）的“可控變點”為點（-1，-3）？你能結合定義解釋嗎？

問題3：點（0，3）的“可控變點”是什么？

問題4：關于“可控變點”，你能聯想到哪些已學的知識？

【設計意圖】遇到新定義問題時，解決問題的前提是理解定義本身．上述四個問題有助于學生對例題中“可控變點”的定義進行理解．其中，問題1幫助學生將抽象的符號語言轉化為容易理解的文字語言，通過問題2幫助學生結合具體實例初步理解新定義.問題3帶領學生關注新定義中的臨界值．問題4幫助學生聯想到已學知識一一平面直角坐標系中點的對稱，從幾何的角度理解“可控變點”的定義，進而探求其本質特征．

通過例題的分析與解決，學生在教師引導下歸納了研究新定義問題的一些經驗和方法：注意符號語言、文字語言和圖形語言之間的轉換；列舉具體的例子（特殊的、非特殊的等不同類別的）有助于理解新定義；聯系已學知識來探求新定義的本質.

【設計意圖】數學概念的形成是一個循序漸進的過程．教學中，教師采用問題串的形式給予學生足夠的正向刺激，使之感知概念，同時給予學生充足的時間從符號語言、文字語言和圖形語言的角度描述概念，從而將新定義與已學知識建立關聯，并綜合運用其解決問題．在分析與解決問題的過程中，學生通過理解“可控變點”的定義，探索點的坐標變化規律，并將其抽象為數學關系，發展抽象能力；從對稱的角度理解坐標的符號變化，深化幾何直觀．最后，積累的活動經驗能為學生后續解決類似新定義問題作鋪墊．

變式1：在平面直角坐標系中，對于點 和點 ，若滿足 m?0 時， n^′=n-4 ； mlt;0 時， n^′=-n ，則稱點 是點 的“限變點”．例如，點 P₁（2，5） 的“限變點”是 P₁^′（2，1） ，點 P₂（-2， 3） 的“限變點”是 .若點 在二次函數 y=-x²+4x+2 的圖象上，則當 -1?m?3 時，其“限變點” P^′ 的縱坐標 n^′ 的取值范圍是

問題1：結合定義說一說，為什么點 P₁（2，5） 的“限變點”是 P₁^′（2， 1） ，點 P₂（-2， 3） 的“限變點”是P₂^′（-2，-3）？

問題2：“限變點”定義中還有什么值得我們關注的點嗎？點（0，3）的“限變點”是什么？

問題3：你能從其他語言的角度來理解“限變點”的定義嗎？

【設計意圖】變式1是對例題的直接變式，解題的關鍵在于從對稱和平移的角度來理解“限變點”的定義．對變式1的教學延續了例題的問題串教學方式．問題1和問題2通過豐富的實例（特殊的、非特殊的）突出“限變點”定義的關鍵差異和本質特征．問題3引導學生從其他語言的角度理解“限變點”，有助于學生聯想已學知識一平面直角坐標系中點的對稱和平移，以探究“限變點”的本質.學生根據在例題中收獲的經驗，通過類比，經歷分析、比較的活動過程，發展推理能力；從對稱和平移的角度理解坐標變換，構建數學符號的幾何意義，發展幾何直觀.

變式2：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（n?0） 的點叫作這個函數圖象的“ n 階方點”．例如，$M _ { ☉ } ^ { ＼mathrm { H } } ＼left（ ＼frac { 1 } { 3 } ， ＼ ＼frac { 1 } { 3 } ＼right）$ 是函數 y=x 圖象的“ 階方點\"；點（2，1）是函數 圖象的“2階方點”.

（1）在 ，②（-1，-1）， ③（1， 1） 三點中，是反比例函數 圖象的“1階方點”的有（填序號）.

（2）若 y 關于 x 的一次函數 y=ax-3a+1 圖象的“2階方點”有且只有一個，求 Ψ_a 的值

（3）若 y 關于 x 的二次函數 y=-（x-n）²-2n+1 圖象的“ n 階方點”一定存在，試直接寫出 Ω_n 的取值范圍.

