求線段旋轉后動端點的坐標的解法

求線段旋轉后動端點的坐標是初中數學中的常見題型，主要是利用等線段共點、特殊角，以及已知的直角三角形或構造的直角三角形，構造“一線三垂直”模型、“一線三等角\"模型，將求線段旋轉后動端點的坐標問題轉化為求線段的長度問題，下面通過具體的例題來探討其解法.

1例題呈現

題目如圖1，點 A 的坐標為（0，3），點 B 的坐標為（4，0），將線段 AB 繞點 A 按逆時針方向旋轉45^° 得到線段 AC ，則點 c 的坐標為

2解法展示

2.1構造“一線三垂直\"模型

分析一：求點的坐標通常需要求出點到 x 軸、 y 軸的距離，利用特殊角求線段的長度通常是構造直角三角形，因此可以構造“一線三垂直”模型.

解法一：如圖2，過點 C 作 CD⊥ AB ，垂足為 D ，過點 D 作DE ⊥ y 軸，垂足為 E ，過點 C 作 CF⊥ DE ，垂足為 F，CF 的延長線交 x 軸于點 G. 由 A（0，3），B（4，0） ，得 AB=AC=5. 又 ∠CAB=45^° ，

CD⊥AB ，則 由 AD⊥CD，AE⊥EF

CF⊥EF ，得 ∠AED=∠DFC=90^°. 于是 ∠EAD=

∠FDC ，又 AD=CD ，所以 ΔAED?ΔDFC ： ?AE=DF，DE=CF ： ?_ED//OB

∴點 c 的坐標為

解法二：如圖3，過點 c 作CD⊥AC，CD 交 AB 的延長線于點 D ，過點 c 作 軸的垂線，垂足為 E ，過點 D 作 DF⊥CE ，垂足為 F，DF 交 x 軸于點 G 由 ∠BAC=45^° ∠DCA=90^° ，可

得 DC=AC=AB=5 ，則

易證 ΔAOB～ΔDGB ，則

： ： 易證 ΔAEC?ΔCFD ： AE=CF ： ： ?AE²+EC²=AC²=25 ：點 c 的坐標為

方法歸納：先過旋轉后的線段的動端點作垂直于線段旋轉前的線段或旋轉后的線段的垂線，得到直角三角形，再過直角三角形的直角頂點作垂直于坐標軸的直線，構造“一線三垂直\"模型，將求線段旋轉后動端點的坐標問題轉化為求線段的長度問題.

2.2構造“一線三等角\"模型

分析二：點的坐標可由線段的長度及線段與坐標軸所形成的角（通常是特殊角）來確定，由于旋轉角是特殊角，因此可以構造“一線三等角”模型.

解法三：如圖4，在 軸上且

在點 A 的兩側取點 D，E ，使得

∠CDA=∠BEA=45^° ： ∠BAC=45^° ： ∴∠BAE+∠CAD=135^° ： ∠CDA=45^° ，： .∠CAD+∠ACD=135^° ·∠BAE=∠ACD 又 ∠CDA=∠BEA ， AB=AC ： ∴ΔAEB?ΔCDA ： 過點 c 作 CF⊥AD，CG⊥x 車

G ，則 ：點 c 的坐標為

解法四：如圖5，過點 A 作 y 軸的垂線 AM ，在 AM 上取點 D ，E ，使 ∠ADB=∠AEC=135^° ，過點 B 作 BF⊥AM ，垂足為 F ，過點c 作 CG⊥x 軸，垂足為 G，CG 交AM于點 H ，則 BF=DF=3= HG，AD=AF-DF=1 易證 ΔABD?ΔCAE ，則 ，則 CH= ，所以 CG=CH+ （20

故點 c 的坐標為

方法歸納：在過旋轉中心且垂直于坐標軸的直線上取兩點作等于旋轉角（或其補角）的兩個角，構造“一線三等角\"模型，得到兩個全等三角形，將求線段旋轉后動端點的坐標問題轉化為求線段的長度問題.

2.3旋轉直角三角形

分析三：求點的坐標通常需要求出點到 x 軸、 y 軸的距離，由于旋轉角是特殊角、旋轉線段等長共點，因此可以將旋轉線段與坐標軸構成的直角三角形進行旋轉，再構造“一線三垂直”模型.

解法五：如圖6，將直角三角形 AOB 繞點 A 按逆時針方向旋轉 45^° ，得到 ΔADC ，過點 D 作DE⊥y 軸，垂足為 E ，過點 c 作CF⊥DE ，垂足為 F，CF 的延長線交 x 軸于點 G ，則 AD=AO=3 ，

DC=OB=4 ∠DAE=∠CDF=45^° （204號 ：點 c 的坐標為

解法六：如圖7，過點 c 作 yCD⊥y 軸，垂足為 D ，將直角三角 D FFG形 CDA 繞點 A 按順時針方向旋轉 45^° 得△BEA，過點 E 作 EF⊥y 軸，垂足為 F ，過點 B 作 BG⊥ 0 B x圖7EF ，垂足為 G ，則 AE=AD= 由 FE+EG=FG=OB= ，得 ，所以 OD=OA+AD=3+ 故點C的坐標為（

方法歸納：將旋轉線段與坐標軸構成的直角三角形進行旋轉，再過直角三角形的直角頂點作垂直于坐標軸的直線，構造“一線三垂直\"模型，將求線段旋轉后動端點的坐標問題轉化為求線段的長度問題.

以上探討了求線段旋轉后動端點的坐標的解法，需要注意的是構造“一線三垂直”模型與“一線三等角\"模型時直線均與坐標軸垂直，這樣能將求線段旋轉后動端點的坐標問題轉化求線段的長度問題.