加強變式教學，促進學生高階思維發展

在當今教育改革的浪潮中，培養學生的高階思維能力已成為教育教學的核心目標之一.而變式教學，能夠引導學生從“變化\"的現象中發現“不變”的本質，從“不變\"中尋求“變化\"規律，促進學生深度理解數學問題，培養學生的發散性思維、批判性思維和創新性思維，從而發展高階思維.因此，在數學教學中，教師應加強變式教學，促進學生高階思維的發展.筆者從以下幾個方面淺談如何進行有效的變式教學.

1緊扣數學概念變式，深刻理解本質內涵

數學概念是構成數學知識的基礎，是基礎知識和基礎技能的核心.因此，概念教學在教學過程中尤為重要.為了讓學生能夠深刻地理解概念的本質，靈活運用概念，教師可以對概念的內涵和外延進行變式，幫助學生鞏固概念并形成解題能力.

案例1 函數的概念

函數的概念比較抽象，要理解這個概念需抓住兩點，一是在一個變化過程中有兩個變量 x 和 y ，二是對于 x 的每一個值， y 都有唯一的值與它對應.為了讓學生能夠更深刻地理解函數概念的本質，教師可以設置多種形式的變式.

例1用一根長為 2m 的鐵絲圍成一個長方形，這個長方形的長是寬的函數嗎？為什么？

變式1下列式子中， y 是 x 的函數的是

變式2下列曲線中表示 是 x 的函數的是（ ）.

在函數概念中，關鍵要學生理解“唯一對應性”，為此筆者設計了多種形式的變式.例1需要寫出表達式，然后判斷是否是函數；變式1是給出多個表達式判斷函數；變式2是給出圖形判斷函數.對于變式2的圖形，學生一下子無從下手，實際只要掌握函數概念的本質，即“對于 x 的每個值， 是否有唯一值與它對應”，就可以迎刃而解.通過這樣多種形式的變式練習，能夠加深學生對概念的理解，提升學生對數學知識的理解和應用能力，真正做到融會貫通.

2運用公式定理變式，發展學生辨析思維

初中的部分習題需要用公式、定理進行解答，對于公式、定理的掌握和運用尤為重要.因此，在形成數學公式與定理后，教師應適當對其進行變式處理，促進學生對公式與定理的全面掌握，培養其辨析思維.

案例2 切線判定定理

在得出切線的判定定理后，為了讓學生更深刻理解切線的判定定理，即“經過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線”，設置了例題和變式進行辨析，從而選擇合適的方法進行證明.

例2如圖1，直線 AB 經過圓 o 上一點 c ，且 OA=OB ，CA=CB ，直線 AB 與圓 O 相切嗎？為什么？

變式如圖1，在 ΔABO 中， AO=BO=10 ∠AOB=120^° ，以 O 為圓心，5為半徑的圓 o 與 OA ，OB相交，直線 AB 與圓 O 相切嗎？為什么？

例2中“直線 AB 經過圓 O 上一點 c ”符合切線判定定理的條件“經過半徑外端”，因此只需連接 CO ，證 CO⊥AB .而變式中并沒有條件指明“直線 AB 經過半徑外端”，因此并不能用此判定方法，只能過圓心 o 作 OC⊥AB 于點 C （如圖 2，OC 即 d ），證明 d=r .通過例2及其變式，能幫助學生充分挖掘判定定理的本質，辨析切線的判定方法，選用合理的方法證明，從而培養學生辨析能力和批判性思維.

3精選典型習題變式，拓展學生解題思維

教師在進行教學設計時，應根據課標和學情，精選教材中的例題或習題進行變式，引領學生感受知識由淺入深、層層遞進的發展過程，提煉更多的解題方法，提升思維的發散性，使學生的數學能力螺旋式增長.

3.1陷阱式變式

學生經常會因審題不清犯下錯誤，陷阱式的變式可以讓學生提高警惕，逐字、逐句讀題，提高學生的數學閱讀能力.

案例3 二次函數與一元二次方程

例3已知二次函數 y=mx²+（2m+1）x+m+ 2的圖象與 x 軸有兩個交點，求 Σ_m 的取值范圍.

變式1已知二次函數 y=mx²+（2m+1）x+ m+2 的圖象與 x 軸有交點，求 Ψ_m 的取值范圍.

變式2已知函數 y=mx²+（2m+1）x+m+2 的圖象與 x 軸有一個交點，求 ?_m 的值.

變式3已知函數 y=mx²+（2m+1）x+m+2 的圖象與坐標軸有兩個交點，求 Ψ_m 的值.

本案例中的變式1將例3中的“兩個交點\"變為“有交點”，由于交點個數不確定，則需滿足“ Δ?0 且 ；變式2將原題中的“二次函數“變為“函數”，由于二次項系數不明確，則需分類討論；變式3將變式2中的“ x 軸\"改為“坐標軸”，由于是 x 軸還是 軸不明確，則需分類討論，同時還需數形結合.本題設計的三個變式層層遞進，滲透了分類討論和數形結合的思想，使不同層次的學生都能得到發展，使學生思維得到拓展.三個變式的條件只有細微的差別，一不當心就會落入陷阱，因此也體現了數學閱讀能力的重要性.

3.2探究式變式

在課堂教學中，從一題多變、一題多解、一法多用等方面開展探究式變式教學模式.在設計變式時要做到“低起點，高落點”，逐步激活學生的思維，促進學生思維多向拓展，尋求最佳解決方案，發展學生思維的靈活性和創造性.

