探究銳角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例1 南極洲的冰山之下被水面掩蓋了很大一部分山體.南極科考團(tuán)為了測(cè)量冰山山體的高度，將冰山側(cè)面抽象成如圖1所示的 ΔABC 和 ΔACD ，且 BA=BC，DA=DC 其在點(diǎn) A 處測(cè)得山頂 B 處的仰角 ∠BAC=22^° AC=300m ，由物理中的浮力知識(shí)可知冰山水平面上下兩部分的最大高度之比約為 1：9 ，試求冰山山體的總高度.（結(jié)果精確到 1m 參考數(shù)據(jù)： sin22^°≈0.37，cos22^°≈0.93，tan22^°≈ 0.40.）

解題思路 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用.

首先，熟讀題意，然后通過(guò)連接BD并交 AC 于點(diǎn) E ，構(gòu)建直角三角形BEA；然后，利用已知條件仰角的度數(shù)和AC的長(zhǎng)度，結(jié)合正切函數(shù)求算出 BE 的長(zhǎng)度；再根據(jù)冰山水平面上下部分的最大高度之比，計(jì)算出DE的長(zhǎng)度；最后，求算BE和DE的長(zhǎng)度總和，即為BD的長(zhǎng)度，也是冰山山體的總高度.

答案 600m

解析 如圖2所示，連接 BD ，并交 AC 于點(diǎn) E

由題意可知， BA=BC，DA=DC ，

所以 BD⊥AC，AE=CE ，

∠BEA=90^° ，

因此

因?yàn)?

所以 BE≈AE×0.40=60m

根據(jù)題意可得知 =

所以 BD=BE+DE=10BE=600m.

綜上所述，冰山山體的總高度約為 600m

例2圖3是公園中的一種健身器材，其由底座、搖桿、踏板桿和尾桿組成，圖4是該健身器材的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，此時(shí) AP⊥MN，EQ⊥MN CD//MN ，經(jīng)測(cè)量可知 BC=55cm，CD=97cm DE=14cm ，踏板桿 CD 距離地面MN的高度為17cm ，搖桿 AC 繞點(diǎn) B 轉(zhuǎn)動(dòng)，且點(diǎn) A，C，D 都是可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖5所示，當(dāng) DE 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° 到達(dá) D^′E 的位置時(shí)，試求此時(shí)點(diǎn) D^′ 距離地面的高度；

（2）小紅踩動(dòng)踏板，使 DE AC 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度 θ（0^°lt;θlt;180^°） ，此時(shí)測(cè)得點(diǎn) C^′ 點(diǎn) D^′ 距離地面 MN 的高度分別為 22cm.40cm ，試求此時(shí)搖桿 A^′C^′ 與踏板桿 C^′D^′ 的夾角（即 ∠A^′C^′D^′ 的度數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)： sin10.72^°≈0.19，cos10.72^°≈ 0.98，tan10.72°0.19， sin65.5^°≈0.91 ，cos65.5°≈0.41，tan65.5^°≈2.19）

L

解題思路（1）首先，利用三角函數(shù)，求出 EF 的長(zhǎng)度；然后，計(jì)算 D^′G 的長(zhǎng)度即為點(diǎn) D^′ 距離地面的高度.

（2）首先，添加輔助線，過(guò)點(diǎn) D^′ 作 D^′F⊥DE 點(diǎn)F ，過(guò)點(diǎn) D^′ 作 D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ，過(guò)點(diǎn) C^′ 分別作C^′H⊥MN 于點(diǎn) H ，作 C^′I⊥D^′G 于點(diǎn) I ，并交 AC 于點(diǎn) J ；然后，需要明確點(diǎn) C^′ 和點(diǎn) D^′ 距離地面的高度，即求算 C^′H 和 D^′G 的長(zhǎng)度；再利用已知條件求算出 D^′I 和 BJ 的長(zhǎng)度；接著，利用銳角三角函數(shù)，求出 ∠D^′C^′I 的度數(shù)；最后，再利用銳角三角函數(shù)，求出 ∠BC^′J 的度數(shù)，即可得出 ∠A^′C^′D^′ 的度數(shù).

答案 （1）24cm （2）54.78^° ·

解析（1）如圖6所示，過(guò)點(diǎn) D^′ 作 D^′F⊥DE 于點(diǎn) F，D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ，則四邊形 D^′GQF 為矩形，根據(jù)題意，可知 ∠D^′EF=60^° ，

D^′E=DE=14 所以 D^′G=FQ=DE+DQ-EF=14+17-7 =24（cm） ，

因此，點(diǎn) D^′ 距離地面的高度是 24cm 業(yè)

（2）如圖7所示，過(guò)點(diǎn) D^′ 作 D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ， 過(guò)點(diǎn) C^′ 分別作 C^′H⊥MN 于點(diǎn) H ，作 C^′I⊥D^′G 于點(diǎn) I ，并交 AC 于點(diǎn) J ·

由題意可知， C^′H=PJ=IG=22 ，D^′G=40 ，所以 D^′I=D^′G-IG=40-22=18 ，BJ=BC+PC-PJ=55+17-22=50. （20在 RtΔC^′ID^′ 中， 所以 ∠D^′C^′I≈10.72^° 在 RtΔC^′BJ 中， （2所以 ∠BC^′J≈65.5^° 所以， ∠A^′C^′D^′=∠BC^′J-∠D^′C^′I≈65.5^°- 10.72^°≈54.78^°

因此，搖桿 A^′C^′ 與踏板桿 C^′D^′ 的夾角約為 54.78^°

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)兩道例題的深入剖析，不難發(fā)現(xiàn)，銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在解決實(shí)際問(wèn)題中起到了重要的作用.在解決此類問(wèn)題的過(guò)程中，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還學(xué)習(xí)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用理論知識(shí)進(jìn)行答案的求解，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和審題辨圖能力.