問題1：結合定義解釋為什么點 是函數y=x 圖象的“ 階方點\"？為什么點（2，1）是函數 圖象的“2階方點\"？

問題2：關于“ n 階方點”的定義，你還能提出哪些有價值的問題來幫助自己和同學們來理解它？

問題3：通過第（2）小題的解決，你認為理解“ n 階方點”的關鍵是什么？

【設計意圖】相較于例題和變式1，變式2的難度有所提升，但分析方法仍來源于例題中積累的活動經驗．變式2采用類似的問題串引導學生自主分析，但問題設計的開放度更大，給予學生更多自主分析的空間．問題1要求學生結合定義對特殊例子進行解釋．教師要關注學生的表達中是否涉及“ n 階方點”定義中的兩個關鍵點，即在函數圖象上，到坐標軸距離小于等于 n ，對于問題2，學生可能會提出如下問題：一個函數圖象上的‘ 階方點”是不是只有1個呢？ y=x 上的“ 階方點”有多少個？點 是 y=x 圖象的“1階方點”，那它還能是這個圖象的其他階方點嗎？問題3引導學生自己歸納、總結、理解“ n 階方點”的關鍵一一用幾何語言進行翻譯，即用一個正方形來刻畫“ n 階方點”．這個過程再次強化了在例題中歸納的三點活動經驗．在探究過程中，學生通過運用圖形來解釋簡單的二元不等式的幾何意義，發展幾何直觀和空間觀念；通過在獨立研究中提出問題、尋找規律，發展創新意識.

三、反思與啟示

1.明確新定義專題課的選題特征

專題課要“小”“專”“低”.其中，“小”是指落腳點要小，新定義問題本身是一個很寬泛的專題．本節課將新定義問題聚焦于函數背景，即是在縮小落腳點．“專”是指專門研究某類問題．在本節課中也就是指新定義問題．“低”是指起點低，也就是要求其受眾是全體學生，本節課的問題設計有難有易，例題和變式2的第（1）小題都較為基礎，是大部分學生都可以解決的，而這也正是教師要多鼓勵學生的一敢于人手探究新定義問題，突破對“新”的恐懼.

從課堂反饋來看，本節課針對新定義的選題是一次較為成功的嘗試.但新定義內容極其豐富，僅是函數背景下的新定義也都需要后續的專題設計來繼續跟進．另外，除了從數學基礎知識的角度來縮小新定義問題的落腳點，也可以考慮從數學基本思想方法等角度來聚焦，總之，新定義問題這一選題還有很大的探索空間.

2.打磨新定義專題課的問題設計

專題課的問題設計要具有層次性，從易到難，從簡單到綜合，從形象到抽象．本節課的問題設計體現在兩個方面．一方面，指題目本身的設計.本節課中的例題、變式1、變式2三道題目就是秉承著從易到難、從簡單到綜合的邏輯進行設計的．這有助于學生突破心理防線，敢于去觸碰新定義問題，能逐步在新定義問題中接受挑戰，提升能力．另一方面，指每道題目分析過程中的問題設計.本節課對題目的分析皆采用循序漸進的問題串驅動學生思考，學生在思考這些問題的過程中逐漸從形象走向抽象，從而理解新定義，探求出其本質特征.

專題課的問題設計要具有可推廣性．本節課的三道題雖然不同，問題設計也有略有差異，但其本質主要集中在三個問題上：怎么結合定義解釋題中給的具體例子？你能提出哪些其他問題來理解這個定義？你能聯系已學知識或者從其他語言（文字、符號、圖形）的角度來重新理解這個定義嗎？從例題到變式1再到變式2，具體問題在變化，但本質仍然圍繞上述三個問題進行設計，例題結束后的方法歸納也是針對上述三個問題．在這個過程中，學生能基本形成分析大部分新定義問題的一個思考路徑，進而推廣到其他新定義問題，乃至其他閱讀理解類數學問題的分析中.

3.強化新定義專題課的素養導向

數學核心素養的形成是一個漸進式的過程，需要在有意義的數學活動中持續積累經驗．因此，專題課的教學設計應當突破傳統的機械刷題模式，以核心素養為導向，系統規劃教學內容并設計相應的教學活動，讓學生充分經歷數學新定義形成與同化的過程，本節課聚焦新定義問題，通過坐標變換與圖形變換的關聯，使學生感悟數形結合思想，發展幾何直觀；給予學生充足的時間感悟數學概念的形成，通過層次性的設問和討論不斷解釋數學概念的本質，建立新定義與已學知識的聯系，提升推理能力和抽象能力；鼓勵學生提出問題、勇敢質疑，激發學生的好奇心和想象力，發展創新意識.

教學實踐表明，經歷本節課的探究式學習后，學生對于解決新定義問題的信心和活動經驗有了一定程度的提升.數學概念的教學不應停留在靜態知識的機械記憶與模式化套用層面，而應當構建動態化的認知過程，引導學生主動質疑和深入探究．由此，才能培養學生在面對新定義問題及其他現實情境中的新問題時，具備必要的數學核心素養.

參考文獻：

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