（1）一題多變

一題多變指的是通過改變題設、結論或圖形等，對同一問題從多角度來研究，培養學生舉一反三的能力，提高學生思維的靈活性，發展高階思維.

案例4平行投影的性質

例4數學興趣小組的同學要測量一棵樹的高度.在陽光下，一名同學測得一根豎直放置的長為 1m 的竹竿的影長為 0.5m ，同一時刻，另一名同學測出樹落在地面的影長為 4m ，則此樹高為多少？

變式1數學興趣小組的同學要測量一棵樹的高度.在陽光下，一名同學測得一根豎直放置的長為 ^1m 的竹竿的影長為 0.5m ，同一時刻，另一名同學測量一棵樹的高度時，發現樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，如圖3所示，其中落在墻壁上的影長為 0.8m ，落在地面上的影長為 3.6m ，則此樹高為多少？

變式2數學興趣小組的同學要測量一棵樹的高度.在陽光下，一名同學測得一根豎直于地面的長為 ^1m 的竹竿的在地面上的影長為 0.5m ，同時另一名同學測量樹的高度時，發現樹的影子不全落在地面上，一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此臺階上影子長為0.3m ，一級臺階高為 0.2m ，如圖4，若此時落在地面上的影長為 3.6m ，則此樹高為多少？

（2）一題多解

一題多解是用不同的方法解決同一個問題，進而得到更優化的解法.開展一題多解的教學活動，有利于發散學生思維，培養其創新意識.以案例4變式1為例，學生自主思考，得到以下方法：

生1：如圖5，延長 AC 交 BD 于點 F ，則物高 AB 的影長為 BF 、物高 CD 的影長為 DF ，則 即 0.5·解得DF=0.4，AB=8.

生2：如圖6，過 c 作 CF⊥AB 于點 F ，則 CF=

BD=3.6，BF=CD=0.8 ，物高 AF 的影長為 CF ，可知

，解得 AF=7.2 ，所以 AB=7.2+0.8=8（m） （204號

生3：如圖7，過 D 作 DF//AC 交 AB 于點 F ，則AF=CD=0.8 ，物高 BF 的影長為 BD ，可知 ，解得 BF=7.2 ，所以 AB=7.2+0.8=8（m）

通過三種方法的展示，學生一致認為第二種方法更為簡便，更容易理解，即“通過作高將直角梯形分成矩形和直角三角形”在一題多解的過程中，發展了學生的探究意識，培養了學生的創新能力.

（3）一法多用

一法多用是利用相同的解題思路去嘗試解答不同的習題，以解鎖數學習題的奧秘.一法多用教學重在培養學生靈活運用解題方法的能力.例如案例4，從例題到變式，都運用了“在平行光的照射下，同一時刻，不同物體的物高與影長成比例”這一性質.只要找到“物高所對應的影長”，這一類型的題目也就迎刃而解，最終實現“做一題，會一類，通一片”.

對于案例4例題的變式設計，基本實現了一題多變、一題多解、一法多用的探究式變式教學模式.基于原題設計變式，在“變\"中設計適合不同層次學生能力水平的題目，達到學生的最近發展區，同時也能夠使學生跳一跳，達到新的高度.探究式變式設計，能夠發展學生的高階思維.

4采用自主開放變式，培養學生創新思維

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，教師在課堂教學中可以引導學生從不同角度提出問題，自主變式，抓住數學的本質，從而提升學生應用知識的能力，培養學生的創新意識，發展學生的高階思維.

案例5一元二次方程的應用

（1）某校舉辦籃球賽，參賽的每兩隊間都要比賽

一場，共要比賽45場，則有多少個球隊參加此次

比賽？（2）參加聚會的每兩個人之間都互相贈送了一份

禮物，若一共送出了90份禮物，則有多少人參加

聚會？學生自主探究，教師適時引導得出答案：（1）設有 x 個球隊參加比賽，則 （2）設有 x 人參加聚會，則 x（x-1）=90

在探索過程中部分學生對于方程左邊的除以2產生了疑問，在分析完后，為了讓學生真正理解問題的本質，教師要求學生進行不同背景的設計，小組討論并進行展示.

變式1參加聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手45次，有多少人參加聚會？

變式2參加酒會的每兩人都只碰一次杯.所有人共碰杯45次，有多少人參加酒會？

變式3某小組開展“元旦祝福\"活動，要求每位同學給其他人各寫一句祝福語，結果一共寫了90份，則該小組共有多少人？

變式4微信群內每人都要發一個紅包，并保證群內其他人都能搶到且自己不能搶自己發的紅包，若群內所有人共收到90個紅包，則該群共有多少人？

學生通過討論交流，改變問題的背景，將知識活學活用，區分了比賽問題（握手、碰杯）和贈禮物問題（寫祝福、發紅包），深刻理解了問題的本質，增強了學習信心和積極性.教師引導學生自主變式，促使學生從不同角度對知識進行辨析，實現了深度學習，在變式中探索出不變的規律，發展了思維的發散性和創造性.

變式教學作為一種有效的教學策略，通過對概念的理解辨析、公式與定理的運用、例題與習題的應用等多樣化的學習情境設計，能夠幫助學生更深人地理解知識，并在不同的情境中靈活應用這些知識，從而促進高階思維的發展.