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探究銳角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

2025-08-12 00:00:00王寶霞
數(shù)理天地(初中版) 2025年12期
關(guān)鍵詞:銳角三角冰山過(guò)點(diǎn)

例1 南極洲的冰山之下被水面掩蓋了很大一部分山體.南極科考團(tuán)為了測(cè)量冰山山體的高度,將冰山側(cè)面抽象成如圖1所示的 ΔABC 和 ΔACD ,且 BA=BC,DA=DC 其在點(diǎn) A 處測(cè)得山頂 B 處的仰角 ∠BAC=22° AC=300m ,由物理中的浮力知識(shí)可知冰山水平面上下兩部分的最大高度之比約為 1:9 ,試求冰山山體的總高度.(結(jié)果精確到 1m 參考數(shù)據(jù): sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈ 0.40.)

圖1

解題思路 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用.

首先,熟讀題意,然后通過(guò)連接BD并交 AC 于點(diǎn) E ,構(gòu)建直角三角形BEA;然后,利用已知條件仰角的度數(shù)和AC的長(zhǎng)度,結(jié)合正切函數(shù)求算出 BE 的長(zhǎng)度;再根據(jù)冰山水平面上下部分的最大高度之比,計(jì)算出DE的長(zhǎng)度;最后,求算BE和DE的長(zhǎng)度總和,即為BD的長(zhǎng)度,也是冰山山體的總高度.

答案 600m

解析 如圖2所示,連接 BD ,并交 AC 于點(diǎn) E

圖2

由題意可知, BA=BC,DA=DC ,

所以 BD⊥AC,AE=CE ,

∠BEA=90°

因此

因?yàn)?

所以 BE≈AE×0.40=60m

根據(jù)題意可得知 =

所以 BD=BE+DE=10BE=600m.

綜上所述,冰山山體的總高度約為 600m

例2圖3是公園中的一種健身器材,其由底座、搖桿、踏板桿和尾桿組成,圖4是該健身器材的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖,此時(shí) AP⊥MN,EQ⊥MN CD//MN ,經(jīng)測(cè)量可知 BC=55cm,CD=97cm DE=14cm ,踏板桿 CD 距離地面MN的高度為17cm ,搖桿 AC 繞點(diǎn) B 轉(zhuǎn)動(dòng),且點(diǎn) A,C,D 都是可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖5所示,當(dāng) DE 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 到達(dá) DE 的位置時(shí),試求此時(shí)點(diǎn) D 距離地面的高度;

(2)小紅踩動(dòng)踏板,使 DE AC 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度 θ(0°lt;θlt;180°) ,此時(shí)測(cè)得點(diǎn) C 點(diǎn) D 距離地面 MN 的高度分別為 22cm.40cm ,試求此時(shí)搖桿 AC 與踏板桿 CD 的夾角(即 ∠ACD 的度數(shù)).(參考數(shù)據(jù): sin10.72°≈0.19,cos10.72°≈ 0.98,tan10.72°0.19, sin65.5°≈0.91 ,cos65.5°≈0.41,tan65.5°≈2.19)

L

圖3圖5
圖4

解題思路(1)首先,利用三角函數(shù),求出 EF 的長(zhǎng)度;然后,計(jì)算 DG 的長(zhǎng)度即為點(diǎn) D 距離地面的高度.

(2)首先,添加輔助線,過(guò)點(diǎn) D 作 DF⊥DE 點(diǎn)F ,過(guò)點(diǎn) D 作 DG⊥MN 于點(diǎn) G ,過(guò)點(diǎn) C 分別作CH⊥MN 于點(diǎn) H ,作 CI⊥DG 于點(diǎn) I ,并交 AC 于點(diǎn) J ;然后,需要明確點(diǎn) C 和點(diǎn) D 距離地面的高度,即求算 CH 和 DG 的長(zhǎng)度;再利用已知條件求算出 DI 和 BJ 的長(zhǎng)度;接著,利用銳角三角函數(shù),求出 ∠DCI 的度數(shù);最后,再利用銳角三角函數(shù),求出 ∠BCJ 的度數(shù),即可得出 ∠ACD 的度數(shù).

答案 (1)24cm (2)54.78° ·

解析(1)如圖6所示,過(guò)點(diǎn) D 作 DF⊥DE 于點(diǎn) F,DG⊥MN 于點(diǎn) G ,則四邊形 DGQF 為矩形,根據(jù)題意,可知 ∠DEF=60°

DE=DE=14 所以 DG=FQ=DE+DQ-EF=14+17-7 =24(cm) ,

因此,點(diǎn) D 距離地面的高度是 24cm 業(yè)

圖6
圖7

(2)如圖7所示,過(guò)點(diǎn) D 作 DG⊥MN 于點(diǎn) G , 過(guò)點(diǎn) C 分別作 CH⊥MN 于點(diǎn) H ,作 CI⊥DG 于點(diǎn) I ,并交 AC 于點(diǎn) J ·

由題意可知, CH=PJ=IG=22 ,DG=40 ,所以 DI=DG-IG=40-22=18 ,BJ=BC+PC-PJ=55+17-22=50. (20在 RtΔCID 中, 所以 ∠DCI≈10.72° 在 RtΔCBJ 中, (2所以 ∠BCJ≈65.5° 所以, ∠ACD=∠BCJ-∠DCI≈65.5°- 10.72°≈54.78°

因此,搖桿 AC 與踏板桿 CD 的夾角約為 54.78°

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)兩道例題的深入剖析,不難發(fā)現(xiàn),銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí),在解決實(shí)際問(wèn)題中起到了重要的作用.在解決此類問(wèn)題的過(guò)程中,不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,還學(xué)習(xí)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,利用理論知識(shí)進(jìn)行答案的求解,同時(shí)激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣,鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和審題辨圖能力.

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